黄金卷02（广东专用）-【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、补集的概念及运算 【分析】根据集合补集的定义求出集合A，然后根据元素与集合的关系即可得解 【详解】， 又，所以， 所以，，，， 故选：A 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数加减法的代数运算 【分析】先根据复数的运算求出，再根据共轭复数的定义即可求出 . 【详解】解：， ， 故． 故选：D. 3．已知向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【知识点】向量模的坐标表示、利用向量垂直求参数、平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】由，有，求出的值，得的坐标，可求. 【详解】向量，， 若，则，解得，所以， 可得，. 故选：D. 4．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断、识别正（余）弦型三角函数的图象 【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断B、C；再利用特殊值排除D. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、C； 又，故排除D. 故选：A 5．如图，在平面四边形中，与交于点，且，，，剪去，将沿翻折，沿翻折，使点与点重合于点，则翻折后的三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，可得两两垂直，再补形成长方体，借助长方体求出球的表面积. 【详解】依题意，在三棱锥中，， 因此三棱锥可以补形成以为共点三条棱的长方体， 该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，设球半径为， 则， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 6．若函数为偶函数，且当时，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用导数判断得在上的单调性，再利用偶函数的性质得到，从而得解. 【详解】因为当时，，则， 所以在上单调递增， 又为偶函数，，所以， 则，即，解得． 故选：C． 7．如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【知识点】分类加法计数原理 【分析】结合题意，根据分类加法原理分类讨论即可. 【详解】不妨设正方体的边长为1，记红黄蓝三种颜色为a，b，c， 我们首先假设正方体的一对对顶点是在和，若将染成色， 那么，，三个点必然都是色， 而，，必然都是色．如此递推可以恰好染完整个正方体. 而当色固定的时候通过旋转就可以得到互换的正方体. 从而只有三种不同的方案，也就是将面的中间分别染上红黄蓝三种颜色. 故选：A 8．设椭圆的弦与轴，轴分别交于两点，，若直线的斜率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】设，由得，根据在椭圆上，代入相减得，则直线的斜率为，然后由即可求解. 【详解】如图所示，设， 直线， 因为，所以， 所以， 即，，所以. 因为在椭圆上，所以， 两式相减得，即. 又因为，且，， 所以，即， 所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】特殊区间的概率、指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据题意，得到期望为，方差为，结合正态分布曲线的对称性，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得期望为，方差为， 对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确； 对于B中，因为，即，所以B不正确； 对于C中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确； 对于D中，由正态分布曲线的性质，可得， 且， 可得，所以D正确. 故选：ACD. 10．已知随机变量的分布列如图： X 1 2 3 … n P … 若数列是等差数列，则（    ） A．若为奇数，则 B． C．若数列单调递增，则 D． 【答案】ACD 【知识点】求等差数列前n项和、利用随机变量分布列的性质解题、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据分布列概率和为1结合等差数列求和判断A,再结合数列基本量运算及项的性质计算判断B,C,D即可. 【详解】由数列是等差数列且，得，所以， 对于A，当为奇数时，，故A正确； 对于B，由得，故B错误； 对于C，若数列单调递增，则可得，故，故C正确； 对于D：由，其中，故D正确. 故选:ACD. 11．下列关于函数的说法，正确的有（    ） A．是的极大值点 B．函数有两个零点 C．若方程有两根，则 D．若方程有两根，则 【答案】AD 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根、函数极值点的辨析 【分析】对于AB，利用导数求出函数的单调性和的解即可判断AB；对于CD，不妨设， 由得，进而由得，接着利用放缩不等式即可得解. 【详解】因为，所以，， 所以当时，，时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 令（舍）或， 对于A，由上可知是的极大值点，故A正确； 对于B，由上可知函数只有1个零点，故B错误； 对于CD，方程有两根，则， 不妨设， 则由上可知， 则，所以， 令，则， 所以当时，，所以在上单调递减， 所以时即， 所以，故，故C错误，D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点睛：判断CD的关键1是由得，从而得到不等式；关键2是利用对不等式进行放缩得到，进而得解. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用万元统计数据如下： 使用年限 维修费用 若有数据知对呈线性相关关系．其线形回归方程为，请估计使用年时的维修费用是 万元． 【答案】 【知识点】根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】求出，根据回归方程过求出，代入得解. 【详解】由题意可得，， 由回归方程过点可得，解得， 故方程为， 把代入可得， 故答案为：． 13．点为圆上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求圆的一般方程、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】法一：设，代入方程得到，从而题目实际上就是求的取值范围使得该方程有解，而这直接使用二次方程判别式就可得到结果；法二：利用圆的几何性质，将命题转化为距离问题，再使用距离公式求解. 【详解】法一：我们要求的取值范围使得存在满足，， 由于满足前一个方程的必不为零，故这等价于，. 而这又可以等价转化为，， 故我们就是要求的取值范围，使得关于的方程有解. 该方程中的系数显然非零，所以命题等价于，解得. 法二：由于圆和轴无公共点，故命题等价于求实数的取值范围， 使得直线和圆有公共点. 该圆的方程可化为，故命题等价于点到直线的距离不超过，即. 解得. 故答案为：. 14．已知长方体的底面ABCD为边长是2的正方形，，E，F分别为棱AB，的中点，则过，E，F的平面截长方体的表面所得截面的面积为 . 【答案】 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、面面平行证明线线平行 【分析】根据给定条件，作出过点的长方体的截面，再结合相似三角形求出截面面积. 【详解】在长方体中，连接并延长与的延长线交于点，直线交于，交的延长线于， 连接交于，连接，则五边形即为过点的长方体的截面， 由，为的中点，得是中点，，， 由，是中点，得，则， 则， 等腰底边上的高， 的面积， 平面平面，平面平面，平面平面， 则，于是∽，同理，∽， ， 因此， 所以所得截面的面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据已知条件，结合平面的基本事实作出截面多边形是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（本题满分13分）在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即， 由余弦定理， ，. （2）因为， 即， ，当且仅当时取等号， ，即， 又，所以，当且仅当时取等号， 周长， 即周长的最大值为 16．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点． (1)若是的中点，求证：直线平面； (2)若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、已知面面角求其他量、锥体体积的有关计算 【分析】（1）先取的中点，连接，再由平行四边形即可证明线线平行，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量由二面角的平面角的余弦值求出的位置，即可由体积公式求解． 【详解】（1）证明：取的中点，连，， 为的中点，且， 又，且， ，， 所以四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 故直线平面． （2）以为坐标原点，以，，所在射线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 设，则，， 在棱上，可设， 故，解得，即， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量，，， ，即， 即， 取，则，， 故， 因为二面角的平面角的余弦值为， 所以，即， 即， ，解得， 故是的中点， 因此 17．（本题满分15分）已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率为定值； (2)为坐标原点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由题意可得的关系，求解即可. （2）设，求得弦长与原点到直线的距离，由面积可求直线的方程. 【详解】（1）由已知可得，解得， 所以双曲线方程为， 设， 所以，两式相减，可得， 又线段的中点为，所以，， 所以，解得， 所以直线的斜率为定值； （2）由（1）设直线的方程为， 由，所以，整理可得， 所以，解得或， 所以，，    所以， 又原点到直线的距离为, 所以的面积为， 化简可得，解得， 所以直线的方程． 18．（本题满分17分）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个不同的零点，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，即可求解， （2）求导，对进行讨论，即可根据导数的正负确定函数的单调性， （3）将问题转化为，构造，即可利用导数确定函数的单调性求解. 【详解】（1）当时，，则， 故， 故在处的切线方程为 （2）， 当时，令，解得或，令，解得， 故此时在单调递增，在的单调递减， 当时，在上恒成立，故此时在单调递增， 当时，令，解得或，令，解得， 故此时在单调递增，在的单调递减， 当时，，故在的单调递减，在单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故此时在的单调递减，在单调递增， （3）， 令，则， 记，则， 当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减， 且，当时恒成立， 要使有两个零点，则由两个交点， 故，解得 19．（本题满分17分）定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②： ①； ②． (1)写出最小的“漂亮数”； (2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”； (3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率、数列新定义 【分析】（1）直接根据“漂亮数”的定义即可证明最小的“漂亮数”为； （2）反复利用“漂亮数”定义中的恒等式，并通过该恒等式得到新的恒等式，即可证明结论； （3）先确定的全部可能值，然后计算使得是质数的情况数和总的情况数之比即可. 【详解】（1）若是“漂亮数”，设满足. 则，所以，即. 故，得，从而，所以. 此时，假设，则. 但由于，故的全部可能取值就是，，，，，验证即知它们都不等于，矛盾； 所以. 由即知是“漂亮数”. 所以最小的“漂亮数”是. （2）若是“漂亮数”，设满足. 则，所以，即. 此时有 . 再由，即知. 而，由“漂亮数”的定义即知是“漂亮数”. （3）若，设满足. 则，所以，即. 而，故，即. 所以，得，即. 由于，故. 而，故，即. 若，则，所以. 假设，则，矛盾. 所以，故，得. 故只可能，从而，得，而，故. 但，矛盾. 所以只可能或. 当时，有，所以. 从而，，得，即. 再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为. 当时，有，所以. 从而，，得，即. 再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为. 综上，全体满足条件的有，，，，，. 这表明满足条件的全部为. 所以的全部可能值为，其中是质数的有. 从而是质数的概率为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应的问题. 试卷第2页，共22页 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 4．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面四边形中，与交于点，且，，，剪去，将沿翻折，沿翻折，使点与点重合于点，则翻折后的三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．若函数为偶函数，且当时，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 8．设椭圆的弦与轴，轴分别交于两点，，若直线的斜率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D． 10．已知随机变量的分布列如图： X 1 2 3 … n P … 若数列是等差数列，则（    ） A．若为奇数，则 B． C．若数列单调递增，则 D． 11．下列关于函数的说法，正确的有（    ） A．是的极大值点 B．函数有两个零点 C．若方程有两根，则 D．若方程有两根，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用万元统计数据如下： 使用年限 维修费用 若有数据知对呈线性相关关系．其线形回归方程为，请估计使用年时的维修费用是 万元． 13．点为圆上的动点，则的取值范围为 . 14．已知长方体的底面ABCD为边长是2的正方形，，E，F分别为棱AB，的中点，则过，E，F的平面截长方体的表面所得截面的面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（本题满分13分）在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 16．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点． (1)若是的中点，求证：直线平面； (2)若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积 17．（本题满分15分）已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率为定值； (2)为坐标原点，若的面积为，求直线的方程． 18．（本题满分17分）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个不同的零点，，求的取值范围． 19．（本题满分17分）定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②： ①； ②． (1)写出最小的“漂亮数”； (2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”； (3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率． 试卷第2页，共22页 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷02·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D A C C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD AD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，---------1 即，---------2 由余弦定理，---------4 ，.--------5 （2）因为，---------6 即，---------7 ，当且仅当时取等号， ---------8 ，--------9 即，---------10 又，所以，当且仅当时取等号，---------11 周长，---------12 即周长的最大值为---------13 16．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、已知面面角求其他量、锥体体积的有关计算 【分析】（1）先取的中点，连接，再由平行四边形即可证明线线平行，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量由二面角的平面角的余弦值求出的位置，即可由体积公式求解． 【详解】（1）证明：取的中点，连，， 为的中点，且，---------1 又，且，---------2 ，，---------3 所以四边形为平行四边形， ，---------4 又平面，平面，---------5 故直线平面．---------6 （2）以为坐标原点，以，，所在射线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，---------7 设，则，，--------8 在棱上，可设， 故，解得，即， 易知平面的法向量为，---------10 设平面的法向量，，， ，即， 即， 取，则，， 故，---------12 因为二面角的平面角的余弦值为， 所以，即， 即， ，解得，---------14 故是的中点， 因此---------15 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由题意可得的关系，求解即可. （2）设，求得弦长与原点到直线的距离，由面积可求直线的方程. 【详解】（1）由已知可得，解得，--------2 所以双曲线方程为，---------3 设， 所以，两式相减，可得，---------5 又线段的中点为，所以，，---------6 所以，解得 所以直线的斜率为定值；---------7 （2）由（1）设直线的方程为，---------8 由，所以，整理可得，---------9 所以，解得或，---------10 所以，，---------11    所以，---------12 又原点到直线的距离为,---------13 所以的面积为，---------13 化简可得，解得，---------14 所以直线的方程．---------15 18．（17分） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，即可求解， （2）求导，对进行讨论，即可根据导数的正负确定函数的单调性， （3）将问题转化为，构造，即可利用导数确定函数的单调性求解. 【详解】（1）当时，，则，---------1 故，--------3 故在处的切线方程为--------4 （2），---------5 当时，令，解得或，令，解得， 故此时在单调递增，在的单调递减，---------6 当时，在上恒成立，故此时在单调递增，---------7 当时，令，解得或，令，解得， 故此时在单调递增，在的单调递减，---------8 当时，，故在的单调递减，在单调递增，---------9 当时，令，解得，令，解得， 故此时在的单调递减，在单调递增，---------10 （3），---------11 令，则，---------12 记，则， 当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减， 且，当时恒成立，---------15 要使有两个零点，则由两个交点， 故，解得---------17 19．（17分） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率、数列新定义 【分析】（1）直接根据“漂亮数”的定义即可证明最小的“漂亮数”为； （2）反复利用“漂亮数”定义中的恒等式，并通过该恒等式得到新的恒等式，即可证明结论； （3）先确定的全部可能值，然后计算使得是质数的情况数和总的情况数之比即可. 【详解】（1）若是“漂亮数”，设满足.---------1 则，所以，即.---------2 故，得，从而，所以.---------3 此时，假设，则. 但由于，故的全部可能取值就是，，，，，验证即知它们都不等于，矛盾； 所以.---------4 由即知是“漂亮数”. 所以最小的“漂亮数”是.---------5 （2）若是“漂亮数”，设满足. 则，所以，即. 此时有 . 再由，即知. 而，由“漂亮数”的定义即知是“漂亮数”.---------10 （3）若，设满足 则，所以，即.---------11 而，故，即. 所以，得，即.---------12 由于，故. 而，故，即.---------13 若，则，所以. 假设，则，矛盾. 所以，故，得. 故只可能，从而，得，而，故. 但，矛盾. 所以只可能或.---------14 当时，有，所以. 从而，，得，即. 再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为.---------15 当时，有，所以. 从而，，得，即. 再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为.---------16 综上，全体满足条件的有，，，，，. 这表明满足条件的全部为. 所以的全部可能值为，其中是质数的有. 从而是质数的概率为.---------17 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应的问题. 试卷第2页，共22页 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$