九年级数学上学期期中模拟卷（二）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第21章-第24章（人教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程   通过配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（     ）． A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．以上说法都不正确 4．如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的弦，延长线交过点的的切线于点，如果，则为（　　） A． B． C． D． 6．商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．对于二次函数的性质，下列描述正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标是 10．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   11．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 12．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 第Ⅱ卷 二.填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．点关于原点对称的点的坐标是 ． 14．将二次函数的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的函数解析式为 ． 15．在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是 米． 16．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则关于x的不等式的解集是 ． 17．如图，正方形的边长为，为边上一点，．将绕点顺时针旋转，得到，连接，则 ． 18．如图在平面直角坐标系中，抛物线上已知点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，…，依此规律进行下去，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 20．（8分）如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心O在边上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 21．（8分）如图：在平面直角坐标系中，点A、B、C都在格点上 (1)画出关于原点对称的，并写出A、B、C三点关于原点对称的坐标、、． (2)画出绕原点O顺时针方向旋转90°得到的．并求点A运动到的轨迹的弧长． 22．（8分）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．（10分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)问每轮传染中平均个人传染了几个人？ (2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？ 24．（10分）【问题提出】车轮制作成圆形的相关原理 【合作探究】 （1）探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为_______；    （2）探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，求车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差； （3）探究C组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O经过的路径长． 25．（10分）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 26．（10分）如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设的面积为，求的最大值； (3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第21章-第24章（人教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的识别．中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项符合题意； B、是中心对称图形但也是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．将一元二次方程   通过配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据一除，二移，三配，四变形的步骤进行配方即可． 【详解】解： ∴； 故选A． 3．一元二次方程的根的情况是（     ）． A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．以上说法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此即可得出结论． 【详解】解：， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 4．如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质得到，，根据角的和差关系进行计算，则可求出答案．本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 【详解】解：三角形绕点逆时针旋转得到三角形， ，， ∵， ． 故选：A． 5．如图，是的弦，延长线交过点的的切线于点，如果，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质．直接利用切线的性质得出度数，再利用等腰三角形的性质得出度数． 【详解】解：连接， 的延长线交过点的的切线于点， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 6．商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设降价元，则每件利润为元，销售量为，根据“每天将盈利1120元”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设降价元，则每件利润为元，销售量为， 由题意得：， 故选：D． 7．已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线，得到离对称轴越远的点，其值越小，即可求解． 【详解】解：二次函数的解析式为， 对称轴为直线，， 该抛物线开口向下， 离对称轴越远的点，其值越小， 点，，， ，，，即， ， 故选：C． 8．如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 过C作交于点M，首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，最后利用垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过C作交于点M， ∵，，， ∴， 由垂径定理可得M为的中点， ∵， ∴ ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴ （舍去负值）． ∴． 故选：C． 9．对于二次函数的性质，下列描述正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标是 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，逐项判断即可． 【详解】解：对于二次函数， A．，则开口向上，故选项A错误，不符合题意； B． 对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意； C．当时，y随x的增大而增大，故选项C正确，符合题意； D．顶点坐标为，故选项D错误，不符合题意， 故选：C． 10．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项排除即可，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、∵一次函数的图象过一、二、三象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、三、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 故选：． 11．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与轴的交点，此类题目，要注意利用好特殊自变量的函数值的应用．①利用抛物线与轴有2个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④利用时，可进行判断；⑤根据抛物线与轴的交点即可判断． 【详解】解：①抛物线与轴有2个交点， ，所以①正确； ②图象开口向下，得， 对称轴， ， 图象与轴的交点在轴的上方，得， ，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线， ， ，所以③正确； ④抛物线对称轴为直线，图象与轴的一个交点为， 图象与轴的另一个交点为， 当时，， ，故④错误； ⑤二次函数的图象过，， 方程的解是，，故⑤正确． 故选：C． 12．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 【答案】D 【分析】首先连接，，证明在以为圆心，2为半径的圆弧上，过作于，当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，再进一步解答即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴在以为圆心，2为半径的圆弧上， 过作于， 当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值， 四边形面积=三角形面积+三角形面积， 即四边形面积=三角形面积+24． 设圆弧交于，此时四边形面积取最小值， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即四边形面积的最小值=． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 第Ⅱ卷 二.填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 14．将二次函数的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了抛物线的平移．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：二次函数的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得，即． 故答案为：． 15．在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是 米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可知点的坐标为，顶点为，设抛物线的表达式为，将点A和点B的坐标代入即可求出该抛物线的表达式，最后令，求出此时x的值即可． 【详解】解：建立如图所求的平面直角坐标系， 则点的坐标为，顶点为． 设抛物线的表达式为， 点在抛物线上， ， 解得． 抛物线的表达式为， 令，则， 解得或（不合实际，舍去）． 答：小华此次投掷的成绩是10米． 故选：10． 16．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．不等式的解集是抛物线位于直线下方，自变量的取值范围，确定抛物线与直线的交点坐标即可解答． 【详解】解：由图象可知，当或时，抛物线位于直线下方， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 17．如图，正方形的边长为，为边上一点，．将绕点顺时针旋转，得到，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，由旋转的性质可得，，由正方形的性质可得，，由勾股定理得，进而即可由即可求解，掌握正方形和旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，，， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图在平面直角坐标系中，抛物线上已知点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，…，依此规律进行下去，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标．根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设直线函数关系式为 点坐标为， ， 直线为， ，轴， ， ∵， 设直线为， 将代入得， ， ，解得或， ， ， 同理可得 ， ， ∴，， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力． （1）用十字相乘法将原方程因式分解得和，解这两个一元一次方程即可； （2）移项后，利用提公因式法将方程因式分解得和，解这两个一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ， ， ∴或， ∴，． 20．（8分）如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心O在边上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作； （2）过点O作于点H，根据角平分线性质得到，判定点H在上，是的切线，求出，根据，即可求得． 【详解】（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交于点D、E， 分别以点D、E为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F， 作射线交于点O， 以O为半径，以长为半径画圆， 即为所求作； （2）过点O作于点H， ∵， ∴， ∴是的切线， ∵平分， ∴， ∴点H在上，是的切线， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故的半径为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握基本作图，圆的切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积法求三角形高，是解决本题的关键． 21．（8分）如图：在平面直角坐标系中，点A、B、C都在格点上 (1)画出关于原点对称的，并写出A、B、C三点关于原点对称的坐标、、． (2)画出绕原点O顺时针方向旋转90°得到的．并求点A运动到的轨迹的弧长． 【答案】(1)图见详解， 、 、 ； (2)； 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的定义作出三顶点绕原点O顺时针旋转90°后得到的对应点，再根据弧长公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：关于原点O的中心对称图形如图所示： ∴的坐标为、的坐标为、的坐标为； （2）解：绕原点O顺时针方向旋转90°得到的，如图所以： 由图可知， ，， ∴点A运动到的轨迹的弧长为：． 【点睛】本题考查了中心对称变换，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． 22．（8分）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由旋转可得，由可得，进而由即可证明； （）由等边对等角可得，由全等三角形的性质可得，根据平角的定义即可求解； 本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（10分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)问每轮传染中平均个人传染了几个人？ (2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均个人传染了个人 (2)第三轮传染后共有人患流感 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解答时根据两轮传染后共有121人建立方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，一轮后就有人传染，第二轮就应该传染人，将两轮的总人数加起来建立方程求解即可． （2）根据（1）中求出一个人传染到第三轮时，共患流感人数，再翻倍即为两个人患流感到第三轮时，共患流感人． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每人传染了人， 根据题意可得：， 解得：或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． （2）解：有一个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人）， 当两个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人）， 答：第三轮传染后共有人患流感． 24．（10分）【问题提出】车轮制作成圆形的相关原理 【合作探究】 （1）探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为_______；    （2）探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，求车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差； （3）探究C组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O经过的路径长． 【答案】（1）8；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意可得车轮最高点到地面的距离始终等于圆的直径，据此可得答案； （2）画出图形，找到最高点和最低点的情形，即可得到答案； （3）当正三角形无滑动地滚动三分之一圈时，设点O运动到，过点O作水平面的垂线，垂足为C，根据正三角形的性质先推出，，则，进而可得，再求出，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】解：（1）圆形车轮与地面始终相切， 车轮最高点到地面的距离始终等于圆的直径， 圆形车轮半径为， 故车轮最高点到地面的距离始终为， 故答案为：； （2）如图所示，为正方形车轮的轴心移动的部分轨迹， 点为车轮轴心的最高点，点为车轮轴心的最低点， 由题意得车轮轴心距离地面的最低高度为 车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为， 故答案为：；    （3）如图所示，当正三角形无滑动地滚动三分之一圈时，设点O运动到，过点O作水平面的垂线，垂足为C， ∵为正三角形三条垂直平分线的交点，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴的长为， ∴车轮在地面上无滑动地滚动一周，点O经过的路径长为．    【点睛】本题主要考查圆的综合应用，主要考查了弧长公式，正方形的性质，等边三角形的性质，理解题意并画出图形是解题的关键． 25．（10分）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 26．（10分）如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设的面积为，求的最大值； (3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线的函数表达式为，点P的坐标为 【分析】（1）把A、B两点坐标分别代入解析式中，解二元一次方程组即可求解； （2）连接，设，由，利用二次函数的性质即可求解； （3）作关于直线的对称线段，连接，设中点为G，则易得：，；从而，即轴；设，，则可得点G的坐标；再求出直线的解析式，把点G的坐标代入直线解析式中，求得h；根据，得到关于t的方程，求得t，从而可求得点P的坐标，用待定系数法求得直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得：， ∴ （2）解：对于，令，则， ∴； ∵， ∴； 连接，设， ∵点P在第四象限， ∴， ∴ ， 当时，S有最大值； （3）解：如图，作关于直线的对称线段，连接，设中点为G， 则，； ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴； 设，， 则点G的坐标为； 设直线的解析式为，其中， 把点A、C的坐标代入解析式中，得：， 解得：； 即直线的解析式为； 把点G的坐标代入直线解析式中，得， ∴； ∴； ∵ ∵， ∴， 解得：或（舍去）， 则， 即点P的坐标为； 设直线的函数表达式为， 把A、P坐标分别代入得：， 解得：， 即直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，对称的性质，割补法求图形面积，勾股定理等知识，掌握相关知识，善于转化是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$