九年级数学上学期期中模拟测试卷（二）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟测试卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：九年级第1章～第5章（苏科版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是(   ) A． B． C． D． 5．某商场第四季度的利润是60万元，其中10月份的利润是18万元，若月利润平均增长率为x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥．已知AB的长为10，圆周角，则弧AB的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为（      ） A．3 B．4 C．5 D．6 第Ⅱ卷 填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 9．方程的解是 ． 10．已知关于的一元二次方程的一个根为，则 ． 11．在中，圆心O在坐标原点上，半径为6，点P的坐标为，则点P在 （填“圆内”，“圆外”或“圆上”）． 12．把方程，化为（其中m、n为常数）的形式后为 ． 13．已知圆锥的侧面积为6π,侧面展开图的圆心角为60º，则该圆锥的母线长是 ． 14．已知二次函数（是常数），则该函数图象的对称轴是直线 ． 15．如图，在矩形ABCD中，F是边AD上的点，经过A，B，F三点的与CD相切于点E．若，则的半径是 ． 16．如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出安装木门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为 ． 17．如图，是的半径，B为上一点（不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为边作矩形，连接．若，则的长为 ． 18．如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，以CH为直径作⊙O，连接HF交⊙O于E点，则线段DE的最小值为 ． 三、解答题（本题共9小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）用适当的方法解方程： (1)； (2)； 20．（8分）如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 21．（6分）某单位对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分情况如下表所示．   甲 乙 丙 专业知识 14 18 16 工作经验 17 15 15 仪表形象 12 11 14 (1)如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为，那么作为人事主管，你应该录用哪一位应聘者？为什么？ (2)在（1）的条件下，你对落聘者有何建议？ 22．（8分）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，要求：圆心O在边上，长为半径，且与相切于点D；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 23．（8分）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24．（8分）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的直线互相垂直，垂足为D，平分． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的半径． 25．（8分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． (1)设售价每盒下降x元，则每天能售出__________盒；（用含x的代数式表示） (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； (3)当月饼每盒售价为多少元时，该商场每天所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26．（10分）【发现问题】 由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）______；______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （5）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值． 27．（10分）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E． 求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点． 求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟测试卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：九年级第1章～第5章（苏科版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般式是ax2+bx+c=0且a≠0. 【详解】解：A，方程含有两个未知数，不是一元二次方程；B，分母上有未知数，不是一元二次方程；C，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；D，经整理后得，是一元一次方程； 故选择C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义. 2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】先求出的值，再根据根的判别式即可得出答案． 【详解】解：在一元二次方程中， ， ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1 ⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根． 3．如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解题关键是熟记“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”．由垂径定理可得结合圆周角定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 故选：B 4．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：B． 5．某商场第四季度的利润是60万元，其中10月份的利润是18万元，若月利润平均增长率为x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，根据“下一个月份的利润等于前一个月份的利润×”分别表示出、月份的利润，求和，根据第四季度的利润是60万元即可列出方程．正确表示出11、12月份的利润是解题关键． 【详解】解：∵10月份的利润是18万元，月利润平均增长率为x， ∴月份利润为，月份利润为， ∵第四季度的利润是60万元， ∴可列方程为， 故选：C． 6．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的函数值．正确的计算是解题的关键． 分别将各个点坐标代入抛物线解析式，计算求解，然后比大小即可． 【详解】解：将代入，得，； 同理，， ∴， 故选：A． 7．如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥．已知AB的长为10，圆周角，则弧AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OB，OA．根据圆周角定理求得∠AOB=60°；然后用等边三角形的性质求得⊙O的半径AO=OB=10m，从而求得弧AB的长． 【详解】解：如图，连接OB，OA． ∵圆周角， ∴， ∵， ∴△AOB是等边三角形， ∴， ∴弧AB的长为：； 故选：B 【点睛】本题主要考查了等边三角形、圆周角定理、弧长公式．解题的关键是正确的作出辅助线，求出． 8．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为（      ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象．当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解． 【详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3． ，即． 当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7， ． 则，代入，得， 解得或3， 因为，即， 所以，． 故选：A． 第Ⅱ卷 2． 填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 9．方程的解是 ． 【答案】x=±4 【分析】先左右两边同除以2，然后再用直接开平方解方程即可． 【详解】解： x=±4 故答案为x=±4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握运用直接开平方法解一元二次方程是解答本题的关键． 10．已知关于的一元二次方程的一个根为，则 ． 【答案】 【分析】把代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 11．在中，圆心O在坐标原点上，半径为6，点P的坐标为，则点P在 （填“圆内”，“圆外”或“圆上”）． 【答案】圆内 【分析】先根据两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O的位置关系． 【详解】解：∵点P的坐标为（4，3）， ∴OP==5， ∵半径为6， 而6＞5， ∴点P在⊙O内． 故答案为：圆内． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r． 12．把方程，化为（其中m、n为常数）的形式后为 ． 【答案】 【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是利用配方法解一元二次方程，重点在于熟练掌握配方法的步骤． 13．已知圆锥的侧面积为6π,侧面展开图的圆心角为60º，则该圆锥的母线长是 ． 【答案】6 【分析】根据扇形的面积计算公式:，把相应数值代入即可． 【详解】解：设母线长为r，圆锥的侧面展开后是扇形，侧面积=6π， ∴r=6cm， 故答案是6cm． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了扇形的面积公式求解，解题的关键是牢记圆锥的有关公式，难度不大． 14．已知二次函数（是常数），则该函数图象的对称轴是直线 ． 【答案】2 【分析】根据函数解析式，可以计算出该函数的对称轴． 【详解】∵二次函数（a是常数）， ∴该函数的对称轴是直线x＝−＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15．如图，在矩形ABCD中，F是边AD上的点，经过A，B，F三点的与CD相切于点E．若，则的半径是 ． 【答案】 【分析】连接、、，根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设与交于点， 连接、、， 则，， 与相切于点， ， ， ， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是切线的性质、勾股定理的应用、矩形的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径． 16．如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出安装木门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设所围矩形与墙垂直的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据“羊圈的面积为”列方程求解即可． 【详解】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为，则平行于墙的一边长为， 根据题意，得， 解得，， 当时，，不符题意，舍去， 当时，，符合题意， ∴所围矩形与墙垂直的一边长为， 故答案为：． 17．如图，是的半径，B为上一点（不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为边作矩形，连接．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质、圆的基本概念等知识．根据题意利用矩形的性质得出是解此题的关键． 如图，连接．由矩形的性质得到，勾股定理得到，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 18．如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，以CH为直径作⊙O，连接HF交⊙O于E点，则线段DE的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，取的中点，连接，根据圆周角的性质可知，点在正方形内以为直径的上，可推出，由勾股定理可得，再结合三角形三边关系得出当且仅当三点共线时，线段取得最小值． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上， 连接， ∵正方形的边长是点是边的中点， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴ 在中，， ∵， ∴当且仅当三点共线时， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是判断出点E的运动轨迹． 三、解答题（本题共9小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）用适当的方法解方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题的关键： （1）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴； （2）解： 或， ∴． 20．（8分）如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形外心的性质，分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）根据（1）所求，可由坐标系直接得到答案； （3）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一可知，利用勾股定理求出即为所求； （4）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心，如图即为所求：    （2）解：由（1）可知，点坐标为 故答案为：． （3）解：取的中点，连接，如图，    则 该圆圆心到弦的距离为 故答案为：． （4）解：由图可知，最小覆盖圆的半径为长 如图所示，可知为所求，利用网格    故答案为：． 21．（6分）某单位对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分情况如下表所示．   甲 乙 丙 专业知识 14 18 16 工作经验 17 15 15 仪表形象 12 11 14 (1)如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为，那么作为人事主管，你应该录用哪一位应聘者？为什么？ (2)在（1）的条件下，你对落聘者有何建议？ 【答案】(1)应录用乙，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了加权平均数的求法和对图表数据的分析能力． （1）运用加权平均数的计算公式即可求解； （2）根据表格信息作决策即可． 【详解】（1）解：甲得分：； 乙得分：； 丙得分：． ∴应录用乙． （2）解：建议例如：对甲而言，应加强专业知识的学习，同时要注意自己的仪表形象，对丙而言，三方面都要努力，重点在专业知识和工作经验． 22．（8分）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，要求：圆心O在边上，长为半径，且与相切于点D；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题考查了角平分线、垂线和圆的作图，勾股定理，切线的判定等知识． （1）作的角平分线交于点O，过点O作于点D，以点O为半径，为半径作即可； （2）设的半径为．则,，在中，，即，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ∵平分，， ∴， ∵和都是的半径， ∴圆心O在边上，长为半径，且与相切于点D； （2）解：设的半径为． 则,， 在中，，， 则， 即， 解得 即的半径为1． 23．（8分）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的边的长为或时，能围成一个面积为的羊圈 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设羊圈的边的长为，则边的长为，根据面积公式列出方程即可． （2）根据题意，得，整理成一般方程，利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：设羊圈的边的长为，则边的长为，根据题意，得， 化简，得， 解得，， 当时，， 当时，． 答：当羊圈的边的长为或时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 化简，得， ， ∴该方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，因式分解方法解方程，转化思想，熟练掌握解方程，根的判别式是解题的关键． 24．（8分）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的直线互相垂直，垂足为D，平分． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理,正确添加辅助线是解题的关键． （1）连结，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可证明，再根据圆的切线的判定定理即可证明结论； （2）连结，根据直角三角形的性质可得，设，则，根据勾股定理列方程，即可求解答案． 【详解】（1）证明：连结， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 直线与相切； （2）连结， 是直径， ， ， ， 设，则， 在中，，， ， 解得，（舍去） ，的半径为2． 25．（8分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． (1)设售价每盒下降x元，则每天能售出__________盒；（用含x的代数式表示） (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； (3)当月饼每盒售价为多少元时，该商场每天所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)170元或174元； (3)每盒售价为172时，该商场每天所获得的利润最大，最大利润为2560元． 【分析】（1）根据每盒月饼降价2元，商场每天就可以多售出5盒．列出代数式即可； （2）设月饼每盒售价下降x元，则每天能售出盒，单件利润为元，列出方程，再解方程即可． （3）设售价每盒下降x元，利润为y元，根据“总利润等于每件利润乘以销售量”列出y与x的函数关系式，再根据二次函数的顶点坐标求最大值即可； 本题考查了列代数式、一元二次方程的应用以及二次函数的应用．理解题意、正确列出代数式、一元二次方程和函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设售价每盒下降x元，则每天能售出盒，即盒， 故答案为：； （2）解：设月饼每盒售价下降x元，则每天能售出盒，即盒， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，， 答：当月饼每盒售价为170元或174元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； （3）解：设售价每盒下降x元，利润为y元 由题意得：， 整理得：， ∴当时，该商场每天所获得的利润最大，最大利润为2560元， 此时售价为元． ∴当每盒售价为172时，该商场每天所获得的利润最大，最大利润为2560元． 26．（10分）【发现问题】 由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）______；______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （5）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值． 【答案】（1）＞，＝； （2）2； （3）； （4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米； （5）四边形面积的最小值为． 【分析】本题主要考查阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目． 【详解】解：（1）∵当，时， 有，即， 令，，则 ． 当且仅当，时，取“=”， 显然，， ∴． 同理可得，， 当且仅当，时，能取“=”， ∴． 故答案为：>，=． （2）当，令，， 则由，得 ． 当且仅当，时，即时，式子有最小值，最小值为2． ∴的最小值为：2． 故答案为：2． （3）∵， ∴， 则根据，得到 ， 当且仅当，时，， 又∵， ∴． 故答案为：． （4）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， （米）， ∵当且仅当时，的值最小， ∴或（舍）． ∴这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米． （5）设点到的距离为 ，点到的距离为 ， 又∵、的面积分别是8和14， ∴， ∴ ∴ 。 当且仅当时，取等号， ∴四边形ABCD面积的最小值为． 27．（10分）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E． 求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点． 求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据，，，得证四边形是矩形，结合，根据垂径定理，得证明四边形是正方形． （2）连接，根据定义，利用圆周角定理证明． （3）分P等垂点在圆内和圆外两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意，得，，， ∴四边形是矩形， ∵， 根据垂径定理，得 ∴四边形是正方形． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接，设，交点为G， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，是的等垂弦． （3）解：当等垂点P位于圆内，如答图所示， 过点O作，垂足分别为E，F， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴； 当等垂点P位于圆外时，如答图所示， 过点O作，垂足分别为H，G， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，分类思想，正方形的判定和性质，熟练掌握圆的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$