专题5.2 一次函数与几何压轴（十大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题5.2 一次函数与几何压轴（十大题型） 【题型1 一函数中面积问题】 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】 【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】 【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】 【题型10 一次函数中45°角问题】 【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积 【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径： ①知底求高、转化线段； ②图形割补、面积和差； ③平行交轨、等积变换。 【技巧点睛3】处理线段问题 （1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）； （2） 线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。 【技巧点睛4】角度问题 （1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。 （2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点 【技巧点睛5】最值问题 （1） 求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑； （2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型 【技巧点睛6】特殊三角形存在问题 等腰三角形存在性问题 1、找点方法： ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B 构成以 A 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B 构成以 B 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三 角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 2、求点方法： 2、 直角三角形存在性问题 若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。 【技巧点睛6】四边形存在问题 1．坐标系中的平行四边形： （1）对边平行且相等： （2）对角线互相平分： 即 A、C 中点与 B、D 中点重合． 以上两条可统一为： 总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等 方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意 【题型1 一函数中面积问题】 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，，已知， ，直线与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； 【变式1-1】已知直线与直线． (1)求两直线交点C的坐标； (2)求的面积． (3)在直线上能否找到点P，使得，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由． 【变式1-2】如图，已知直线经过点并和x轴交于点A．    (1)求点A的坐标； (2)若直线与y轴交于点D，与直线交于点C，求点C与点D的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【变式1-3】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是的中点． (1)求点C的坐标； (2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标； (3)点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【典例2】如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，点与点关于轴对称．动点分别在线段上（点与点不重合），且满足． (1)线段长为___________． (2)当为等腰三角形时，求点的坐标． 【变式2-1】如图，一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象与x轴交于点B，点是两函数图象的交点． (1)求函数的关系式； (2)若，求的度数； (3)求四边形的面积； (4)在y轴上，是否存在一点Q，使以点Q、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点 (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)观察函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若P是y轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点、交y轴于点． (1)求直线l对应的函数表达式； (2)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】 【典例3】如图，已知一次函数的图像与轴交于点，一次函数的图像与轴交于点，且与轴以及一次函数的图像分别交于点，，点的坐标为． (1)______，______． (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】如图，直线：与直线交于点，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，连接． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在一点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值及一次函数解析式； (2)点D在y轴上，当是以为直角边的直角三角形时，求点D的坐标． 【变式3-3】如图，，是直线与两坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点． (1)求，，三点的坐标； (2)点是折线上一动点． ①如图（1），当点是线段的中点时，在轴上找一点，使最小；用直尺和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点的坐标； ②是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2． (1)求直线的解析式； (2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标； (3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，直线与轴交于点，点在轴上方且在直线上，若面积等于6，请求出点的坐标； (3)如图2，已知点，若点为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】综合运用 (1)如图1，，顶点在直线上，过点作于点，过点作于点，当时，判断线段与的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程） (2)如图2，直线与坐标轴交于点，，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数解析式． (3)如图3，四边形为长方形，其中为坐标原点，点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，是线段上的动点，是直线上的动点且在第四象限，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 【变式4-3】如图，直线经过点，点，与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的垂线交直线于点． (1)求直线的函数关系式和点的坐标； (2)当时，求点的横坐标和的面积； (3)已知点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 【典例5】如图， 在平面直角坐标系中， 点， 点， 的平分线交y轴于点M． (1)求直线的函数解析式． (2)在直线上是否存在一点P，且在x轴上存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形，是以为边的平行四边形?若存在，请写出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点C，直线分别与x轴于点A，B． (1)求的面积． (2)点是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于点M，N．当时，求m的值． (3)过点B作x轴的垂线，交直线于点D，过点D作x轴的平行线，交直线于点E，是否存在一点F，使以F，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】如图，已知直线经过，两点． （1）求直线的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上 ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．    【变式5-3】如图、在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足． （1）求AB的长； （2）若直线y=kx+b与线段AB交于点E，与坐标轴分别交于C、D两点，且点D（0，），E（1，2），求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存点P，使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，，，直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，与直线AB交于点G． (1)求点G的坐标； (2)如图1，是直线上两动点，点E在点F上方，且，连接AF，BE，求的最小值及此时点F的坐标； (3)在（2）问取得最小时，点P是x轴上一动点，点Q是平面内一点，当以点为顶点的四边形是菱形时，请写出点Q的坐标，并写出求其中一个点Q的过程． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，直线：分别x轴，y轴交于点B，C，且与直线：交于点A．    (1)分别求出点A，B，C的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数解析式． (3)（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】如图，直线分别与轴、轴交于，两点，与直线交于点． （1）b= ；k= ；点坐标为 ； （2）在线段AB上有一动点，过点作轴的平行线交直线y2于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形； （3）若点为轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得，，，四个点能构成一个菱形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】如图，平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点（AOAB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x23x20的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2. （1）求A、C两点的坐标； （2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】 【典例7】如图,四 边形OABC是矩形,点A、C在坐标轴上，△ODE是由△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的,点D在X轴上，直线BD交Y轴于点F,交OE于点H,线段BC、OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根，且OC＞BC． （1）求直线BD的解析式. （2）求 △OFH的面积. （3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式7】如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】 【典例8】综合与探究 如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交x轴于点，交y轴于点D，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，是平面内一点，是否存在以A，E，M，N为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的N点坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，，则的最小值是__________． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)求出点的坐标． (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕交轴于点．直线与直线相交于点． (1)求的长： (2)求直线的解析式： (3)在轴上存在点，当的值最小时，点的坐标为__________； (4)在轴上方的平面内存在一点，平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．    (1)求出点A的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】 【典例9】如图，正方形的边长为2，在轴上，在轴上，且，，点C为的中点，直线交轴于点F．    (1)求直线的函数关系式； (2)过点C作，交轴于点E，求证：； (3)点P是直线上的一个动点，求的最小值． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，且a、b满足．    (1)如图1，求的面积； (2)如图2，若P为的中点，点M，N分别是边上的动点，点M从顶点A出发向O运动，点N从顶点O向点B运动，且他们的速度都是1个单位长度/秒，在点M和点N的运动过程中，探究线段和之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (3)若P为线段上异于A、B的任意一点，过点B作垂直于直线于点F，并延长交x轴于点D，E为x轴上一点，且（与不平行），设，请直接写出y与x的数量关系式． 【变式9-2】如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接． (1)请直接写出与的位置关系； (2)请应用（1）中结论求证：； (3)连接，若点，请直接写出三角形的面积． 【变式9-3】如图，已知一次函数y＝3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC与x正半轴交于点C，且AC＝BC． （1）求直线AC的解析式； （2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF交x轴于点G，求证：AD＝BG； （3）在（2）的条件下，线段EF、DG分别与y轴交于点M、N，若∠AFD＝2∠BAO，求线段MN的长． 【题型10 一次函数中45°角问题】 【典例10】已知，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)如图①，点A的坐标为　　，点B的坐标为　　； (2)如图②，点C是直线上不同于点B的点，且． ①点C的坐标为　　； ②过动点且垂直于x轴的直线与直线交于点E，若点E在线段上，则m的取值范围是　　； (3)若，求直线的解析式． 【变式10-1】如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，，点M 在直线上，． (1)求直线的函数解析式． (2)如图1，点N在的延长线上，，连接交x轴于点P，求点P的坐标． (3)如图2，连接 ，在直线 上是否存在点 K，使得．若存在，求点K的坐标；若不存在，说明理由． 【变式10-1】已知，平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，直线：（，为常数，且）与轴正半轴及直线分别交于点，． (1)如图1，若点在轴上，且． ①填空：点的坐标为________，点的坐标为________，直线的解析式为________； ②为直线上一点，且，求点的坐标； (2)如图2，若，，求直线的解析式． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，． (1)求一次函数的解析式． (2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式． 【变式10-3】【基础模型】 如图，等腰直角三角形中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明，我们将这个模型称为“形图”．    【模型应用】 （1）如图1所示，已知，，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，点在第一象限，则点的坐标为________；    【模型构建】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，交轴于点．    ①请求出直线的函数解析式； ②为轴上一点，连接，若，求坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 一次函数与几何压轴（十大题型） 【题型1 一函数中面积问题】 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】 【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】 【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】 【题型10 一次函数中45°角问题】 【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积 【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径： ①知底求高、转化线段； ②图形割补、面积和差； ③平行交轨、等积变换。 【技巧点睛3】处理线段问题 （1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）； （2） 线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。 【技巧点睛4】角度问题 （1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。 （2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点 【技巧点睛5】最值问题 （1） 求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑； （2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型 【技巧点睛6】特殊三角形存在问题 等腰三角形存在性问题 1、找点方法： ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B 构成以 A 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B 构成以 B 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三 角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 2、求点方法： 2、 直角三角形存在性问题 若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。 【技巧点睛6】四边形存在问题 1．坐标系中的平行四边形： （1）对边平行且相等： （2）对角线互相平分： 即 A、C 中点与 B、D 中点重合． 以上两条可统一为： 总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等 方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意 【题型1 一函数中面积问题】 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，，已知， ，直线与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，三角形的面积公式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）先求出点、的坐标，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线经过点， ， ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）当时，有， 解得：， ， ， ， 联立：， 得：， ， ． 【变式1-1】已知直线与直线． (1)求两直线交点C的坐标； (2)求的面积． (3)在直线上能否找到点P，使得，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)点P有两个，坐标为或 【分析】本题考查了一次函数综合题，难度较大，关键是掌握利用分类讨论的思想进行解题． （1）解方程组即可得出交点坐标； （2）分别求出的坐标即可求出三角形的面积； （3）假设在直线上存在点使得，设点，分类讨论的取值后即可得出答案； 【详解】（1）解：解方程组解得：， 所以点的坐标为； （2）解：直线与轴的交点的坐标为， 直线与轴的交点的坐标为，所以， ∴； （3）解：假设在直线上存在点使得， 设点， 则①当时，有， 即， 解得(舍去)或， 把代入，得； ②当时，有， 即， 解得，把代入得， 所以在直线上存在点和，使得． 【变式1-2】如图，已知直线经过点并和x轴交于点A．    (1)求点A的坐标； (2)若直线与y轴交于点D，与直线交于点C，求点C与点D的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)A点坐标 (2)C点坐标； (3)9 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，关键是掌握以上知识点． （1）在中，令，即可求解；； （2）联立两个函数解析式，即可求得的坐标，根据直线与轴交于点，当时，，即可得出点的坐标； （3）设直线交轴于点，过点作于，求得直线、直线与轴的交点坐标，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A， 当时，， A点坐标； （2）解：联立和， 解得：，代入，得， C点坐标； ∵直线与y轴交于点D， 当时，， ． （3）解：设直线交y轴于点E，过点C作于F，如图，    在中，令，则， ， ∵点，，． ，，， ． 【变式1-3】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是的中点． (1)求点C的坐标； (2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标； (3)点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，利用数形结合的思想解决问题是本题的关键． （1）先求出点B的坐标，再依据点C是的中点，求出点C的坐标． （2）先根据题意求出，设点，则，再根据三角形面积公式可求的长，解得m的值，即可得出点D的坐标． （3）设点P的坐标为，根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点B， 令得，， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴． （2）解：∵直线与x轴交于点A， 令得，， ∴， ∴， ∴， 设点，则， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， ∵，即， ， ，即 点的坐标为或． 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【典例2】如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，点与点关于轴对称．动点分别在线段上（点与点不重合），且满足． (1)线段长为___________． (2)当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当为等腰三角形时，点的坐标为或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点可得，，根据轴对称的性质可得，由勾股定理即可求解； （2）根据等腰三角形的定义和性质，分类讨论：当时，是等腰三角形，设，则，，在中，运用勾股定理可得由此即可求解；当时，是等腰三角形，可证，得到，由此即可求解；当时，是等腰三角形，根据点在上，且点与点不重合即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴分别交于两点， ∴令，则，令，则， ∴，， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴，，且， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 如图所示，当时，是等腰三角形， 在中，， ∵，且， ∴， 由折叠可得，， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，是等腰三角形， ∵，点在上，且点与点不重合， ∴此种情况不存在； 综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握一次函数图象与几何图形的综合计算，分类讨论思想是解题的关键． 【变式2-1】如图，一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象与x轴交于点B，点是两函数图象的交点． (1)求函数的关系式； (2)若，求的度数； (3)求四边形的面积； (4)在y轴上，是否存在一点Q，使以点Q、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)或或或． 【分析】（1）将点P坐标分别代入和，从而求得m，n，进而得出结果； （2）可得出，从而得出，进而根据三角形内角和得出结果； （3）可求得和的面积，进而得出结果； （3）分为：及三种情形讨论得出结果． 本题考查了求一次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴，， ∴，． （2）解：当时，， ∴， 由得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：当时，Q点在O处，此时， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当时， 或， ∴或， 综上所述：或或或． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点 (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)观察函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若P是y轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用函数图象交点求不等式解集，等腰三角形的性质，分析图象并结合题意列出符合要求的等式是解题的关键． （1）把点代入正比例函数即可得到的值，把点和点的坐标代入求得，的值即可； （2）根据图象解答即可写出关于的不等式的解集； （3）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入正比例函数，得 ，解得：， ∴， 把，代入一次函数，得 ，解得：， ∴一次函数表达式为：． （2）解：由图象可得不等式的解集为：． （3）解：对于一次函数， 当时，， ∴ ∵ ∴， 分两种情况：①当时，如图， ∴ ∴， ∴或； ②当时，如图，过点C作轴于D， ∵，轴于D， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 综上，P是y轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点、交y轴于点． (1)求直线l对应的函数表达式； (2)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出答案； （2）分三种情况讨论①当，②当，③当时即可求出答案． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为，把点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：存在，理由如下： ∵，， ； ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； ②当时，点C在点A的左侧，如图所示： 此时点C的坐标为； 当时，点C在点A的右侧，如图所示： 此时点C的坐标为； ③当时，如图所示： 设点，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 此时点C的坐标为； 综上分析可知：点C的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法和采用分类讨论的思想是关键． 【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】 【典例3】如图，已知一次函数的图像与轴交于点，一次函数的图像与轴交于点，且与轴以及一次函数的图像分别交于点，，点的坐标为． (1)______，______． (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，4 (2)6 (3)点坐标为或 【分析】（1）将点分别代入一次函数，，即可求得答案； （2）首先确定点的坐标，然后由求解即可； （3）分三种情况讨论：①当点为直角顶点时，过点作轴于，即可得出结论；②当点为直角顶点时，轴上不存在点；③当点为直角顶点时，过点作交轴于点，设，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得，解得， 将点代入一次函数， 可得，解得． 故答案为：1，4； （2）结合（1）可知，一次函数，一次函数， 对于一次函数， 令，可得， ∴， 对于一次函数， 令，可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）对于一次函数， 令，可得，解得， ∴， 如图， ①当点为直角顶点时，过点作轴于， ∵， ∴； ②当点为直角顶点时，轴上不存在点； ③当点为直角顶点时，过点作交轴于点， 设， ∵，， ∴，． ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 综合上所述：点坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，并利用数形结合的思想分析问题． 【变式3-1】如图，直线：与直线交于点，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，连接． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在一点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查一次函数、勾股定理，解题的关键是掌握分类讨论思想． （1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解； （2）记直线与x轴的交点为D，根据求解； （3）设点，分，两种情况，利用勾股定理及两点间距离公式列方程求解． 【详解】（1）解： 点在直线上， ， 点． 设直线的解析式为． 将点代入，得， 解得， 直线的解析式为． （2）解：如图1，记直线与x轴的交点为D． 将代入，解得， 点． 将代入，解得， 点， ， ． （3）解：存在． 设点． 分以下两种情况： ①如图2，当时， 在中，存在， 即， 解得． 点； ②如图3，当时， 在中，存在， 即， 解得， 点． 综上所述，点P的坐标为或． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值及一次函数解析式； (2)点D在y轴上，当是以为直角边的直角三角形时，求点D的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）求出点C坐标，将点C和点A坐标代入，根据待定系数法，即可解答； （2）分类讨论，即：①当为直角时；②当为直角时，两种情况，设点，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：把代入，可得， 解得， ， 把和代入， 可得， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：①当为直角时，如图所示：    设， ， , 可得方程， 解得， ； ②当为直角时，如图所示：    设， ， , 可得方程， 解得， ， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，勾股定理，分类讨论后画出正确图形，利用勾股定理解答是解题的关键． 【变式3-3】如图，，是直线与两坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点． (1)求，，三点的坐标； (2)点是折线上一动点． ①如图（1），当点是线段的中点时，在轴上找一点，使最小；用直尺和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点的坐标； ②是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①作图见解析，；②点的坐标为或 【分析】（1）根据直线与坐标轴交点，解方程即可得到结论； （2）①如图1，根据中点坐标公式得到，点关于轴的对称点的坐标为，设直线的解析式为，求得，于是得到结论； ②当点在上时，由得到，根据等腰直角三角形的性质得到；当点在上时，如图，设交轴于点，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】（1）解：在中，令，得；令，得， ，， 把代入，得， 直线为， 在中，令，得， 点的坐标为； （2）解：①如图所示： 点是的中点，，， ， 点关于轴的对称点的坐标为，设直线的解析式为， 把，代入，得，解得，， 故直线解析式为， 点在轴上， 令，得点的坐标为； ②存在， 理由如下：当点在上时，设交轴于点，过作轴，如图1所示： ， 为等腰直角三角形，即， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， 点的坐标为； 当点在上时，设交轴于点，如图2所示： 在与中， ， ， 点的坐标为， ，设直线的解析式为，则，解得， 直线的解析式为， 由图可知，点是直线与直线交点， 联立方程组，解得， 点的坐标为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，联立方程组求解即可解决问题． 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2． (1)求直线的解析式； (2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标； (3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)M的坐标为或 (3)的坐标为或或， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）求出，再用待定系数法可得直线的解析式为； （2）设，则，，由，得，解得或，从而的坐标为，或，； （3）求出，①当为直角顶点时，过作轴于，证明，可得，，故的坐标为；②当为直角顶点时，过作轴于，同理可得的坐标为；③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，，设，有，可解得的坐标为，． 【详解】（1）在中，令得， ； 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）如图： 设，则，， ， ， 或， 解得或， 的坐标为，或，； （3）在中，令得， ， ①当为直角顶点时，过作轴于，如图： 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 的坐标为； ②当为直角顶点时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 的坐标为； ③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， 设， ， 解得， 的坐标为，； 综上所述，的坐标为或或 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，直线与轴交于点，点在轴上方且在直线上，若面积等于6，请求出点的坐标； (3)如图2，已知点，若点为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)坐标 (3)存在， 【分析】本题考查了一次函数综合应用、待定系数法求函数解析式、三角形面积、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过作交轴于，连接，则面积等于，求出，从而得出点的坐标，再利用待定系数法得出直线为，即可得解； （3）分三种情况：设，当在轴负半轴时，过点作轴于；当在轴正半轴时，作轴于，作轴于；当在轴正半轴，作轴于，作轴于，分别求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 将，代入直线解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：如图，过作交轴于，连接， ， ，面积等于， 面积等于， ，即， ， ， 设直线为，则， 解得：， 直线为， 令，得， ； （3）解：存在， 设， 当在轴负半轴时，过点作轴于， ， ，， 是以为底边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ，即， ， ， ； 当在轴正半轴时，作轴于，作轴于， ， ，， 是以为底边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ，即， ， ， ； 当在轴正半轴，作轴于，作轴于， ， ，， 同理可证得：， ，， ，即， 解得：， ， ； 综上所述：点的坐标为． 【变式4-2】综合运用 (1)如图1，，顶点在直线上，过点作于点，过点作于点，当时，判断线段与的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程） (2)如图2，直线与坐标轴交于点，，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数解析式． (3)如图3，四边形为长方形，其中为坐标原点，点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，是线段上的动点，是直线上的动点且在第四象限，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据可判定，即可得出结论； （2）过点做交直线于点，过点作轴于，根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式； （3）根据是以点为直角顶点的等腰直角三角形，当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点在矩形的内部时，当点在矩形的外部时，设，分别根据，得出，据此列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 又，， ，， ， ， ， ； （2）解：直线与坐标轴交于点，， 、， 如图2，过点做交直线于点，过点作轴于， ，，， ， 将直线绕点顺时针旋转至直线， ， ， ， ，， ， 点坐标为， 设的解析式为，将，点坐标代入，得， 解得， 的函数表达式为； （3）解：当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况： 当点在矩形的内部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则，，， 由（1）可得，，则， 即：， 解得， ， ， 此时，，，符合题意； 当点在矩形的外部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则，，， 同理可得：，则， 即：， 解得， ， ，， 此时，，，，符合题意， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用． 【变式4-3】如图，直线经过点，点，与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的垂线交直线于点． (1)求直线的函数关系式和点的坐标； (2)当时，求点的横坐标和的面积； (3)已知点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的横坐标为或，的面积为 (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出与，确定出直线解析式，与直线联立求出坐标即可； （2）设的横坐标为，代入直线与直线解析式表示出与的纵坐标，进而表示出的长，求出的长，根据求出的值进而求出面积即可； （3）分点在轴上和点在轴上两种情况分类讨论，利用全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）直线经过点，，点， ，解得：， 直线解析式为， 联立和并解得：， 点的坐标为； （2），， ， 设点的横坐标为，则点坐标为， 轴， 点坐标为， ， 解得：或18， 当时，； 当时，同理可得：； 综上，的面积为； （3）①当点在轴上时，过作轴于点，设点坐标为， 当点在轴负半轴上时，如图1， ， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ，解得， ， 点的坐标为； 当点在轴正半轴上时，如图2， 同理得， ，， ，解得， ， 点的坐标为； ②当点在轴上时，如图3， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ，， ， 点，点为直线上一动点， ， ， 点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，待定系数法求直线解析式，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质． 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 【典例5】如图， 在平面直角坐标系中， 点， 点， 的平分线交y轴于点M． (1)求直线的函数解析式． (2)在直线上是否存在一点P，且在x轴上存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形，是以为边的平行四边形?若存在，请写出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为： (2)或 【分析】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到平行四边形的性质、角平分线的性质，分类求解是解题的关键． （1）在中，，即，求出点，即可求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：过点M作于点N， 由点A、B的坐标得，， ∵的平分线交y轴于点M，则， 设，则，则， 在中，，即， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为， 由点、的坐标得， 解得，， ∴直线的表达式为：； （2）解：存在，理由： 设点，点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：，即点； 当为对角线时， 同理可得：， 解得：， 即点； 综上，点P的坐标为或． 【变式5-1】综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点C，直线分别与x轴于点A，B． (1)求的面积． (2)点是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于点M，N．当时，求m的值． (3)过点B作x轴的垂线，交直线于点D，过点D作x轴的平行线，交直线于点E，是否存在一点F，使以F，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)36 (2)4或 (3)存在， 或或 【分析】本题主要考查一次函数，方程组，三角形的面积以及平行四边形的性质： （1）分别令直线的解析式中，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，联立直线的解析式成方程组，解方程组即可求出交点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出的面积． （2）分两种情况分别用含有m的代数式表示出根据列出方程,求出m的值即可； （3）分别求出点的坐标，分为对角线, 为对角线，为对角线，分别讨论求解即可, 【详解】（1）解：令直线中，则， 解得，， ∴； 令直线中，则， 解得，， ∴, ∴． 联立直线的解析式成方程组，， 解得， ∴交点C的坐标为 ∴． （2）①当时，， ∴ ∴， ∵ ∴， 解得，； 当时， ∴ ∴ ∵ ∴， 解得，； 综上所述，m的值为4或； （3）解：∵，且轴，点D在上， ∴， ∴, 同理可得：， 又， 设 ①当为对角线，的交点重合，即对角线的交点， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； ②当为对角线时， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； ③当为对角线时， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； 综上所述，存在这样的点坐标为或或 【变式5-2】如图，已知直线经过，两点． （1）求直线的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上 ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．    【答案】（1）； （2）①C ，D ；②存在，，或 【分析】（1）由题意根据点A，B的坐标，利用待定系数即可求出直线的解析式； （2）①根据题意过点D作于点E，利用全等三角形的判定先证△BOC≌△CED，可求出DE、OC的长，进而即可得出点C和点D的坐标； ②根据题意设点Q的坐标为（n，- n+3），分CD为边和CD为对角线两种情况考虑：当CD为边时，由C，D的坐标及点P的横坐标可求出n值，进而可得出点Q，Q′的坐标；当CD为对角线时，由C，D的坐标及点P的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出n值，进而可得出点Q″的值． 【详解】解：（1）将，代入得： 解得 直线AB得表达式为． （2）①过点D作于点E，    ，， ．又， ， ，． 设，则点D得坐标为， 点D在直线AB上， ， ， 点C得坐标为，点D得坐标为． ②存在点Q得坐标为，或． 理由如下： 设点Q的坐标为（n，- n+3）． 分两种情况考虑，如图2所示：    当CD为边时， ∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0， ∴0-n=4-1或n-0=4-1， ∴n=-3或n=3， ∴点Q的坐标为（3，），点Q′的坐标为（-3，）； 当CD为对角线时， ∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0， ∴n+0=1+4， ∴n=5， ∴点Q″的坐标为（5，）． 综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的表达式以及分CD为边和CD为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点Q的坐标． 【变式5-3】如图、在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足． （1）求AB的长； （2）若直线y=kx+b与线段AB交于点E，与坐标轴分别交于C、D两点，且点D（0，），E（1，2），求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存点P，使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）线段AB的长为2；（2）点C的坐标为（－3，0）；（3）存在，、、 【分析】（1）先求出OA，OB，再利用勾股定理即可求出AB； （2）利用待定系数法求出直线CD的解析式，即可得出结论； （3）分三种情况，利用平行四边形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴OA=2，OB=4， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得，AB=； （2）将点D（0，），E（1，2）代入直线y=kx+b中得， ， ∴， ∴直线CD是解析式为 ， 令y=0，则， ∴x=-3， ∴点C的坐标（-3，0）； （3）如图，连接BC， 由（1）知，OA=2，OB=4， ∵点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上， ∴A（2，0），B（0，4）， 由（2）知，C（-3，0）， ∴AC=5， ∵以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形， ①当AC为边时，BP∥AC，BP=AC=5， ∴P（-5，4）或（5，4）； ②当AC为对角线时，点B向下平移4个单位，再向右平移2个单位， ∴点C向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点P的坐标（-3+2，0-4）， ∴P（-1，-4）， 即：点P的坐标为（-5，4）或（5，4）或（-1，-4）． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理定理，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，，，直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，与直线AB交于点G． (1)求点G的坐标； (2)如图1，是直线上两动点，点E在点F上方，且，连接AF，BE，求的最小值及此时点F的坐标； (3)在（2）问取得最小时，点P是x轴上一动点，点Q是平面内一点，当以点为顶点的四边形是菱形时，请写出点Q的坐标，并写出求其中一个点Q的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或或． 【分析】（1）由已知求出直线的解析式，与的解析式组成方程组，求方程组的解即可得点G的坐标； （2）过点作且截取，连接交于点，即可求出的最小值及此时点F的坐标； （3）以点为顶点的四边形是菱形分三种情况讨论：；；，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 设的解析式为，把坐标代入得 解之得 ∴的解析式为 解得 ∴点的坐标为． （2）过点作，且， 连接由平行四边形的性质可得，连接交于点，此时最小． 中令，得 令，得 ∴， ∴， 过点作轴，∵， ∴ ∴ ∴点 ∴， 设的解析式为，把点的坐标代入 解得 ∴的解析式为 ∴ 此时的最小值为：． （3） 若，由四边形为菱形，可知点为点关于轴的对称点， ∴； 若，则由四边形为菱形，可知， ∵， ∴， ∴点； 若， ∵， ∴ ∴ ∴四边形为正方形 ∴点． ∴点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，由轴对称求线段和最小，菱形的性质以及两点间的距离公式，关键是熟练掌握相关的知识，特别是通过轴对称求两条线段的和最短，分类讨论四边形为菱形时的所有可能情况． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，直线：分别x轴，y轴交于点B，C，且与直线：交于点A．    (1)分别求出点A，B，C的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数解析式． (3)（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)存在，点Q的坐标为或或． 【分析】（1）对于直线的解析式，分别令与为求出与的值，确定出与B的坐标，再联立两直线解析式即可求出A的坐标； （2）设点坐标为，由三角形的面积公式可求点坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）若以为边，设点，分情况利用菱形的性质和两点间距离公式列式求出a的值，然后可得点P坐标，进而可得点Q的坐标；若为对角线，由菱形的性质可得与互相垂直平分，求出点P坐标，进而可得点Q的坐标． 【详解】（1）解：分别与轴、轴交于点、， 当时，； 当时，； 点坐标为，点坐标为， 直线：与直线：交于点， ， 解得：， 当时，， 点A坐标为， （2）解：设点坐标为， 的面积为，， ， ， 点， 设直线解析式为：， 代入得：， ， 直线的解析式为：； （3）解：存在； 若以为边，设点，如图，    当四边形是菱形时， ，， ， ，舍去， 点， ∵， 点； 当四边形是菱形时， ∵，， ， （舍去），， 点， 点； 若为对角线， 以、、、为顶点的四边形是菱形， 与互相垂直平分， 点的纵坐标为， 当时， 解得：， 点， 点坐标为； 综上所述：存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，函数图象的交点坐标，待定系数法求解析式，菱形的性质，两点间距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 【变式6-2】如图，直线分别与轴、轴交于，两点，与直线交于点． （1）b= ；k= ；点坐标为 ； （2）在线段AB上有一动点，过点作轴的平行线交直线y2于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形； （3）若点为轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得，，，四个点能构成一个菱形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；；(0，4)；（2）或；（3）存在．点坐标为，，或． 【分析】（1）根据待定系数法，将点C(4，2)代入解析式可求解； （2）设点E(m，)，F(m，2m-6)，得，由平行四边形的性质可得BO=EF=4，列出方程即可求解； （3）分两种情况讨论，由菱形的性质按照点平移的坐标规律，先确定P点坐标，再确定O点坐标即可求解． 【详解】解：（1）（1）∵直线y2=kx-6交于点C(4，2)， ∴2=4k-6， ∴k=2， ∵直线过点C(4，2)， ∴2=-2+b， ∴b=4， ∴直线解析式为：，直线解析式为y2=2x-6， ∵直线分别与x轴、y轴交于A，B两点， ∴当x=0时，y=4，当y=0时，x=8， ∴点B(0，4)，点A(8，0)， 故答案为：4；；(0，4) （2）∵点E在线段AB上，点E的横坐标为m， ∴，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：或时， ∴当或时，四边形是平行四边形． （3）存在．此时点坐标为，，或． 理由如下：假设存在．以，，，为顶点的菱形分两种情况： ①以为边，如图所示． 因为点，， 所以． 因为以，，，为顶点的四边形为菱形， 所以或． 当时，点或； 当时，点． 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． ②以为对角线，对角线的交点为，如图所示． 可得， 点P坐标为． 因为以，，，为顶点的四边形为菱形， 所以点Q坐标为． 综上可知：若点为轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点，使得，，，四个点能构成一个菱形，此时点坐标为，，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，利用待定系数法求解析式，平行四边形的性质，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 【变式6-3】如图，平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点（AOAB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x23x20的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2. （1）求A、C两点的坐标； （2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A(1，0)，C(-3，0)；(2) （3）存在，点Q的坐标为(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（1，）. 【分析】（1）根据方程求出AO、AB的长，再由AB：AC=1:2求出OC的长，即可得到答案； （2）分点M在CB上时，点M在CB延长线上时，两种情况讨论S与t的函数关系式； （3）分AQ=AB,BQ=BA,BQ=AQ三种情况讨论可求点Q的坐标. 【详解】（1）x23x20， （x-1）（x-2）=0， ∴x1=1，x2=2， ∴AO=1，AB=2， ∴A(1，0)， ， ∵AB：AC=1:2, ∴AC=2AB=4， ∴OC=AC-OA=4-1=3， ∴C(-3，0). (2) ∵, ∴, ∵, ∴, ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90， 由题意得：CM=t，BC=, 当点M在CB上时， ， ②当点M在CB延长线上时， （t＞）. 综上，. （3）存在， ①当AB是菱形的边时，如图所示， 在菱形AP1Q1B中，Q1O=AO=1，∴ Q1(-1，0)， 在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，∴Q2(1，2)， 在菱形ABP3Q3中，AQ3=AB=2，∴Q3(1，-2)； ②当AB为菱形的对角线时，如图所示， 设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中， ， 解得x=， ∴Q4（1，）. 综上，平面内满足条件的点Q的坐标为(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（1，）. 【点睛】此题考查一次函数的综合运用、解一元二次方程，解题过程中注意分类讨论. 【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】 【典例7】如图,四 边形OABC是矩形,点A、C在坐标轴上，△ODE是由△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的,点D在X轴上，直线BD交Y轴于点F,交OE于点H,线段BC、OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根，且OC＞BC． （1）求直线BD的解析式. （2）求 △OFH的面积. （3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解：y=-x+；（2）；（3）存在满足条件的N点，其坐标为（，-）或（-4，-）或（4，）． 【分析】（1）解方程可求得OC、BC的长，可求得B、D的坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式； （2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得△OFH的面积； （3）当△MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N点坐标． 【详解】（1）解方程x2-6x+8=0可得x=2或x=4， ∵BC、OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根，且OC＞BC， ∴BC=2，OC=4， ∴B（-2，4）， ∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的， ∴OD=OC=4，DE=BC=2， ∴D（4，0）， 设直线BD解析式为y=kx+b， 把B、D坐标代入可得，解得， ∴直线BD的解析式为y=-x+； （2）由（1）可知E（4，2）， 设直线OE解析式为y=mx， 把E点坐标代入可求得m=， ∴直线OE解析式为y=x， 令，解得x=， ∴H点到y轴的距离为， 又由（1）可得F（0，）， ∴OF=， ∴S△OFH=××=； （3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形， ∴△DFM为直角三角形， ①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1， 由（2）可知OF=，OD=4， 则有△MOF∽△FOD， ∴，即，解得OM=， ∴M（-，0），且D（4，0）， ∴G（，0）， 设N点坐标为（x，y），则，， 解得x=，y=-，此时N点坐标为（，-）； ②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2， 则有△FOD∽△DOM， ∴，即，解得OM=6， ∴M（0，-6），且F（0，）， ∴MG=MF=，则OG=OM-MG=6-=， ∴G（0，-）， 设N点坐标为（x，y），则 =0，， 解得x=-4，y=-，此时N（-4，-）； ③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3， ∵四边形MFND为矩形， ∴NF=OD=4，ND=OF=， 可求得N（4，）； 综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，-）或（-4，-）或（4，）． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、旋转的性质、矩形的性质、相似三角形的性质等．在（1）中求得B、D坐标是解题的关键，在（2）中联立两直线求得H点的横坐标是解题的关键，在（3）中确定出M点的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较基础，难度适中． 【变式7】如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入，可得，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据矩形的性质得，设，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵将点代入， ∴ ∴， ∴， 将，代入一次函数的解析式为得：， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：在x轴上存在点M，平面内存在一点P，使得四边形是矩形， 设， ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，勾股定理等，熟练掌握待定系 数法，矩形的性质是解题的关键． 【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】 【典例8】综合与探究 如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交x轴于点，交y轴于点D，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，是平面内一点，是否存在以A，E，M，N为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的N点坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，，则的最小值是__________． 【答案】(1) (2)100 (3)存在、． (4) 【分析】（1）令解方程得出，即可得解， （2）如图，作轴于H，轴于K，先用含n的代数式表示出点E的坐标，将E的坐标代入得出n值，进而即可得解； （3）先证为等腰直角三角形，分以A，E，M，N为顶点的正方形，共有两种情况讨论即可得解； （4）先确定F点的运动轨迹，然后作A点关于直线的对称点，连，得出最小值即为的长，求出的长即可得解； 【详解】（1）令得， 解得， ∴； （2）如图，作轴于H，轴于K， 设， 令得， ∴， ∵点B为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴,， 将,代入得： ， ∴， ∴直线， 令得， 解得， ∴， ∴，， ∴； （3）存在，理由如下： 由（2）知，， ∴， ∴， ∴，， ∴，, 又∵， ∴和都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴以A，E，M，N为顶点的正方形，共有下列两种情况，①如图所示，过作轴交x轴于点F， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图所示， ∵四边形为正方形， ∴点E和点N关于x轴对轴，， ∴； （4）如图所示，过点F作轴交x轴于点G， ∵线段绕点P逆时针方向旋转至， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴F点在直线上运动， ∴令得，，令得， ∴，， 作A点关于直线的对称点，连， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段过点R， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即 ∴， ∵， ∴最小值即为的长， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，最短距离问题,勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)求出点的坐标． (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的点的Q，其坐标为或 【分析】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、正方形的性质及分类讨论思想等．其中（3），确定出P点的位置是解题的关键． （1）令，求出的值即可得出点C的坐标； （2）设点，根据三角形面积公式结合的面积为12列式求出m的值即可得出点D的坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形，如图所示，分两种情况考虑：（i）当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；（ii）当四边形为正方形时分别求出P坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，当时，， ∴点C的坐标为 （2）解：∵是线段上的点， ∴设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把点代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为； （3）解：存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形， 如图所示，分两种种情况考虑： （i）对于，当时，， ∴, ∴ 当四边形为正方形，此时， ∴； （ii）当四边形为正方形时，直线 ∵ ∴是中点， ∵ ∴，即 由对称性可得， 综上可知存在满足条件的点的Q，其坐标为或． 【变式8-2】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕交轴于点．直线与直线相交于点． (1)求的长： (2)求直线的解析式： (3)在轴上存在点，当的值最小时，点的坐标为__________； (4)在轴上方的平面内存在一点，平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标为 【分析】（1）由折叠得，结合点的坐标得，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）运用全等性质以及勾股定理列式，得出，再运用待定系数法解直线的解析式为，即可作答． （3）取点B的对称点，连接交轴于一点，把和代入，得直线的解析式为，令，则，得； （4）结合正方形的性质运用分类讨论思想，则当为对角线时，当为对角线时；当为对角线时，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处， ∴ ∴ ∵直线与轴、轴分别交于、两点 ∴当 ∴ ∴ ∴在中， ∴； （2）解： 依题意， ∴ 由（1）知 ∴ 设 则 ∴ 解得 ∴ 设直线的解析式为 把和代入 得出 解得、 ∴直线的解析式为 （3）解：依题意， 解得 把代入 解得 ∴ 如图：取点B的对称点，连接交轴于一点 该点P是满足的值是最小的 则 ∵ ∴ ∵ ∴设直线的解析式为 把和代入 得出 解得、 ∴直线的解析式为 令，则 ∴ ∴ （4）解：设点 ∵点在轴上方 ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 综上：点的坐标为 【点睛】本题考查了一次函数的几何运用，正方形的性质，勾股定理，最短路径，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．    (1)求出点A的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）根据，解方程组得，得； （2）根据得到，根据点D是直线上一点，设，根据，确定点D坐标，设解析式解答即可； （3）分是正方形的一边和一条对角线两种情形，结合正方形的性质解答即可． 【详解】（1）根据题意，得， 解方程组，得， 故点； （2）∵， ∴， ∵点D是直线上一点， 设， 根据题意，得， 解得或， ∵点D在线段上， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）∵，，设， ∵四边形是正方形， 当是正方形的一边时， ∵， ∴且． ∴点一定位于x轴上， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的性质，得；    当是正方形的对角线时， ∵， ∴其中点坐标为． ∴点一定位于直线， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的对称性质，得； 综上所述，符合题意的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正方形的性质，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法，正方形的性质是解题的关键． 【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】 【典例9】如图，正方形的边长为2，在轴上，在轴上，且，，点C为的中点，直线交轴于点F．    (1)求直线的函数关系式； (2)过点C作，交轴于点E，求证：； (3)点P是直线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2)见解析 (3)的最小值为 【分析】（1）结合正方形的性质与边长确定C、D的坐标，再利用待定系数法求解； （2）结合已知证明，由全等三角形的性质得到垂直平分，结合垂直平分线与平行线的性质推理解答； （3）连接交直线于点P，由轴对称的性质不难得到的最小值为的长，从而解题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， ， 为的中点， ， ， 设直线解析式为， 所以， 解得， ∴直线的函数关系式为； （2）证明：是的中点， ， ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接交直线于点P， 由（2）可知点D与点F关于直线对称， ， ， 的最小值为的长． ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，掌握求一次函数解析式和求坐标点的坐标是解题关键． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，且a、b满足．    (1)如图1，求的面积； (2)如图2，若P为的中点，点M，N分别是边上的动点，点M从顶点A出发向O运动，点N从顶点O向点B运动，且他们的速度都是1个单位长度/秒，在点M和点N的运动过程中，探究线段和之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (3)若P为线段上异于A、B的任意一点，过点B作垂直于直线于点F，并延长交x轴于点D，E为x轴上一点，且（与不平行），设，请直接写出y与x的数量关系式． 【答案】(1)2； (2)，，证明过程见解析； (3)． 【分析】 （1）利用非负数的性质可求得：、，再运用三角形面积公式即可求得答案； （2）如图2，连接，运用等腰直角三角形性质和题意可证得，运用全等三角形性质即可得出答案； （3）如图3，过点作交的延长线于点，先证得，再证得，设，，则，利用，即可得出；如图4，过点作交的延长线于点，先证得，再证得，得出，设，，则，由，即可得出． 【详解】（1） ， ，， 解得：，， 、， ， ， ； （2） 如图2，连接，    ，，为的中点， ，，， 点从顶点出发向运动，点从顶点向点运动，且他们的速度都是1个单位长度秒， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 综上所述，，； （3） 如图3，过点作交的延长线于点，    则， 于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 设，，则， ， ， ， 如图4，过点作交的延长线于点，    则， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，，则， ， ， ， 综上所述，与的数量关系式为． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，非负数的性质，等腰直角三角形性质等，解题关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 【变式9-2】如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接． (1)请直接写出与的位置关系； (2)请应用（1）中结论求证：； (3)连接，若点，请直接写出三角形的面积． 【答案】(1) ，证明见解析； (2)证明见解析； (3)10． 【分析】（1）根据纵坐标相同的两点的连线平行于x轴，即可证明 ； （2）根据和平行线的性质，利用三角形内角和定理即可证明； （3）设CE的函数关系式为y=kx+b，求出点B的坐标，根据求解即可． 【详解】（1）解： ， 证明：∵，C、D两点的纵坐标相同， ∴CD平行x轴，即 ； （2）证明：∵ ， ∴， ∵，∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DCE+∠CED=180°， ∴； （3）设CE的函数关系式为y=kx+b， 代入点C（0，5），E（2，1）， 得：， 解得：， ∴CE的函数关系式为， 当y=0时，x=， 即点B（，0），AB=， ∴ ． 【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【变式9-3】如图，已知一次函数y＝3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC与x正半轴交于点C，且AC＝BC． （1）求直线AC的解析式； （2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF交x轴于点G，求证：AD＝BG； （3）在（2）的条件下，线段EF、DG分别与y轴交于点M、N，若∠AFD＝2∠BAO，求线段MN的长． 【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）先求得A、B两点的坐标，设OC＝x，则AC＝BC＝x+1，在Rt△AOC中，依据勾股定理可求得x的值，从而可求得点C的坐标，最后，利用待定系数法求解即可； （2）过点D作DH∥x轴，则∠HDF＝∠BGF．由平行线分线段成比例定理可得到FG＝DF，接下来，再证明△BGF≌△HDF，从而可得到HD＝BG，然后再证明△ADH为等腰三角形，最后，通过等量代换可得到问题的答案； （3）连接AG，过点C作CH⊥AB，垂足为H，先求得AB、AH、CN的长，从而可证明△FAD∽△CAB，则△GAD为直角三角形，然后可求得OG的长，从而得到点G的坐标，然后，再求得点D的坐标，从而可求得DG的解析式，然后可求得ON的长，最后，再依据MN＝ON﹣OM求解即可． 【详解】解：（1）当x＝0时，y＝3， ∴A（0，3）． 令y＝0得：3x+3＝0，解得：x＝﹣1， ∴B（﹣1，0）． 设OC＝x，则AC＝BC＝x+1． 在Rt△AOC中，由勾股定理可知：OA2+OC2＝AC2， 即32+x2＝（x+1）2，解得：x＝4， ∴C（4，0）． 设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝，b＝3， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3． （2）如图所示：过点D作DH∥x轴，则∠HDF＝∠BGF． ∵HD∥EF∥CG，E为CD的中点， ∴F为DG的中点． ∴FG＝DF． ∵在△BGF和△HDF中，∠HDF＝∠BGF，DF＝FG，∠HFD＝∠GFB， ∴△BGF≌△HDF（ASA）． ∴HD＝BG． ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠ABC． ∵HD∥CG， ∴∠AHD＝∠ABC， ∴∠HAD＝∠AHD． ∴AD＝DH， ∴AD＝BG． （3）如下图所示：连接AG，过点C作CH⊥AB，垂足为H． 在Rt△AOB中，依据勾股定理可知AB＝． ∵CB＝CA，CH⊥AB， ∴AH＝AB＝，∠BCA＝2∠ACH Rt△BCH中，依据勾股定理可知CH＝ ∴tan∠BAO＝tan∠ACH＝． ∴∠BAO＝∠ACH ∴∠BCA＝2∠BAO 又∵∠AFD＝2∠BAO ∴∠AFD＝∠BCA 又∵∠FAD＝∠BAC ∴△FAD∽△CAB ∴AF＝DF 又∵GF＝FD ∴△GAD为直角三角形 ∴OG•OC＝OA2 ∴OG＝ ∴G(，0) ∴AD＝BG＝ ∴D点的横坐标＝AD＝1，D点的纵坐标＝3﹣AD＝ ∴D（1，） 设直线DG的解析式为y＝kx+b， 则 解得k＝，b＝ ∴直线DG的解析式为 ∴ON＝ 又∵OM＝|Dy|＝ ∴MN＝ON﹣OM＝． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式和全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线作法是解题的关键． 【题型10 一次函数中45°角问题】 【典例10】已知，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)如图①，点A的坐标为　　，点B的坐标为　　； (2)如图②，点C是直线上不同于点B的点，且． ①点C的坐标为　　； ②过动点且垂直于x轴的直线与直线交于点E，若点E在线段上，则m的取值范围是　　； (3)若，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)①；② (3)或 【分析】（1）利用函数解析式和坐标轴上点的坐标特征即可求出答案； （2）①如图②，过点C作轴，垂足是E．证明，得出，，则可求得点C的坐标； ②如图②，作轴于D．求出点D坐标即可判断； （3）分两种情况：①作，使得，作轴于H，则是等腰直角三角形，．利用全等三角形的性质求出点N坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；②过B点作，交的延长线于N则．作轴于G点，先证明，则可得．再证明，则可得，，由此可求出的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式． 【详解】（1）如图①，令，则，得． ， 令，则， ∴． 故答案为：；； （2）①：如图②， 过点C 作轴，垂足是D， ∵， ， ，， ； ②：如图②，由①可知， ∵E在线段上，轴， ∴m的取值范围是：． 故答案为：； （3）如图③， 作，且使，作轴于H，则是等腰直角三角形，． ， ，， ， 又， ， ，， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为． 过B点作，交的延长线于N， 则， 作轴于G点， ，，， ， ． 又，， ， ，． ， ， ． 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为：． ∴满足条件的直线的解析式为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式10-1】如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，，点M 在直线上，． (1)求直线的函数解析式． (2)如图1，点N在的延长线上，，连接交x轴于点P，求点P的坐标． (3)如图2，连接 ，在直线 上是否存在点 K，使得．若存在，求点K的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解决本题的关键是用待定系数法求一次函数的解析式，在（3）中，根据直线的斜率判定点K的存在是关键，并注意数形结合思想的应用． （1）根据直线交x轴于点A，交y轴于点C，得到，，进而得到点，过点M作轴于点E，证明，所以，，所以点M的坐标为，设直线的解析式为，把点M的坐标为，点代入得，即可解答； （2）根据点N在直线直线上，设点N的坐标为，根据，求出点N的坐标为，设直线的解析式为，把点N的坐标为，代入得：，所以直线的解析式为，当时，，所以点P的坐标为． （3）①将线段绕点M逆时针旋转得到，连接交于K，此时满足条件．②将线段绕点M顺时针旋转得到，作直线交直线于，此时满足条件． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点C， 令，则；令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点， 如图①，过点M作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， 把点点M的坐标为，点代入得， 解得， ∴直线的解析式为：． （2）解：∵点N在直线直线上， ∴设点N的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∵点N在的延长线上， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 设直线的解析式为， 把点N的坐标为，代入得：， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． （3）解：将线段绕点M逆时针旋转得到，连接交于K， ∵ ∴是等腰直角三角形， 此时满足条件． 过点作轴于点，过点作于点， ∴， 又 ∴, 又， ∴ ∵M点坐标为 ∴                 ∴ ∴， ∴设直线 的解析式为 把代入得， 解得， ∴直线 的解析式为， 由，解得， ∴K点的坐标为． ②将线段绕点M顺时针旋转得到，作直线交直线于，此时满足条件 同法可得直线的解析式为， 由， 解得， ∴． 综上所述，满足条件的点K的坐标为或． 【变式10-1】已知，平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，直线：（，为常数，且）与轴正半轴及直线分别交于点，． (1)如图1，若点在轴上，且． ①填空：点的坐标为________，点的坐标为________，直线的解析式为________； ②为直线上一点，且，求点的坐标； (2)如图2，若，，求直线的解析式． 【答案】(1)①；；；②点坐标为或． (2)或 【分析】（1）①根据题意点、分别为直线和轴和轴的交点，分别将和代入解析式即可得到、的坐标，从而由得到点坐标，将、坐标代入解析式即可求得答案；②根据题意可知有两个点满足题意，根据可证明，得到点坐标，求出直线的解析式，最后根据是直线和直线的交点，求出的坐标即可，同理可得到的坐标； （2）过点作交于点，在取，设与轴交点为，不妨设点坐标为，点坐标为，通过计算出的长度，利用两点距离公式，计算出点坐标，再次利用两点距离公式，计算出点坐标，最后利用待定系数法求得直线的表达式． 【详解】（1）①直线：与x轴交于点，点在轴上 当时，，解得，当，， ， ，且直线：（）与轴正半轴点， 将、代入（），得 解得：， 故答案为：；； ②为直线上一点，且 符合题意的点有两个，如图、，连接、分别交轴于、 在和中 设直线的解析式为：，将，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为： 是直线和直线的交点 ，解得：， 同理可得， 直线的解析式为： 是直线和直线的交点 ，解得：， 综上所述，点坐标为或． （2）过点作交于点，在取，连接，设与轴交点为，如图所示： ， 不妨设点坐标为，点坐标为 将代入，得到，那么点坐标为 将代入，得到，那么点坐标为 ， 解得 那么 点坐标为 解得， 当，，此时点坐标为 设直线的表达式为，代入， ，解得 故直线的表达式为 当，，此时点坐标为 设直线的表达式为，代入， ，解得 故直线的表达式为 综上所述，故直线的表达式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，两点距离公式，等腰直角形的性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，． (1)求一次函数的解析式． (2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点A作交于点E，过点E作轴于点F，则，可得是等腰直角三角形，再证明，可得，，从而得到，进而得到点E的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图， 过点A作交直线于E，过点E作轴于F， ∵点，， ∴， 根据题意得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的函数解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为． 【变式10-3】【基础模型】 如图，等腰直角三角形中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明，我们将这个模型称为“形图”．    【模型应用】 （1）如图1所示，已知，，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，点在第一象限，则点的坐标为________；    【模型构建】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，交轴于点．    ①请求出直线的函数解析式； ②为轴上一点，连接，若，求坐标． 【答案】（1）；（2）①②或 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，该模型以等腰直角三角形为几何背景，通过作垂线构造全等三角形，熟记模型的相关结论是解题关键． （1）作轴，证即可求解； （2）①由直线求出点，的坐标，设点，根据求出点的坐标即可求解；②分类讨论当点在左侧时和当点在右侧时两种情况，根据模型结论即可求解． 【详解】解：（1）作轴，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为 故答案为：； （2）①∵直线与轴，轴分别交于点，， ∴令，则； 令，则； 即： 设点 ∴，， ∵， ∴ 即：， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ②当点在左侧时： 作轴，如图所示：    则：为等腰直角三角形， 由模型可得：， ∴ ∴ 即：点 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则； ∴ 当点在右侧时： 作轴，如图所示：    同理 ∴ ∴ 即：点 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则； ∴ 综上所述：或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$