精品解析：浙江省杭州市钱塘区启正中学2023-2024学年上学期九年级期中考试数学卷

启正中学2023学年第一学期 期中阶段教学评估九年级数学试题卷 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中10环 B. 有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C. 任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D. 在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 3. 已知，且，，则∠C的度数为( ) A. B. C. D. 4. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弦的垂直平分线必经过圆心 B. 三点确定一个圆 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 长度相等的弧是等弧 6. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（ ） A. 3﹣ B. 1＋ C. ﹣1 D. ﹣2 7. 以下点可能成为二次函数顶点的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，于，则以下结论中；①；②；③；④若，点是的黄金分割点；其中正确的结论个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，直径与弦相交于点，连结弦，，．若，给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是 A. ①，②都对 B. ①，②都错 C. ①对，②错 D. ①错，②对 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，，则a，b比例中项为_______． 12. 工厂质检人员抽测某产品质量时，从同一批次共1000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是_______． 13. 已知扇形的面积为cm2，圆心角为，则该扇形的弧长是___． 14. 如图，点为正八边形的中心，连接、，则______度；若，则该正八边形的面积为______． 15. 二次函数的函数值自变量之间的部分对应值如表：此函数图象的开口方向是______(填“向上”或“向下”)；当时，_____． 16. 如图，先将一张正方形纸片对折，得到折痕．铺平后再折出矩形对角线．将边折到线段上，点的落点为，得到折痕，则_____． 三、全面答一答（本题有8个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 17. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，陈老师和陆老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． （1）陆老师选择用“微信”支付的概率是__________________； （2）请用画树状图或列表的方法表示所有结果，并求出两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率． 18. 如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请按要求画图． （1）在图1中，将绕点逆时针旋转，作出经旋转后的图形．（其中，分别是，的对应点） （2）在图2中画一个格点，使得．（画出一个即可） 19. 已知二次函数经过和． （1）求该二次函数表达式和对称轴． （2）求该二次函数的与轴的交点坐标． 20. 如图，已知是的直径，弦于点，如果，弦． （1）求AB的长． （2）求弧CD的长． 21. 如图，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 22. 在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？ （3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本． 23. 已知二次函数y＝ax2﹣4ax+a﹣b（a≠0）的图象与平行于x轴的直线l交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣1，2）． （1）求B的坐标． （2）若将直线l向上平移3个单位后与函数y的图象只有一个交点，求函数y的表达式． （3）已知P（1，p），Q（1+a，q）都在函数y图象上，且p＞q．求a的取值范围． 24. 如图，四边形内接于，，连接，恰好为的外角的角平分线，连接，交于点． （1）求证：． （2）若，求证：． （3）若．下面两个问题，依次按照易和难排列，请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答． ①当，求度数(用含的代数式表示)． ②若的半径为，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 启正中学2023学年第一学期 期中阶段教学评估九年级数学试题卷 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系即可得． 【详解】∵， ∴这点在圆外， 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中10环 B. 有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C. 任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D. 在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A.射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意； B.有一匹马奔跑的速度是70米/秒，是不可能事件，不符合题意； C.任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，不符合题意； D.在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 已知，且，，则∠C的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应角度数是解题关键． 利用相似三角形的对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， 对应角相等，即，，． 在中，根据三角形内角和定理： ． 故选：C． 4. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 【答案】C 【解析】 【分析】先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大， 令，则，解方程解得 ，， △， 抛物线与轴有两个交点． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 5. 下列说法中，正确是（ ） A. 弦的垂直平分线必经过圆心 B. 三点确定一个圆 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 长度相等的弧是等弧 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等弧定义、确定圆的条件、垂径定理等知识；熟练掌握等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理、三角形的内心性质是解题的关键．由等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 弦的垂直平分线必经过圆心，故该选项正确，符合题意； B. 不在同一条直线上的三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； C. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故该选项不正确，不符合题意； D. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 6. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（ ） A. 3﹣ B. 1＋ C. ﹣1 D. ﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长度即可． 【详解】解：由于点C为线段的黄金分割点， 且是较长线段； 则， ∴BC=AB-AC=2-（）=3-． 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算． 7. 以下点可能成为二次函数顶点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点公式求得顶点坐标为，即可得出横坐标和纵坐标的关系，然后就能确定可能的顶点． 【详解】解：二次函数中， ，， 顶点坐标为， 可能成为函数顶点是， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握顶点公式是解题的关键． 8. 如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．连接、、，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到，同弧所对的圆周角相等，，即，，在中三角形的内角和为，可以得出，在中，，，即可以得出与的关系． 【详解】解：如图，连接、、， ∵、分别是、中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，中，，于，则以下结论中；①；②；③；④若，点是的黄金分割点；其中正确的结论个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据垂直定义可得：，从而可得，再根据已知易得：，从而可得，进而可得，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，即可判断①；根据面积法可得：的面积，即可判断②；再证明，从而利用相似三角形的性质可得，，最后进行计算即可判断③，再根据黄金分割的定义即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 的面积 ， 故②正确； ，， ， ， ，， ， ， 故③正确； ，， ， 点是的黄金分割点， 故④正确； 综上所述：上列结论中，其中正确结论个数为个， 故选：D． 10. 如图，在中，直径与弦相交于点，连结弦，，．若，给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是 A. ①，②都对 B. ①，②都错 C. ①对，②错 D. ①错，②对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据已知条件设，则，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据三角形内角和定理以及对顶角相等得出，根据等角对等边即可判断①，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可得出②，从而求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，设，则， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴，故②正确， 故选：A． 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，，则a，b的比例中项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例中项的定义列式求值即可． 【详解】解：设a、b的比例中项为x， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴a，b的比例中项为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例线段．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b＝b：c，即b2＝ac，那么b叫做a与c的比例中项． 12. 工厂质检人员抽测某产品质量时，从同一批次共1000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是_______． 【答案】10 【解析】 【分析】求出次品所占的百分比，即可求出1000件中次品的件数． 【详解】解：（件， 故答案为：10． 【点睛】考查样本估计总体，解题的关键是求出样本中次品所占的百分比． 13. 已知扇形的面积为cm2，圆心角为，则该扇形的弧长是___． 【答案】cm 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式可得扇形的半径，进而利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长． 【详解】解：设扇形的半径为r， ∵扇形的面积公式， ∴， ∴或（负数舍去）， ∴扇形的弧长（cm）， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查了扇形的弧长与面积公式等知识，熟练掌握运用扇形的弧长与面积公式是解答本题的关键． 14. 如图，点为正八边形的中心，连接、，则______度；若，则该正八边形的面积为______． 【答案】 ①. 22.5 ②. 【解析】 【分析】连接OA、OB，由正八边形的性质求出，得到，过A作于K，可证得是等腰直角三角形，利用正弦的定义求出AK，由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：连接OA、OB， ∵ABCDEFGH是正八边形， ∴， ∴， 过A作于K， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴正八边形ABCDEFGH． 故答案为：22.5，． 【点睛】本题考查的是正多边形的有关计算以及锐角三角函数，掌握正多边形的中心角的计算方法、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 15. 二次函数的函数值自变量之间的部分对应值如表：此函数图象的开口方向是______(填“向上”或“向下”)；当时，_____． 【答案】 ① 向上 ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．依据题意，根据抛物线的对称性，、时的函数值相等，然后列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，、时的函数值都是相等， 此函数图象的对称轴为直线，即直线． 又当时，随的增大而减小， 抛物线开口向上． 抛物线的对称轴是直线， 当时与当时的函数值相等． 当时，， 当时，． 故答案为：向上，． 16. 如图，先将一张正方形纸片对折，得到折痕．铺平后再折出矩形的对角线．将边折到线段上，点的落点为，得到折痕，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、解直角三角形，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．由垂直平分，得，，由正方形的性质得，则四边形是矩形，设交于点，作于点，则，设，则，所以，，根据等面积法求得进而根据，得出，进而求得，再求得即可求解． 【详解】解：由折叠得垂直平分， ，， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， 设交于点，作于点， 由折叠得， 平分，于点，于点， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、全面答一答（本题有8个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 17. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，陈老师和陆老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． （1）陆老师选择用“微信”支付的概率是__________________； （2）请用画树状图或列表的方法表示所有结果，并求出两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得． （2）将“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，画出树状图可得共有9种等可能的结果，其中一人选择“微信”支付，一人选择“银行卡”支付的结果有2种，利用概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：陆老师选择用“微信”支付的概率是； 故答案为： 【小问2详解】 解：将“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的结果有2种， ∴两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 18. 如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请按要求画图． （1）在图1中，将绕点逆时针旋转，作出经旋转后的图形．（其中，分别是，的对应点） （2）在图2中画一个格点，使得．（画出一个即可） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】(1)抓住旋转中心，明确旋转方向，确定旋转度数，结合正方形网格的特点画图即可． (2)根据三角形相似的判定定理，结合正方形网格的特点画图即可． 【小问1详解】 根据题意，如图1，画图如下： 则就是所求作的三角形． 【小问2详解】 根据题意，画图如图2所示： 则就是所求作的三角形． 【点睛】本题考查了旋转作图，相似三角形的构造作图，熟练掌握旋转的性质，三角形相似的判定定理是解题的关键． 19. 已知二次函数经过和． （1）求该二次函数的表达式和对称轴． （2）求该二次函数的与轴的交点坐标． 【答案】（1）；直线 （2）二次函数的与轴的交点坐标为， 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，确定抛物线的表达式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）令，得到关于的方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； 对称轴为直线； 【小问2详解】 令，则， 解得或， 该二次函数的与轴的交点坐标为，． 20. 如图，已知是的直径，弦于点，如果，弦． （1）求AB的长． （2）求弧CD的长． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得到，易得是等边三角形，得到，即可求出的长； （2）根据弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴弧CD的长为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式．熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键． 21. 如图，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的判定方法证明三角形相似． （1）证明，根据相似三角形的性质得到，根据垂直的定义证明结论； （2）证明，根据相似三角形的性质得到，根据为线段中点，得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ，又， ， ， 即； 【小问2详解】 解：为线段中点， ，， ，， ， 22. 在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？ （3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本． 【答案】（1）；（2）当时，活动区面积最大，最大面积是；（3）符合预算且使活动区面积最大的值为5，此时的布置成本为1850元． 【解析】 【分析】（1）先求出小长方形的长、宽，再利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得； （2）结合（1）的结果，利用二次函数的性质即可得； （3）先根据布置场地的预算求出的取值范围，从而可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）由题意得：， 小长方形的长为，宽为， 则， 整理得：， 故关于的函数表达式为； （2）将二次函数化成顶点式为， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为， 答：当时，活动区面积最大，最大面积是； （3）由题意得：， 解得， 当时，， 解得或（不符题意，舍去）， 答：符合预算且使活动区面积最大的值为5，此时的布置成本为1850元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识点，依据题意，正确建立函数和方程是解题关键． 23. 已知二次函数y＝ax2﹣4ax+a﹣b（a≠0）的图象与平行于x轴的直线l交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣1，2）． （1）求B的坐标． （2）若将直线l向上平移3个单位后与函数y的图象只有一个交点，求函数y的表达式． （3）已知P（1，p），Q（1+a，q）都在函数y的图象上，且p＞q．求a的取值范围． 【答案】（1）B（5，2） （2）y＝﹣x2+x+ （3）a＜2且a≠0 【解析】 【分析】（1）求出对称轴，根据抛物线的对称性求解即可； （2）根据题意得到二次函数的顶点坐标，用待定系数法求解即可； （3）抛物线的对称轴为直线x＝2，当a＞0时，抛物线开口向上，且1＜1+a＜2，则p＞q，即可求解． 【小问1详解】 解：∵y＝ax2﹣4ax+a﹣b， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2， ∵点A的坐标为（﹣1，2）． ∴B（5，2）； 【小问2详解】 解：由题意可知，直线的解析式为，向上平移3个单位后解析式为， 由与函数y的图象只有一个交点，可知函数y的顶点坐标的纵坐标为5 ∴抛物线的顶点的坐标为， 将与A（﹣1，2）代入解析式得， 解得， ∴函数y的表达式为y＝﹣x2+x+； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线x＝2， ①当a＞0时，抛物线开口向上，且＜2，则p＞q， 解得0＜a＜2； ②当a＜0时，抛物线开口向下， a+1<1<2，则p>q 故a的取值范围为：a＜2且a≠0． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，图象与性质等知识．解题的关键在于对二次函数图象性质的熟练掌握． 24. 如图，四边形内接于，，连接，恰好为的外角的角平分线，连接，交于点． （1）求证：． （2）若，求证：． （3）若．下面两个问题，依次按照易和难排列，请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答． ①当，求的度数(用含的代数式表示)． ②若的半径为，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，求得，于是得到； （2）根据等腰三角形的性质得到，由（1）知，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）①设，，由（）知，根据相似三角形的性质得到，求得，得到，求得，得到，于是得到结论； ②连接并延长交于，连接，根据垂径定理得到，，根据勾股定理得到，由（）知，，求得，，进而根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：为的角平分线， ， ， 又， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， 由（1）知∠，， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：①设，，由（）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②连接并延长交于，连接， ， ，， ， ， ， 由（）知，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$