九年级数学上册期中模拟测试卷（二）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

2024-2025学年九年级数学上册期中模拟测试卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：九年级上册第一章～第四章（浙教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标为（        ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C．2 D．5 3．如图，在 中，，， 为 上的点，，则的度数是 （   ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　） A．平分 B． C． D． 5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点A逆时针旋转得到．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．某数学小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率并绘制了如图所示的折线统计图，该事件最有可能是（   ） A．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 B．一个均匀的转盘被等分成10份，分别标有1~10这10个数字，任意转动转盘，转盘停止后，指针指向的数字是3的倍数 C．暗箱中有1张红桃K，1张黑桃K，1张梅花K，3张牌除花色外一模一样，从中任取1张牌是红桃 K D．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，随机经 过该路口时，遇到红灯的概率 8．已知二次函数的部分图像如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，是边上的中线，，垂足为点E，交于点F，则（　　） A．12 B．8 C．7 D．4 10．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 第Ⅱ卷 2． 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．抛物线与y轴交点的坐标为 ． 12．已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为 ． 13．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若，，则DF的值为 ． 14．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转至，使点C落在边上的D处，则 ． 15．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ． 16．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是 ． 三．解答题（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 18．（8分）如图，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A，B的转盘分别被分成四、三个面积相等的扇形，装置A上的数字分别是1，2，3，4，装置B上的数字分别是3，4，5，这两个装置除了表面数字不同外，其它构造完全相同．现在分别同时用力转动A，B两个转盘． (1)A转盘指向偶数的概率是 　 　． (2)请用列表法或画树状图的方法，求A、B转盘指向的数字之和不小于6的概率． 19．（8分）如图，在中，，以为直径的分别交于点D，E，过点C作于点H，交于点F． (1)求证：； (2)若，求值． 20．（8分）周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 21．（8分）据达州市某知名网站调查，2023年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下： 根据所给信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图并在图中标明相应数据； (2)若2023年达州市常住人口约有800万，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？ (3)在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 22．（8分）如图，是中的三条弦，点E在上，且． 连结，其中交于点G． (1)求证：． (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． (3)若，求线段的长． 23．（10分）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（10分）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 (3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上册期中模拟测试卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：九年级上册第一章～第四章（浙教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据的顶点式即可得到答案，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A 2．若，则（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】解：两边都除以，得 ， 故选：B． 3．如图，在 中，，， 为 上的点，，则的度数是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C选项无法判定和相似，不符合题意； ∵，， ∴，故D选项不符合题意； 故选C． 5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 6．如图，将绕点A逆时针旋转得到．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，得到，利用角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴； 故选A． 7．某数学小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率并绘制了如图所示的折线统计图，该事件最有可能是（   ） A．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 B．一个均匀的转盘被等分成10份，分别标有1~10这10个数字，任意转动转盘，转盘停止后，指针指向的数字是3的倍数 C．暗箱中有1张红桃K，1张黑桃K，1张梅花K，3张牌除花色外一模一样，从中任取1张牌是红桃 K D．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，随机经 过该路口时，遇到红灯的概率 【答案】C 【分析】本题主要考查概率公式的应用，用频率估计概率，解答本题的关键是求出各事件发生的概率．根据统计图可知发生的频率接近，得出该事件发生的概率为，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知：发生的频率接近，即该事件发生的概率为； A．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3的概率为，故A不符合题意； B．一个均匀的转盘被等分成10份，分别标有这10个数字，任意转动转盘，转盘停止后，指针指向的数字是3的倍数的概率为，故B不符合题意； C．暗箱中有1张红桃K，1张黑桃K，1张梅花K，3张牌除花色外一模一样，从中任取1张牌是红桃 K的概率为，故C符合题意； D．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，随机经 过该路口时，遇到红灯的概率，故D不符合题意． 故选：C． 8．已知二次函数的部分图像如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．利用抛物线与轴的求交点是解题的关键；利用关于的一元二次方程的解一个为得到二次函数与轴的一个交点坐标为，然后利用抛物线的对称性得到二次函数与轴的另一个交点坐标为，从而得到方程另一个解． 【详解】解：关于的一元二次方程的解一个为， 二次函数与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点坐标为， 方程另一个解 故选：B 9．如图，在中，，，是边上的中线，，垂足为点E，交于点F，则（　　） A．12 B．8 C．7 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一的性质、勾股定理等知识点，解题关键是作平行线构造比例线段转化线段比． 由等腰三角形三线合一的性质可得，由勾股定理求出，过点作，交延长线于，得，，从而求得，，进而求解． 【详解】解：过点作，交延长线于，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵是边上的中线，即， ∴，即， ∴，即 ∴， 故选B． 10．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的增减性可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，由即可得出，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①错误； ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵若， ∴， ∴时的函数值小于时的函数值， ∵横坐标是的点的对称点的横坐标为， ∴时的函数值等于时的函数值， ∴时的函数值小于时的函数值， 故③错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴抛物线为， ∵抛物线经过点， ∴，即， ∴， ∴， ∵点的对称点是， ∴点一定在此抛物线上，故④正确． 故选：C． 第Ⅱ卷 2． 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．抛物线与y轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，求出值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； 故答案为：． 12．已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了弧长公式，设这个扇形的半径为r，根据弧长公式列出方程求解即可：弧长公式为，其中n为扇形圆心角度数，r为扇形编辑． 【详解】解：设这个扇形的半径为r， 由题意得，， 解得， ∴这个扇形的半径为30， 故答案为：30． 13．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若，，则DF的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．由得，再根据平行线分线段成比例定理，得到，得到方程并求解，即得答案． 【详解】， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 14．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转至，使点C落在边上的D处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，首先根据旋转得到，即得到，然后求出旋转角的度数是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 15．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ． 【答案】/109度 【分析】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的对角互补，先根据圆周角定理求出的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补得到计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先求出，，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，由轴对称的性质可得：，，当、、在同一直线上时，最小，由勾股定理可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，当时，， 解得，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， 点关于抛物线对称轴的对称点为点， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接， ， 由轴对称的性质可得：，， 当、、在同一直线上时，最小，此时， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，圆的基本性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三．解答题（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 18．（8分）如图，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A，B的转盘分别被分成四、三个面积相等的扇形，装置A上的数字分别是1，2，3，4，装置B上的数字分别是3，4，5，这两个装置除了表面数字不同外，其它构造完全相同．现在分别同时用力转动A，B两个转盘． (1)A转盘指向偶数的概率是 　 　． (2)请用列表法或画树状图的方法，求A、B转盘指向的数字之和不小于6的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】（1）解： A转盘指向偶数的概率是． 故答案为：； （2）列表如下： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 由上图可得出所有等可能的结果有12种，其中A、B转盘指向的数字之和不小于6的情况有9种， 则A、B转盘指向的数字之和不小于6的概率是． 【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，还用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，熟练掌握树状图或列表法是解题的关键． 19．（8分）如图，在中，，以为直径的分别交于点D，E，过点C作于点H，交于点F． (1)求证：； (2)若，求值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了等边对等角以及圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边对等角得，结合圆周角定理得，因为，故，证明，即可作答． （2）先因为，，所以，因为为直径，，因为，则，即，证明，故，代数计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图：连接， ∵，， ∴， 设， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 即， ∴， 即． 20．（8分）周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或 【分析】此题考查求抛物线的解析式，二次函数的实际应用，解题的关键是根据实际问题构造数学模型． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入，即可求出抛物线的解析式； （2）对应的的值即为小琴距喷水头的水平距离，结合（1）中结论列一元二次方程，解方程求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为，将代入得： ， 解得， ， 答：抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 他与小江的水平距离为或， 答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或． 21．（8分）据达州市某知名网站调查，2023年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下： 根据所给信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图并在图中标明相应数据； (2)若2023年达州市常住人口约有800万，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？ (3)在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1)见详解； (2)80万人； (3) 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图． （1）先根据消费的人数及比例求出总人数，然后由教育的所占比例即可求得答案； （2）用总人数乘以所占比即可； （3）先画树状图，然后即可求得概率． 【详解】（1）解：调查的总人数为（人） 关注教育的人数为（人） 补全图形如下： ； （2）解：（万人） 估计最关注环保问题的人数约为80万人； （3）解：画树状图如下： 抽取的两人恰好是甲和乙的概率为． 22．（8分）如图，是中的三条弦，点E在上，且． 连结，其中交于点G． (1)求证：． (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． (3)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查三角形判定与性质，圆周角定理，弦与弧的关系，等腰三角形的性质等． （1）由等弦所对弧相等，再由等弧所对圆周角相等得出，又，即可得出结论； （2）由等边对等角的性质与圆周角性质得出，即可由求解； （3）由，得，从而可求出从而求出再证，得，代入即可求解． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴即， ∴． 23．（10分）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3)或或 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：设，则，， ∵轴， ∴轴，即， ∴是以、为顶点的菱形的边； 如图3-1所示，当为对角线时，      ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，即轴， ∴点C与点N关于抛物线对称轴对称， ∴点N的坐标为， ∴， ∴； 如图3-2所示，当为边时，则，      ∵，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-3所示，当为边时，则，      同理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-4所示，当为边时，则，      同理可得， 解得（舍去）或（舍去）； 如图3-5所示，当为对角线时，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，这与题意相矛盾， ∴此种情形不存在 如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，      ∵轴， ∴， ∵， ∴，这与三角形内角和为180度矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 24．（10分）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 (3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1) (2)成立；理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：．    （2）解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴；    （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 3、 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$