广东梅县东山中学2024-2025学年高三上学期8月月考数学试卷

2025届高三年级8月月考 数 学 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,则（    ） A. B. C. D. 2.已知是虚数单位,若,则的值是（    ） A. B. C. D.1 3.已知向量,,若,则（    ） A. B. C. D. 4.已知满足,则的值为（    ） A. B. C. D. 5.某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍,母线长为10,该圆台的侧面积为,则该圆台的体积为（    ） A. B. C. D. 6.方程在内实数根的个数为（    ） A.11 B.10 C.9 D.8 7.函数在上单调递增,则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8.已知函数的定义域为R,为偶函数,,当时,（且）,且.则（    ） A.40 B.32 C.30 D.36 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.在一次数学学业水平测试中,某市高一全体学生的成绩,且,,规定测试成绩不低于60分者为及格,不低于120分者为优秀,令,,则（    ） A., B.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生,该生测试成绩及格但不优秀的概率为 C.从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生,这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为 D.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生,在已知该生测试成绩及格的条件下,该生测试成绩优秀的概率为 10.已知函数是的导函数,则（    ） A.“”是“为奇函数”的充要条件 B.“”是“为增函数”的充要条件 C.若不等式的解集为且,则的极小值为 D.若是方程的两个不同的根,且,则或 11.伯努利双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系中,把到定点,距离之积等于的点的轨迹称为双纽线,已知点是时的双纽线上一点,下列说法正确的是（      ） A.双纽线是中心对称图形 B. C.双纽线上满足的点有2个 D.的最大值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.双曲线C:（,）的左、右焦点分别为,,直线与双曲线C的左、右支分别交于P,Q两点.若,则该双曲线的离心率为 . 13.若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则 . 14.甲和乙玩小游戏测试他们的默契度.在一轮游戏中,他们各写下一个三位数,分别记为A和B.当以下任一条件成立时,他们“不默契”,否则“心有灵犀”: ①A,B中相同的数字少于两个（如147和289）; ②A,B中相同的数字不少于两个,但不都在相同的数位上（如147和174）, 根据以上内容判断:在本轮游戏中,甲和乙“心有灵犀”的概率为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 的内角的对边分别为,且. (1)求角的大小: (2)若,且,求的面积. 16.(15分) 已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,且,动直线与椭圆交于两点,当直线过焦点且与轴垂直时,. (1)求椭圆的方程; (2)若直线过点,椭圆的左顶点为,当面积为时,求直线的斜率. 17.(15分) 如图,在四棱锥中,已知底面为矩形,,平面平面. (1)求证:平面; (2)若,点在棱上,且二面角的大小为.设是棱上的动点,求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18.(17分) 已知函数. (1)讨论的单调性; (2)当有最大值,且最大值大于时,求实数的取值范围; (3)若恒成立,求实数的取值范围. 19.(17分) 设任意一个无穷数列的前项之积为,若,,则称是数列. (1)若是首项为,公差为的等差数列,请判断是否为数列？并说明理由; (2)证明:若的通项公式为,则不是数列; (3)设是无穷等比数列,首项,公比为,若是数列,求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三年级8月月考 数 学(答案) 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 D D B C C A C D 7.【详解】令，则． 当时，在上单调递增， 则由复合函数的单调性可知在上单调递增， 且在上恒成立， 所以，解得或（舍去）． 所以在上单调递增， 则，解得． 当时，在上单调递减， 则由复合函数的单调性可知在上单调递减， 且在上恒成立， 所以，解得或（舍去）． 所以在上单调递减， 则，解得，与矛盾． 综上所述，. 8.【详解】因为是偶函数，所以， 用代替可得：，所以， 所以函数关于直线对称， 又因为，所以， 所以，所以关于点中心对称， 所以函数的周期为， 因为当时，（且），且， 所以，解得：或，因为且，所以. 所以当时，， 所以，，， ，，， ，所以， 所以，故选：D 二、多选题 9 10 11 BCD ACD ABD 10.【详解】对于A中，当时，函数，则满足， 所以为奇函数，所以充分性成立； 若为奇函数，则， 则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确； 对于B中，当时， ，可得，所以为增函数； 由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C中，由，若不等式的解集为且， 则在上先增后减再增，则，解得， 故，可得， 令，解得或， 当内，，单调递增；当内，，单调递减； 当内，，单调递增， 所以的极小值为，所以C正确． 对于D中，由，因为是方程的两个不同的根， 所以，即，且， 由，可得，所以，即， 联立方程组，可得，解得或，所以D正确． 11.【详解】由到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线， 则双纽线的方程为， 将替换方程中的，方程不变， 故双纽线关于原点成中心对称，故A正确； 由等面积法得，则， 所以，故B正确； 令，得，解得， 所以双曲线上满足的点有一个，故C错误； 因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 所以的最大值为，故D正确. 三、填空题 12. 13. 14. 14.【详解】由题知，当A、B中至少有两个数字相同，且在相同数位上时，甲和乙“心有灵犀”. 不妨记，当A、B中有三个数字相同时，有1种情况； 当A、B中只有两个数字相同时，若百位和十位相同，有9种情况， 若百位和个位相同，有9种情况，若十位和个位相同，有8种情况， 所以，当A、B中只有两个数字相同时，有种情况. 综上，当时，有种情况使得甲和乙“心有灵犀”. 因为三位数共有个，所以当时，甲和乙“心有灵犀”的概率为， 又因为甲写出每一个三位数且甲和乙“心有灵犀”的事件互斥， 例如：事件“且甲和乙“心有灵犀””和事件“且甲和乙“心有灵犀””互斥. 所以，甲和乙“心有灵犀”的概率为. 四、解答题 15.（1）因为，根据正弦定理边角互化，以及恒等变换可得 内角，所以,则可得， 又因，所以. （2）根据余弦定理可知，则可得， 又因，且，可得， 可得,则. 16.（1）由题意得：，，，，， ，即，； 当直线过焦点且与轴垂直时，，不妨令， 由得：，， 由得：，椭圆的方程为：. （2）由题意知：直线斜率不为，可设， 由得：，则， 设，则，， ， 又，， ，解得：， 直线的斜率. 17.（1）在四棱锥中， 因为底面为矩形，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，且， 所以平面. （2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.    则，所以， 因为点在棱上，所以设或显然不满足题设， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则，即，取，则， 所以，是平面的一个法向量， 所以， 因为二面角的大小为，所以， 即，解得，故点 设，则，平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为，则. 令，则，则， 当时，， 当时，， 令，则，则，所以当，即时，， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 18.（1）， 当时，，所以在单调递增. 当时，令，解得，则；， 所以在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，，故，即为， 令，，所以在上单调递增. 且，所以，故的取值范围为 （3）由，得， 令，所以， 令，则， 故函数在单调递增， 又， 故存在唯一的使得,则时，;时,,， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 由，则，所以， 设，， 所以在单调递增，，即，所以， 故 所以,即,故的取值范围是. 19.（1）是T数列， 理由：由题知，即， 所以，， 当时，，所以是T数列． （2）假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项， ， 所以对任意正整数，存在正整数满足：， 显然时，存在，满足，     取，得，所以， 可以验证：当，2，3，4时，都不成立， 故不是T数列. （3）已知是等比数列，其首项，公比， 所以， 所以， 由题意知对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 即对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 即对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 若，则，任意，这不可能成立； 若， 故对任意，总存在使得该等式成立， 故必为整数， 取，则有正整数解，故， 若，则，此时方程对任意， 必有正整数解； 若，则， 此时方程对任意， 必有正整数解； 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $$