专题06 整式化简求值经典题型（九大题型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版2024新教材）

专题06 整式求值经典题型（九大题型） 重难点题型归纳 【题型1 直接代入】 【题型2 整体代入-配系数】 【题型3整体代入-奇次项为相反数】 【题型4 整体构造代入】 【题型5不含无关】 【题型6 化简求值】 【题型7 绝对值化简求值】 【题型8 非负性求值】 【题型9 定义求值】 【题型1 直接代入】 1．当时，代数式的值是（   ） A． B．1 C．0 D． 2．当时，代数式的值是（　  　） A． B．1 C．2 D． 3．当x=-1时，代数式x2+2x+1的值是（　　） A．-2 B．-1 C．0 D．4 4．当时，代数式的值是（    ） A． B．7 C．1 D． 【题型2 整体代入-配系数】 5．若，则的值为 ． 6．已知，则= ． 7．若，则代数式的值是 ． 8．已知a是方程x2﹣3x﹣5＝0一个根，则代数式2a2﹣6a的值为 ． 9．已知，整式的值是7，则代数式的结果是 ． 10．若，则 ． 11．已知，则的值为 ． 【题型3整体代入-奇次项为相反数】 12．当时，整式的值为2024，则当时，整式的值是（　　） A．2025 B． C．2024 D． 13．当时，代数式的值为2025，则当时，的值为（　　） A．2024 B． C．2023 D． 【题型4 整体构造代入】 14．【阅读理解】 根据合并同类项法则，得；类似地，如果把看成一个整体，那么；这种解决问题的思想方法被称为“整体思想”，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 15．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，求将合并的结果． （2）已知，求代数式的值． 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 16．阅读材料； 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则 ．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，求将合并的结果； (2)已知，则______； (3)已知，求的值； 17．阅读材料： 我们知道，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果为_____； 拓广探索： （2）已知，求的值． 【题型5不含无关】 18．若多项式的值与的值无关，则的值为 ． 19．若代数式的值与字母的取值无关，试求、的值． 20．已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 21．已知：，． (1)计算：； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 22．已知多项式，其中，满足． (1)若，，将多项式化简并求值； (2)若多项式的值与字母的取值无关，求，的值． 【题型6 化简求值】 23．已知代数式，，． (1)化简：； (2)当时，求的值． 24．化简，求值：，其中，． 25．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 26．先化简，再求值： ，其中x， y 满足． 27．先化简，再求值：，其中，． 【题型7 绝对值化简求值】 28．若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图： (1)判断下列各式的符号： 0； 0； 0 (2)化简 29．如图所示，有理数a，b在数轴上，完成下列问题． (1)（填，或） (2)化简： 30．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1) ， ， ； (2)化简：． 31．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)a 0， 0， 0， 0； (2)化简． 【题型8 非负性求值】 32．已知，求（   ） A．1 B． C． D．0 33．若 ，则的值为 ． 34．已知 则 ． 【题型9 定义求值】 35．定义：是不为1的有理数，我们称为的差倒数．如3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则 ． 36．定义，即当时，；当时，，则 ． 37.（1）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示且，化简． （2）用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． 计算：的值． 38．定义新运算：满足 (1)当，化简； (2)如果化简的结果与无关，求的值． 39．定义：对于依次排列的多项式、、、（是常数），当他们满足，且是常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，例如，对于多项式、、、来说因为 ，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子__________． (2)若、2、、3是一组平衡数，求的值． (3)当之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 整式求值经典题型（九大题型） 重难点题型归纳 【题型1 直接代入】 【题型2 整体代入-配系数】 【题型3整体代入-奇次项为相反数】 【题型4 整体构造代入】 【题型5不含无关】 【题型6 化简求值】 【题型7 绝对值化简求值】 【题型8 非负性求值】 【题型9 定义求值】 【题型1 直接代入】 1．当时，代数式的值是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，掌握有理数的加减运算法则是解题关键．将的值代入代数式计算即可． 【详解】解：当时，代数式， 故选：D． 2．当时，代数式的值是（　  　） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】把x的值代入进行计算即可． 【详解】解：把代入， 得， 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．当x=-1时，代数式x2+2x+1的值是（　　） A．-2 B．-1 C．0 D．4 【答案】C 【详解】试题解析：当时， 故选C. 4．当时，代数式的值是（    ） A． B．7 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式的值．把代入代数式进行求解即可． 【详解】解：把代入代数式得：； 故选：D． 【题型2 整体代入-配系数】 5．若，则的值为 ． 【答案】2018 【分析】本题考查了代数式求值．把代数式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：2018． 6．已知，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值问题，首先把化成，然后把代入化简后的算式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：． 7．若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了求代数式的值，首先由已知得，再将转化为，然后整体代入即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 8．已知a是方程x2﹣3x﹣5＝0一个根，则代数式2a2﹣6a的值为 ． 【答案】10 【分析】根据方程的根的定义，把x＝a代入方程求出a2﹣3a的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵a是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根， ∴a2﹣3a﹣5＝0， 整理得，a2﹣3a＝5， ∴2a2﹣6a＝2（a2﹣3a） ＝2×5 ＝10． 故答案是：10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，利用整体思想求出a23a的值，然后整体代入是解题的关键． 9．已知，整式的值是7，则代数式的结果是 ． 【答案】2024 【分析】根据题意可得，则，将其整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：2024． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，将所求的代数式进行变形利用总体思想求解是解题的关键． 10．若，则 ． 【答案】10 【分析】原式合并后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， 把代入得： 原式， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11．已知，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据题意得出，整体代入求出即可． 【详解】解：， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求代数式的值的应用，能整体代入是解此题的关键． 【题型3整体代入-奇次项为相反数】 12．当时，整式的值为2024，则当时，整式的值是（　　） A．2025 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了代数式求值问题，正确进行计算是解题关键．由于时，代数式的值为2024，可得，可以解得的值，然后把代入，得，即可作答． 【详解】解：当时，整式的值为2024， ， ， 当时，， ， ， 故选：B． 13．当时，代数式的值为2025，则当时，的值为（　　） A．2024 B． C．2023 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，先根据题意得到，则，再根据当时，进行求解即可． 【详解】解：∵当时，代数式的值为2025， ∴， ∴， ∴当时，， 故选：D． 【题型4 整体构造代入】 14．【阅读理解】 根据合并同类项法则，得；类似地，如果把看成一个整体，那么；这种解决问题的思想方法被称为“整体思想”，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了合并同类项，求代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用合并同类项计算即可． （2）变形，代入计算即可． （3）把已知左右分别相加，计算出，化简被求代数式，计算即可． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）∵， ∴ ． （3）∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 15．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，求将合并的结果． （2）已知，求代数式的值． 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）8；（3）6 【分析】本题考查了整式的加减运算与化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键． （1）根据合并同类项法则合并即可． （2）将代数式变形，然后把已知条件的值代入计算即可． （3）把原式去括号整理后，变为，然后整体代入求值可． 【详解】（1）解： （2）解：， ， ． （3）解：，，， ． 16．阅读材料； 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则 ．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，求将合并的结果； (2)已知，则______； (3)已知，求的值； 【答案】(1)； (2)2025 (3)． 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）整理后，把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：∵， ∴ 故答案为：2025； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 17．阅读材料： 我们知道，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果为_____； 拓广探索： （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）48 【分析】本题考查的是合并同类项，掌握“整体法理解同类项的含义”是解本题的关键． （1）看成一个整体，直接合并同类项即可． （2）先去括号合并同类项，再把代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴ ． 【题型5不含无关】 18．若多项式的值与的值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，原式去括号合并后，根据结果与的值无关，确定出的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵多项式的值与的值无关， ∴，解得：， 故答案为：． 19．若代数式的值与字母的取值无关，试求、的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，先去括号，然后合并同类项求出的结果，再根据的值与字母的取值无关，得到，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵代数式的值与字母的取值无关， ∴， ∴． 20．已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的加减，属于基础的代数计算题，难度不大．解题的关键是熟知整式的加减运算法则． （1）根据整式的加减运算法则即可求解； （2）把化为，根据值与x的取值无关得到，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知：， ∵的值与字母x的取值无关， ∴， ∴． 21．已知：，． (1)计算：； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）本题考查整式的加减，先去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）本题考查整式加减的无关型题，根据的值与y的取值无关则的系数为0即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：由（1）得， ， ∵的值与y的取值无关， ∴， 解得：． 22．已知多项式，其中，满足． (1)若，，将多项式化简并求值； (2)若多项式的值与字母的取值无关，求，的值． 【答案】(1)，3 (2)， 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式加减的法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项，最后代入数值进行计算即可； （2）先去括号，然后合并同类项，最后根据题意得出关于a、b的方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：原式 把，代入得：原式 ∵， ∴原式 （2）解：由（1）得：原式， ∵， ∴ 把代入得：原式 ∵多项式的值与字母的取值无关， ∴，， 解得：， 【题型6 化简求值】 23．已知代数式，，． (1)化简：； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算： （1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）先根据整式的加减计算法则求出的结果，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解；∵，， ∴ ， 当时，原式． 24．化简，求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据整式的加减法法则运算并化到最简，再代入数值计算即可． 【详解】原式 ． 当时，原式 ． 25．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先去括号，再合并同类项化简，最后代值计算即可； （）先去括号，再合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时， 原式 ； （2）解：原式 当，时， 原式 ． 26．先化简，再求值： ，其中x， y 满足． 【答案】，50 【分析】本题考查了整式的加减，非负数的性质等，先对整式去括号，合并同类项，将整式化为最简，然后利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式． 27．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值．先对整式去括号，然后再合并同类项，化简后再把、的值代入计算即可得到结果． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【题型7 绝对值化简求值】 28．若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图： (1)判断下列各式的符号： 0； 0； 0 (2)化简 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查绝对值，有理数大小比较，去括号，合并同类项，解题关键在于结合数轴判断各数的大小． （1）数轴上的数，右边的数总比左边的数大，可得：，，，所以可知：，，． （2）根据正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其的相反数，化简绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，，， ∴，，； （2）解： ． 29．如图所示，有理数a，b在数轴上，完成下列问题． (1)（填，或） (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，以及整式的加减运算，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）根据有理数a，b在数轴上的位置，结合有理数的加减法法则求解即可； （2）根据（1）中结果和绝对值的意义化简各绝对值，再进行加减运算． 【详解】（1）解：由数轴得，，且， ∴，，． 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴ ． 30．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1) ， ， ； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，化简绝对值，有理数与数轴： （1）根据数轴可得，再根据有理数减法计算法则即可得到答案； （2）根据（1）所求先去绝对值，再利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴， ∴ 故答案为：；；； （2）解：∵， ∴ ． 31．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)a 0， 0， 0， 0； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，化简绝对值： （1）根据点在数轴上的位置，判断即可； （2）根据式子的符号和绝对值的意义，化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ∴，，，， ∴， 故答案为：； （2）由数轴可知：， ∴原式． 【题型8 非负性求值】 32．已知，求（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查绝对值和平方式的非负性、代数式求值，理解非负数的性质并正确求解是解答的关键．根据绝对值和平方式的非负性求出a、b，再代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 33．若 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解： ， ， 解得， ， 故答案为：． 34．已知 则 ． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值、平方数的非负性，由原等式得到两个一元一次方程，求解方程得字母值，代入代数式求解即可． 【详解】解：由原式得，且， ∴． ∴； 故答案为：1 【题型9 定义求值】 35．定义：是不为1的有理数，我们称为的差倒数．如3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的运算和倒数，根据差倒数的定义，求，，等的值，可得这组数是以，2，为1个顺序循环，而，因此即可得出结果，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 【详解】，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，， ； ； ； 由此得出：这组数是以，2，为1个顺序循环， ， ， 故答案为：2． 36．定义，即当时，；当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意可以得到，，，，从而可以得到规律（n为正整数），据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ， ∴，，， ∴可以得到（n为正整数）， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律型问题，有理数的乘方运算，解题的关键在于能够根据题意找到规律进行求解． 37.（1）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示且，化简． （2）用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． 计算：的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由数轴可得，则，据此化简绝对值后利用整式的加减计算法则求解即可； （2）新根据新定义计算出，再根据新定义计算出的结果即可． 【详解】解：（1）由数轴可得， ∴， ∴ ； （2） ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，有理数的四则混合计算，新定义，能够按照规定的新运算正确计算是解题关键． 38．定义新运算：满足 (1)当，化简； (2)如果化简的结果与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据所给的新定义结合整式的加减计算法则进行求解即可； （2）根据化简的结果与y的取值无关，得出，求出x的值，然后代入（1）中所求的式子中求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：原式 ， 化简的结果与无关 ， ， 当时，原式． 39．定义：对于依次排列的多项式、、、（是常数），当他们满足，且是常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，例如，对于多项式、、、来说因为 ，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子__________． (2)若、2、、3是一组平衡数，求的值． (3)当之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据定义计算M的值； （2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出m的值即可； （3）根据定义化简计算，可得a，b，c，d之间满足的数量关系式． 【详解】（1） ； （2）∵，，，是一组平衡数， ∴的结果为常数， ∵ ∴， 解得． 故答案为：； （3）． 证明：假设a，b，c，d是平衡数， 则结果为常数， ． ∵结果为常数， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$