第三章 分式（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

第三章 分式 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可判断，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、不一定成立，故选项不符合题意； B、不一定成立，故选项不符合题意； C、，正确，故选项符合题意； D、的分子和分母不能约分，，故选项不符合题意； 故选：C． 2．若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用比例的性质可得，可判断 由可得再计算可判断 由 利用分式的基本性质可判断 由利用分式的加法的逆运算可判断 从而可得答案． 【详解】解： ， ，故不符合题意； 故不符合题意； ， ，故不符合题意； ， ，故符合题意； 故选D． 3．对于两个不相等的有理数，规定表示中较大的值，如果．按照这个规定，方程的解为（   ） A．或 B． C．无解 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式方程的解法，根据新定义运算的规定可得，再解分式方程并检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 经检验，是方程的根． ∵， 故不是方程的根， 故原方程无解． 故选：C． 4．要使分式的值为0，则x应满足（    ） A．x＝2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式值为零的条件．利用分式的值为零则分子为零，分母不等于0，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：B． 5．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式的定义、分式的性质，根据最简分式是分式的分子和分母没有公因式的分式逐项判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简分式，不符合题意； B、，故不是最简分式，不符合题意； C、，故不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式符合题意． 故选：D． 6．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简，将分母化简后，分子分母同时约去公因式即可解答． 【详解】解：． 故选：C 7.参加“绿化家园”活动，已知乙班同学每小时比甲班多种2棵树，甲班同学种20棵树与乙班种26棵树所用的时间相同．设甲班每小时种棵树，则列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据甲班同学种20棵树与乙班种26棵树所用的时间相同，可以列出相应的分式方程． 【详解】解：甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种棵树， 由题意可得：， 故选：D． 8．下列各组线段的长度成比例的是（    ） A．2cm，4cm，6cm，8cm B．10cm，20cm，30cm，40cm C．2.2cm，3.3cm，5cm，8cm D．20cm，30cm，60cm，40cm 【答案】D 【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可． 【详解】解：A、2×8≠4×6，故本选项错误； B、10×40≠20×30，故选项错误； C、2.2×8≠3.3×5，故选项错误； D、20×60=30×40，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了比例线段，用到的知识点是成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 9．下列各式：①；②；③；④．其中计算结果相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】先根据分式的运算法则计算各式，然后可得答案． 【详解】解：①， ②， ③， ④； 所以，计算结果相等的是①③； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则、正确计算是解题的关键． 10．已 知， 且   ，则等于（   ） A．x B．x +1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律以及分式化简，解题的关键是能根据求出的结果得出规律，再利用规律求解．分别求出，，，，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律进行求解． 【详解】解：， ， ， ， 该数列每三个数就循环一次， ， ， 故选：C． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．下列各式，，，，，，，中，分式共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，，，，是分式，共6个， 12．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的加法运算法则化简分式，再整体代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 13．已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加法运算；先把分式通分化简得，根据分母为2的因数即可求得x的值，再把所有这些值相加即可． 【详解】解： ； 由于x为整数，且原式为整数， 所以或， 解得：或2或5或1， ∴， 14．若，且，那么的值为 ． 【答案】64 【分析】设x=3k，y=4k，z=7k，代入2x-y+z=18可求出k得值，进而求出x、y、z得值，即可求得答案. 【详解】设x=3k，y=4k，z=7k， 代入2x-y+z=18得：6k-4k+7k=18，解得：k=2， 所以x=6，y=8，z=14， 所以x+2y+3z=6+16+42=64. 故答案为64. 【点睛】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．熟练掌握比例的性质是解题关键. 15．观察下列方程的特征及其解的特点． ①的解为，； ②的解为，； ③的解为， 根据这类方程的特征，写出第个方程为________，其解为________； 【答案】)；， 【分析】本题考查分式方程的解，理解方程的解，并根据题意总结归纳出一般规律是解题关键． 【详解】（1）解： （2）解：∵，． ∴第个方程为， 其解为：， 16．对于正数，规定.例如,,则 . 【答案】2013.5 【详解】∵当x=1时,f（1）= ,当x=2时,f（2）= ,当x= , 时,f（ ）=,当x=3时,f（3）= , 当x= 时,f（ ）= …, ∴f（2）+f（ ）=1,f（3）+f（ ）=1,…,∴f（n）+…+f（1）+…+f（ ）=f（1）+（n-1）,∴f（1）+（2014-1）= ,故答案为:. 3． 解答题：本小题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的求解步骤是解答的关键，注意计算结果要检验． （1）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后经检验可得分式方程的解； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后经检验可得分式方程的解． 【详解】（1）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 解得， 经检验，是分式方程的解； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 解得 经检验，是分式方程的增根， 故原分式方程无解． 18．【新情境】 数学课上，老师给出题目：先化简，然后从中选出合适的整数作为x的值代入求值．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式： … 解：原式： … (1)甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③ (2)解答过程见解析，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的基本性质，乘法分配律，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质和乘法分配律即可求解； （2）根据分式的加法法则和乘法法则可以化简题目中的式子，然后从中，选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1）解：根据题意可知，甲同学解法的依据是②，乙同学解法的依据是③， 故答案为：②，③； （2）解：选甲同学的解法： 原式 ， 若使分式有意义，x不能取，0，2，因为从中选出合适的整数作为x的值， ∴， ∴原式， 选乙同学的解法： 原式 ； 若使分式有意义，x不能取，0，2，因为从中选出合适的整数作为x的值， ∴， ∴原式． 19．以下是小明解方程的过程，请认真阅读，并完成相应任务． 解：去分母：…………．第一步． 去括号： …………，第二步 移项，合并同类项得：…………．第三步 系数化为1，得：…………．第四步 检验：当时，， 所以：是原分式方程的解． (1)填空： ①以上解题过程中，第一步去分母的依据 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (2)请你写出此方程的正确求解过程． 【答案】(1)二，去括号时第二项没有变号； (2)，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程步骤的依据以及解分式方程的一般步骤． （1）观察已知条件所给的解方程的步骤，根据等式的基本性质进行解答即可； （2）观察已知条件所给的解方程的步骤，根据去括号法则进行解答即可； 按照解分式方程的一般步骤解方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步去分母的依据等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； 第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时第二项没有变号， 故答案为：二，去括号时第二项没有变号． （2）解：正确的求解过程如下： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1，得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 20．观察下面的变化规律，解答下列问题： ，，，． (1)若为正整数，猜想__________，并且验证你的猜想； (2)解分式方程：； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解分式方程，关键是分式的加减运算． （1）猜想，再根据异分母分式相加减计算，即可求解； （2）根据（1）中的规律把原方程变形为，可化为，解出即可； （3）根据（1）中的规律把原式变形，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：， 验证：右边 左边， 猜想成立； （2）解：， ， ， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， 原方程的根为； （3）解： ． 21．先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中满足． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式化简求值； （1）先对括号内进行分式加减运算，同时进行因式分解，并将除法转换为乘法，将最终结果化为最简分式，代值计算即可求解； （2）先对括号内进行分式加减运算，同时进行因式分解，并将除法转换为乘法，将最终结果化为最简分式，将化为，整体代值计算即可求解； 掌握分式化简求值的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； 当时， 原式 ； （2）解：原式 ； 由得， ， 原式 ． 22．（1）已知关于的分式方程有增根，求的值． （2）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 【答案】（1）3；（2）m的值为3或0或4 【分析】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键． （1）解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a的值； （2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值． 【详解】解：（1）， 去分母得到， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴a的值为3； （2）， 去分母得到， 解得， ∵方程有整数解， ∴或且， 解得：或3或0或4且， ∴或0或4， ∴此时整数m的值为3或0或4． 23．第届国际世界杯足球赛于年月日至月日在卡塔尔境内座球场举行．某体育运动专卖店采购员预测某款型短袖T恤衫能畅销市场，就用元购进一批这种T恤衫，由于市场供不应求，该店铺又用元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵元． (1)该店铺购进第一批，第二批T恤衫每件的进价分别是多少元? (2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后断码的件T恤衫按五折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率为（除去元的快递费用），那么每件T恤衫的标价是多少元？ 【答案】(1)购进第一批T恤衫每件的进价是元，第二批T恤衫每件的进价是元 (2)每件T恤衫的标价是元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次方程的应用，解应用题时需要理清楚等量关系，找到合适的量设未知数，顺题意列出方程，注意分式方程求解需要检验． （1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元，根据两次购买数量关系列分式方程求解即可； （2）设每件T恤衫的标价是元，根据售价成本利润列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 购进第一批T恤衫每件的进价是元，第二批T恤衫每件的进价是元； （2）设每件T恤衫的标价是元， 两次够进T恤衫的数量为：（件）， 总成本为：（元）， 根据题意得：， 解得：， 每件T恤衫的标价是元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 分式 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．对于两个不相等的有理数，规定表示中较大的值，如果．按照这个规定，方程的解为（   ） A．或 B． C．无解 D．1 4．要使分式的值为0，则x应满足（    ） A．x＝2 B． C． D． 6．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 8．下列各组线段的长度成比例的是（    ） A．2cm，4cm，6cm，8cm B．10cm，20cm，30cm，40cm C．2.2cm，3.3cm，5cm，8cm D．20cm，30cm，60cm，40cm 9．下列各式：①；②；③；④．其中计算结果相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 10．已 知， 且   ，则等于（   ） A．x B．x +1 C． D． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．下列各式，，，，，，，中，分式共有 个． 12．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为 14．若，且，那么的值为 ． 15．观察下列方程的特征及其解的特点． ①的解为，； ②的解为，； ③的解为， 根据这类方程的特征，写出第个方程为________，其解为________； 16．对于正数，规定.例如,,则 . 三．解答题：本小题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解方程： (1)； (2)． 18．【新情境】 数学课上，老师给出题目：先化简，然后从中选出合适的整数作为x的值代入求值．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式： … 解：原式： … (1)甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 19．以下是小明解方程的过程，请认真阅读，并完成相应任务． 解：去分母：…………．第一步． 去括号： …………，第二步 移项，合并同类项得：…………．第三步 系数化为1，得：…………．第四步 检验：当时，， 所以：是原分式方程的解． (1)填空： ①以上解题过程中，第一步去分母的依据 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (2)请你写出此方程的正确求解过程． 20．观察下面的变化规律，解答下列问题： ，，，． (1)若为正整数，猜想__________，并且验证你的猜想； (2)解分式方程：； (3)利用上述规律计算：． 21．先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中满足． 22．（1）已知关于的分式方程有增根，求的值． （2）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 23．第届国际世界杯足球赛于年月日至月日在卡塔尔境内座球场举行．某体育运动专卖店采购员预测某款型短袖T恤衫能畅销市场，就用元购进一批这种T恤衫，由于市场供不应求，该店铺又用元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵元． (1)该店铺购进第一批，第二批T恤衫每件的进价分别是多少元? (2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后断码的件T恤衫按五折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率为（除去元的快递费用），那么每件T恤衫的标价是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$