精品解析：甘肃省嘉峪关市实验中学2024-2025学年八年级上学期10月期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期期中考试 初二年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个手机 图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则等于（　　） A. 2 B. 8 C. 4 D. 6 4. 若点与点关于轴对称，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. -7 5. 已知等腰三角形的一边等于3，一边等于7，那么它的周长等于（　　 ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 10或17 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 嘉琪不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（ ） A. 第①块 B. 第②块 C. 第③块 D. 第④块 9. 如图，射线是的平分线，D为射线上一点，于点P，，若Q是射线上一点，，则阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 5 C. 3 D. 10. 如图，在中，，是的角平分线，若P、Q分别是和边上的动点，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________. 12. 若，，则_____． 13. __________． 14. 如图所示，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O点的直线MN∥BC，若AB=12，AC=14，BC=15，则△AMN的周长为__________ . 15. 如图，直线，等边三角形ABC的顶点B在直线b上，若，则等于______． 16. 如图，在中，，，点从点出发以每秒的速度向点A运动，同时点从点A出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当时，点，运动的时间是_________秒 三、简答题（共72分） 17. 计算 （1） （2） 18. 若中不含项，求b的值． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知M,N是∠AOB内外的两点，点M在∠AOB的外部，直接在图中求作点P，使P同时满足下列条件： ①P点到∠AOB的两边距离相等； ② PM=PN.（保留作图痕迹） 21. 如图，是的平分线，．试说明：． 22. 已知：在中，，是外角的平分线．求证：． 23. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）求的面积． 24. 如图，，，，，C为AD的中点． （1）求AE的长； （2）求的度数． 25. 如图，在△ABC中，，直线l经过顶点C，分别过A，B两点作l的垂线，，E，F为垂足，． （1）求证： （2）求证：． 26. 如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 27. 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中考试 初二年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个手机 图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形． 根据轴对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方的运算，幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（，都是正整数）. 3. 在中，，，，则等于（　　） A. 2 B. 8 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据在直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半得出． 【详解】∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握“在直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键． 4. 若点与点关于轴对称，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. -7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称与坐标变化的知识，关键在于掌握关于轴对称的点的坐标规律：关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数． 利用关于轴对称的点的坐标规律可知：与4互为相反数，等于3，即可求得的值． 【详解】点与点关于轴对称． ，． ． 故选：A． 5. 已知等腰三角形的一边等于3，一边等于7，那么它的周长等于（　　 ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 10或17 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：当3为底时，其它两边都为7， 3、7、7可以构成三角形，周长为17； 当3为腰时，其它两边为3和7， ∵3+3=6<7， 所以不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有17. 故选B. 点睛：三角形的任意两边之和大于第三边. 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同底数幂除法的运算法则解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂除法，掌握公式是解答本题的关键． 7. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键． 8. 嘉琪不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（ ） A. 第①块 B. 第②块 C. 第③块 D. 第④块 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法做出判断即可． 【详解】带②去，可以利用“角边角”配出一块与原来大小一样的三角形玻璃， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形判定定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 9. 如图，射线是的平分线，D为射线上一点，于点P，，若Q是射线上一点，，则阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 5 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上一点到角的两边的距离相等；根据此性质过D作于H，则得，由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过D作于H， ∵射线是的平分线，且，， ∴， ∴； 故选：D． 10. 如图，在中，，是的角平分线，若P、Q分别是和边上的动点，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作交，过点作交于Q，交于点P，由是的角平分线，可得点C与关于对称，则即为所求． 【详解】解：如图所示：过点D作交，过点作交于Q，交于点P， 是的角平分线，， 点C与关于对称， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可. 【详解】解： 故填：. 【点睛】单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 12. 若，，则_____． 【答案】15 【解析】 【分析】由，，根据同底数幂的乘法可得，继而可求得答案． 【详解】∵，， ∴， 故答案为15. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键.本题中要注意掌握公式的逆运算． 13. __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，掌握积的乘方公式是解答本题的关键． 根据积的乘方逆运算计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图所示，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O点的直线MN∥BC，若AB=12，AC=14，BC=15，则△AMN的周长为__________ . 【答案】26 【解析】 【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB， ∴∠MBO=∠CBO，∠OCB=∠OCN； ∵MN∥BC， ∴∠MOB=∠CBO，∠NOC=∠OCB， ∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO； ∴OM=BM，CN=ON， ∴△AMN的周长=12+14=26． 点睛：本题主要考查角平分线的性质和平行线的性质以及三角形的周长求法，合理利用图中线段的相等关系是关键． 15. 如图，直线，等边三角形ABC的顶点B在直线b上，若，则等于______． 【答案】94° 【解析】 【分析】根据对顶角的性质和三角形的外角的性质得到∠4，然后根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠3＝∠1＝34°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠4＝∠A＋∠3＝94°， ∵直线a∥b， ∴∠2＝∠4＝94°， 故答案为：94°. 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：两直线平行，内错角相等． 16. 如图，在中，，，点从点出发以每秒的速度向点A运动，同时点从点A出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当时，点，运动的时间是_________秒 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设运动x秒，使得，根据题意，，列式计算即可． 【详解】设运动x秒，使得， 根据题意，， 故， 解得． 故答案为：4． 三、简答题（共72分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． （1）先乘方，再根据单项式乘单项式法则计算； （2）根据多项式除以单项式法则计算． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 18. 若中不含项，求b的值． 【答案】 【解析】 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并得到结果，根据结果中不含x2项，即可求出b的值． 【详解】， 由结果不含项，得到， 解得：． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式及化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的乘法法则进行化简，然后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 已知M,N是∠AOB内外的两点，点M在∠AOB的外部，直接在图中求作点P，使P同时满足下列条件： ①P点到∠AOB的两边距离相等； ② PM=PN.（保留作图痕迹） 【答案】 如图所示：P点即为所求． 【解析】 【分析】使P到点M、N的距离相等，即画MN的垂直平分线，且到∠AOB的两边的距离相等，即画它的角平分线，两线的交点就是点P的位置． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键． 21. 如图，是的平分线，．试说明：． 【答案】 证明： 是的平分线， ． 在和中， ， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的性质找到证明三角形全等的条件． 根据角平分线的定义得到，再结合已知的相等线段，利用全等三角形的判定定理证明，最后根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略 22. 已知：在中，，是外角的平分线．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴； ∵是外角的平分线， ∴； ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定．由中，可知，，由三角形内角与外角的关系可知，因为平分的外角．故同位角，由此得出结论． 【详解】略 23. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）求的面积． 【答案】 （1）画出图形如下： , 、、的坐标为、、； （2）的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，写出坐标即可； （2）利用割补法求面积即可求解． 【详解】解：（1）、、的坐标为、、； （2）的面积为． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的对称、割补法求面积，根据轴对称的定义画出图形是解题的关键． 24. 如图，，，，，C为AD的中点． （1）求AE的长； （2）求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由得，．再由C为AD的中点即可求解； （2）由得，，从而求得，进而利用周角定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，． 又∵C为AD的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理、中点定义以及周角定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 25. 如图，在△ABC中，，直线l经过顶点C，分别过A，B两点作l的垂线，，E，F为垂足，． （1）求证： （2）求证：． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）先利用证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可以得到，据此即可证明； （2）根据全等三角形对应角相等可以得到，因为，所以，根据平角定义可得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 26. 如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）4 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 27. 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）； （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $