九年级数学上学期期中模拟卷（一）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第21章-第24章（人教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．将一元二次方程化为的形式，二次项系数和一次项系数及常数项分别是（　　） A．1，3，2 B．1，，2 C．1，，3 D．1，， 2．下列方程中，是一元二次方程的为(　　) A． B． C． D． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D． 4．如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 5．在平面直坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+2）2+11 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣1 6．如图，在中，，，将此三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．已知方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 10．《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 11．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（    ）    A． B． C． D． 12．如图，抛物线与轴交于两点，线段，的端点坐标为，若抛物线与两条线段和总共有且仅有一个交点，则的取值范围为（    ） A．且 B．或 C．或且 D．或 第Ⅱ卷 二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知和关于原点对称，则 ． 14．已知x＝﹣2是方程+ax﹣2＝0的根，则a的值是 ． 15．的半径为4，点与点距离为2，则点与的位置关系是 ． 16．如图，在平面上将绕点旋转到的位置时，，，则的度数为 ． 17．如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ． 18．如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）用适当方法解下列方程． (1) (2) 20．（8分）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 21．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上． (1)画出将关于点成中心对称的，并写出点的坐标． (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 22．（8分）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 23．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支付20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加元（为10的整数倍）， (1)根据题意，填写下表； 每个房间每天定价（元） 180 190 200 … 居住房间数（间） 50 49 … (2)设宾馆一天获得的利润为元，求与之间的函数解析式； (3)每个房间每天的定价增加多少元时，宾馆获得的利润最大？最大利润是多少？ 24．（10分）如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、． (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 25．（10分）如图1，抛物线经过点，，并交x轴于点E，F（点F在点E的右边）． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图2，为y轴上一动点，点D的坐标为，过三点P，E，F作抛物线，连接． ①当抛物线的顶点落在线段上时，求此时t的值． ②当抛物线与线段只有一个交点时，直接写出t的取值范围． 26．（10分）【教材呈现】下面是人教版九年级上册数学教材的 《圆》部分内容． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：的圆周角所对的弦是直径．（如图） 【推论证明】如图①已知：的三个顶点都在上，且． 求证：线段是的直径． 请你结合图①写出推论的证明过程． 【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为5的上，为直径，，是的角平分线．求线段的长． 【拓展应用】如图③，已知矩形，，，M为边上的点．若满足的点M恰好有两个，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第21章-第24章（人教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．将一元二次方程化为的形式，二次项系数和一次项系数及常数项分别是（　　） A．1，3，2 B．1，，2 C．1，，3 D．1，， 【答案】B 【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项可得答案． 【详解】解：， 移项，得：， ∴，，， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为． 2．下列方程中，是一元二次方程的为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)二次项系数不为0；(4)是整式方程． 【详解】解：A. ，含有两个未知数，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，含有两个未知数，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，符合一元二次方程定义，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对选项逐个判断即可求解． 【详解】解：A、图形为轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、图形为轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、图形为中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； D、图形为中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 4．如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，根据圆周角定理，垂径定理即可求解； 解： 连接，   是上的一条弦，直径， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，正确做出辅助线是解本题的关键． 5．在平面直坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+2）2+11 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣1 【答案】D 【分析】根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线y＝x2﹣4先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x+2）2﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移规律是解答的关键． 6．如图，在中，，，将此三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形的内角和为，可得出由旋转的性质可得出，从而得出则可求出答案． 【详解】解：在中，，， 由旋转性质可知：， ， 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，解题的关键是依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 7．已知方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据根的判别式和已知得出且，求出解集即可． 【详解】方程有两个实数根，则，且， 即， 解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能根据根的判别式得出关于k的不等式是解此题的关键． 8．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设共有个队参加比赛，根据“共要比赛90场”，即可列出方程． 【详解】解：设共有个队参加比赛， 则可列方程为：， 故选：B． 9．如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接、、，，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，， 【详解】解：连结接、、，，，，设半径为，    ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径． 10．《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设圆的半径为寸，利用勾股定理列出方程是解题的关键．利用垂径定理和勾股定理求得圆的半径即可得出结论． 【详解】解：， （寸）． 设圆的半径为寸，则寸， 寸， ， ， 解得：． 圆柱形木材的直径是（寸）． 故选：C 11．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    则 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B 【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质． 12．如图，抛物线与轴交于两点，线段，的端点坐标为，若抛物线与两条线段和总共有且仅有一个交点，则的取值范围为（    ） A．且 B．或 C．或且 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质；先设抛物线解析式为，分两种情况讨论，①当，函数最小值大于，经过点时求得的最小值；②当，函数最大值小于，经过点时取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点 ∴对称轴为直线，设抛物线解析式为， 当时，，解得：， 当经过点时，抛物线的开口最大，此时取得最小值，即 解得： ∴； 当时，，解得： 经过点时，抛物线的开口最大，取得最大值，即 解得： ∴ 综上所述，若抛物线与两条线段和总共有且仅有一个交点，则的取值范围为或 故选：D． 第Ⅱ卷 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知和关于原点对称，则 ． 【答案】4 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的横坐标与横坐标、纵坐标与纵坐标互为相反数可直接求得m、n值，再代入计算即可到答案． 【详解】解：∵点P(m-3,2)与点Q(5,n+4)关于原点对称， ∴m-3=-5，n+4=-2， ∴m=-2，n=-6， ∴m-n=-2-(-6)=4， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握关于原点对称的点的坐标变化规律． 14．已知x＝﹣2是方程+ax﹣2＝0的根，则a的值是 ． 【答案】1 【分析】把x＝﹣2代入方程+ax﹣2＝0得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：把x＝﹣2代入方程+ax﹣2＝0中， +a•（﹣2）﹣2＝0， 4﹣2a﹣2＝0， ﹣2a＝2﹣4， ﹣2a＝﹣2， a＝1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了方程根的定义和解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 15．的半径为4，点与点距离为2，则点与的位置关系是 ． 【答案】点A在内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点A到圆心的距离，则有：当时，点P在圆外；当点P在圆上；当点P在圆内．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，点与点的距离为2， ∴点A 到圆心O的距离小于圆半径， ∴点A在内． 故答案为：点A在内． 16．如图，在平面上将绕点旋转到的位置时，，，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】由旋转的性质可知，，再根据“两直线平行，内错角相等”可得，结合求得，进而可求，利用即可获得答案． 【详解】解：由旋转的性质可知 ，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角内角和定理等知识，理解并掌握旋转的性质是解题关键． 17．如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题考查了利用二次函数的图象求不等式的解集，根据二次函数与不等式的关系解答即可，正确掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图象与x轴一交点为, ∴图象与x轴的另一交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，即， 故答案为：． 18．如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正三角形的性质、勾股定理的应用，三角形的外接圆的含义，圆周角定理的应用，菱形的判定与性质，难度较大．如图，作的外接圆，当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D，连接，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作的外接圆，    ∴当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵为等边三角形， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：； 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）用适当方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，观察原方程的结构特点选择合适的方法是本题的解题关键． （1）观察原方程可知含有公因式，故采用因式分解法进行求解即可； （2）使用十字相乘法将方程因式分解为后再求解即可． 【详解】（1）解：移项，得：， 提公因式，得：， 或； 解得：，； （2）解：十字相乘法因式分解，得：， 或； 解得，． 20．（8分）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，垂径定理，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （）在上取一点，连接，作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求； （）过点作于点交一点．连接．设，利用勾股定理构建方程求解； 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：过点作一点交一点，连接， 设， ， ， 在中，， ， ， 这钢梁圆弧的半径长为． 21．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上． (1)画出将关于点成中心对称的，并写出点的坐标． (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为； (2)图见解析，点的坐标为． 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握网格的特征作出符合要求的图形． （1）根据中心对称的定义，分别作的对称点，再连成三角形即可； （2）将点，绕点逆时针旋转后得到的对应点，再连成三角形即可； 【详解】（1）解：作点，，关于点的对称点，依次连接三点，则即为所求，如图： 由图可知，点的坐标为； （2）解：由（1）知点， 将点绕点逆时针旋转后得到的，依次连接，则即为所求，如图： 由图可知，点的坐标为． 22．（8分）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据旋转的性质得出 ，求出，证即可； （2）求出，进而求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， 为等边三角形， ， 又， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识点，能灵活运用性质定理进行推理是解此题的关键． 23．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支付20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加元（为10的整数倍）， (1)根据题意，填写下表； 每个房间每天定价（元） 180 190 200 … 居住房间数（间） 50 49 … (2)设宾馆一天获得的利润为元，求与之间的函数解析式； (3)每个房间每天的定价增加多少元时，宾馆获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)每个房间每天的定价增加元时，宾馆获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查二次函数的实际应用、二次函数最值，一般式化顶点式，以及代数式表示，解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题． （1）根据题干所给信息直接求解，即可解题； （2）根据“利润房间收入房间支出”建立与之间的函数关系式，即可解题； （3）将（2）中与之间的函数解析式化为顶点式，并结合二次函数最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，（间）， 当每个房间每天定价为元时，其居住房间数为间， 故答案为：，． （2）解：由题知，， 整理得， 即有； （3）解：将化为顶点式有： ， ，函数开口向下， 当时，有最大值为， 即每个房间每天的定价增加元时，宾馆获得的利润最大，最大利润是元． 24．（10分）如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、． (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）首先利用证明，得，从而得出答案； （2）在上取,连接，首先由，得，，再利用证明，得，即可证明结论； （3）将绕点逆时针旋转得，由旋转的性质得点、、共线，由（1）同理可得，得，从而解决问题． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ， 由旋转的性质可得：，，，， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：， 证明如下： 如图，在上取，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得， ，，， ， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 25．（10分）如图1，抛物线经过点，，并交x轴于点E，F（点F在点E的右边）． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图2，为y轴上一动点，点D的坐标为，过三点P，E，F作抛物线，连接． ①当抛物线的顶点落在线段上时，求此时t的值． ②当抛物线与线段只有一个交点时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②t的取值范围为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求得点，，再求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求得的函数表达式，即可求解； ②分情况讨论，当，且抛物线在点D的上方时，抛物线与线段只有一个交点；当抛物线与线段相切时；当，且抛物线在点B的下方时，抛物线与线段只有一个交点，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：把，代入， 得解得， ∴； （2）解：①在中， 令，解得，， ∴点，， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 把，代入得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴抛物线的顶点坐标为， 设的函数表达式为， 把，代入，解得， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴把代入，得； ②设的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴的函数表达式为， 当，且抛物线在点D的上方时，抛物线与线段只有一个交点， 此时，； 当抛物线与线段相切时， 联立得， 整理得， ， 解得或（舍去）， 当，且抛物线在点B的下方时，抛物线与线段只有一个交点， 把代入，得，解得 此时，； 综上，t的取值范围为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标． 26．（10分）【教材呈现】下面是人教版九年级上册数学教材的 《圆》部分内容． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：的圆周角所对的弦是直径．（如图） 【推论证明】如图①已知：的三个顶点都在上，且． 求证：线段是的直径． 请你结合图①写出推论的证明过程． 【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为5的上，为直径，，是的角平分线．求线段的长． 【拓展应用】如图③，已知矩形，，，M为边上的点．若满足的点M恰好有两个，求m的取值范围． 【答案】推论证明：见解析；深入探究：；拓展应用： 【分析】对于（1），取的中点为D，连接，根据直角三角形的性质得出答案； 对于（2），作，，交延长线点G，结合圆的性质可证明，可说明四边形是正方形，，然后证明，再根据勾股定理求出，即可得出答案； 对于（3），当过A、B两点的与只有一个交点时，即与相切，连结并延长交点E，根据勾股定理求，再说明四边形是矩形，可得此时m的值；当点M与D点或C点重合时，连结并延长交点E，再说明D、O、B三点共线，求出此时的m的值， 可得答案． 【详解】解：（1）取的中点为D，连接． ∵， ∴， ∴点D与点O重合 ∴线段是的直径； （2）过D点作，交点F．过D作，交延长线点G． ∵为直径， ∴． ∵平分， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，半径为5， ∴． 根据勾股定理，得， ∴， ∴． 在中，； （3）当过A、B两点的与只有一个交点时，即与相切，连结并延长交点E． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得． ∵，与相切， ∴， ∴四边形是矩形． 在中，， ∴， ∴． 当点M与D点或C点重合时，连结并延长交点E． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴D、O、B三点共线，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，弧、弦、圆心角的关系，正方形的判定，勾股定理，圆周角定理，切线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$