专题6.10 反比例函数（全章常考点分类专题）（基础练）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题6.10 反比例函数（全章常考点分类专题）（基础练） 【考点目录】 【第一部分】反比例函数定义 【考点1】利用反比例函数定义求解析式； 【考点2】利用反比例函数定义求函数值或自变量； 【第二部分】反比例函数图象 【考点3】判断反比例函数图象位置； 【考点4】综合判断反比例函数和一次函数图象； 【考点5】由反比例函数图象位置判断其解析式； 【考点6】由反比例函数图象位置求参数取值范围； 【第三部分】反比例函数的性质 【考点7】利用反比例函数的对称性求值； 【考点8】利用反比例函数增减性求参数或取值范围； 【考点9】利用反比例函数增减性求比较大小； 【考点10】反比例函数图象与性质综合； 【第四部分】反比例函数k值的几何意义 【考点11】已知k值求三角形面积； 【考点12】已知k值求特殊四边形面积； 【考点13】已知三角形面积求k值； 【考点14】已知特殊四边形面积求k值； 【第五部分】反比例函数与一次函数综合 【考点15】反比例函数与一次函数交点问题； 【考点16】反比例函数与一次函数几何综合； 【第六部分】反比例函数的应用 【考点17】反比例函数实际应用； 【考点18】反比例函数与一次函数综合应用. 【第一部分】反比例函数定义 【考点1】利用反比例函数定义求解析式； 【1-1】（21-22八年级下·江苏淮安·期末）矩形的面积为20平方米，它的长y米，宽x米之间的函数表达式是（  ） A． B． C． D． 【1-2】（20-21九年级上·重庆·阶段练习）已知两个变量x与y之间的对应值如下表，则y与x之间的函数解析式可能是（    ） x … 1 2 … y … 12 6 … A． B． C． D． 【1-3】 （23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）若是反比例函数，则此函数解析式为 ． 【1-4】 （2022九年级下·全国·专题练习）已知，A(﹣3，n)，C(3n﹣6，2)是反比例函数（x＜0）图象上的两点，则反比例函数的解析式为 ． 【考点2】利用反比例函数定义求函数值或自变量； 【2-1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【2-2】（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图反比例函数的图象经过点，若，则x的范围是（  ）    A． B． C．或 D．或 【2-3】（2024·陕西咸阳·三模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 【2-4】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ． 【第二部分】反比例函数图象 【考点3】判断反比例函数图象位置； 【3-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点在双曲线上，则其图象一定分布在第（   ）象限． A．一、二 B．二、四 C．二、三 D．一、三 【3-2】（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【3-3】（2024九年级上·上海·专题练习）反比例函数（其中为任意实数）的图象在第 象限． 【3-4】 （22-23九年级下·全国·课后作业）表示关系式①，②，③，④的图象依次是 ， ， ， ． A． B． C． D． 【考点4】综合判断反比例函数和一次函数图象； 【4-1】（2024·安徽六安·模拟预测）直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【4-2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）函数与（）在同一直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【4-3】（22-23九年级上·广东佛山·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围） 【4-4】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量的取值范围是 ．    【考点5】由反比例函数图象位置判断其解析式； 【5-1】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为 ． 【5-2】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（   ） A． B． C． D． 【5-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 【5-4】（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）已知反比例函数的图象上有，两点，且当时，，则m的取值范围是 【考点6】由反比例函数图象位置求参数取值范围； 【6-1】（2024·海南海口·一模）若反比例函数（k是常数）的图象在第二、第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【6-2】（22-23九年级上·云南红河·期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【6-3】（22-23九年级下·海南·期中）已知反比例函数的图象经过点，则的值是 ． 【6-4】（2024九年级上·北京·专题练习）在反比例函数的图象上有两点，，若而，则k的取值范围是 ． 【第三部分】反比例函数的性质 【考点7】利用反比例函数的对称性求值； 【7-1】（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【7-2】（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，原点为圆心的圆与反比例函数的图像交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为，则点C的横坐标为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【7-3】（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 【7-4】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是，则图中阴影部分的面积等于 ．    【考点8】利用反比例函数增减性求参数或取值范围； 【8-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知反比例函数的图象上，随的增大而减小，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【8-2】（2024·湖南·模拟预测）在反比例函数 的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【8-3】（2023八年级下·浙江·专题练习）已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【8-4】（22-23八年级下·重庆·期末）已知关于x的方程有实数根，反比例函数的图象在每一象限内y随x增大而减小，则k的取值范围是 ． 【考点9】利用反比例函数增减性求比较大小； 【9-1】（24-25九年级上·全国·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【9-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【9-3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 ． 【9-4】（23-24九年级下·四川遂宁·阶段练习）已知反比例函数的图像上有三个点．若，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【考点10】反比例函数图象与性质综合； 【10-1】（23-24八年级下·全国·期中）下列说法正确的是（    ） A．反比例函数的图象分布在第二、四象限 B．一次函数的图象不经过第一象限 C．对于一次函数，y随x的增大而增大 D．若点，都在反比例函数图象上，且，则 【10-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象在一、三象限 B．当时，随增大而减小 C．若在该函数图象上，则 D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 【10-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． （1）下列结论正确的是 ； A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 （2）该反比例函数的图象一定经过的点是 ； A．    B．    C．    D． （3）已知点，在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【10-4】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)下列结论正确的是（    ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 (2)该反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A．    B．    C．    D． (3)已知点，在该反比例函数图象上，则______．（填“>”“<”或“=”） 【第四部分】反比例函数k值的几何意义 【点11】已知k值求三角形面积； 【11-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【11-2】（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 【11-3】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象上有两点、，则的面积为 ． 【11-4】（2024·四川成都·二模）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为 ． 【考点12】已知k值求特殊四边形面积； 【12-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点，则四边形的面积为（   ） A． B． C．1 D．3 【12-2】（2024·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点分别在反比例函数、的图象上，那么矩形的面积可用表示为（   ）    A． B． C． D． 【12-3】（2024·广东清远·二模）如图为反比例函数的图像，点为反比例函数图像上一点，点坐标为，以为边作菱形，使得点在轴上，则的面积是 ． 【12-4】（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ．    【考点13】已知三角形面积求k值； 【13-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 【13-2】（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 【13-3】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，点、在反比例函数的图象上，点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，，过点作轴，垂足为，连接，，与的面积之比为，则的值为 ． 【13-4】（2024·山西朔州·模拟预测）如图，的顶点A、B在反比例函数的图象上，若．则的面积为 ． 【考点14】已知特殊四边形面积求k值； 【14-1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知反比例函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．随x的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，，则 【14-2】（23-24八年级下·四川资阳·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，，平行四边形的面积为6，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【14-3】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，反比例函数图象上有点A，轴交y轴于点B，点D，C在x轴上，平行四边形的面积为4，则反比例函数的表达式为 ． 【14-4】（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，A、C是反比例函数图像上的两点，分别过点A、C向坐标轴作垂线，得到矩形，点D恰好在反比例函数的图像上．将矩形被坐标轴分割成4个小矩形的面积分别记作、、、，若，则 ． 【第五部分】反比例函数与一次函数综合 【考点15】反比例函数与一次函数交点问题； 【15-1】（24-25九年级上·河北张家口·开学考试）已知，如图一次函数与反比例函数的图像如图示，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【15-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，则反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【15-3】（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，过点作轴于点，点是一次函数的图象与轴的交点，则的面积是 ． 【考点16】反比例函数与一次函数几何综合； 【16-1】（2024九年级下·河南周口·专题练习）如图，的对角线交于点P，轴，点C的坐标为，的图象经过A，P两点，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【16-2】（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点分别在x轴、y轴的正半轴上，，轴，点A在函数的图象上．若，则k的值为（   ）    A． B．1 C．2 D．4 【16-3】（2023九年级·广西柳州·专题练习）已知平面直角坐标系中，点列，，，，在轴正半轴上，点列，，，，在函数的图象上，以点为直角顶点作等腰直角，依次类推，分别作等腰直角，，，，则的坐标为 ． 【第六部分】反比例函数的应用 【考点17】反比例函数实际应用； 【17-1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 【17-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4 【17-3】（2024七年级上·全国·专题练习）建设中的马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足 关系． 【17-4】（2024·山西·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 【考点18】反比例函数与一次函数综合应用. 【18-1】（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【18-2】（21-22九年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【18-3】（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【18-4】（2023·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.10 反比例函数（全章常考点分类专题）（基础练） 【考点目录】 【第一部分】反比例函数定义 【考点1】利用反比例函数定义求解析式； 【考点2】利用反比例函数定义求函数值或自变量； 【第二部分】反比例函数图象 【考点3】判断反比例函数图象位置； 【考点4】综合判断反比例函数和一次函数图象； 【考点5】由反比例函数图象位置判断其解析式； 【考点6】由反比例函数图象位置求参数取值范围； 【第三部分】反比例函数的性质 【考点7】利用反比例函数的对称性求值； 【考点8】利用反比例函数增减性求参数； 【考点9】利用反比例函数增减性求比较大小； 【考点10】反比例函数图象与性质综合； 【第四部分】反比例函数k值的几何意义 【考点11】已知k值求三角形面积； 【考点12】已知k值求特殊四边形面积； 【考点13】已知三角形面积求k值； 【考点14】已知特殊四边形面积求k值； 【第五部分】反比例函数与一次函数综合 【考点15】反比例函数与一次函数交点问题； 【考点16】反比例函数与一次函数几何综合； 【第六部分】反比例函数的应用 【考点17】反比例函数实际应用； 【考点18】反比例函数与一次函数综合应用. 【第一部分】反比例函数定义 【考点1】利用反比例函数定义求解析式； 【1-1】（21-22八年级下·江苏淮安·期末）矩形的面积为20平方米，它的长y米，宽x米之间的函数表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系“长=矩形的面积 宽”，把相关数值代入即可求解． 解：；由题意得： ． 故选：A． 【点拨】本题考查矩形的面积的灵活应用，关键是找到所求量的等量关系． 【1-2】（20-21九年级上·重庆·阶段练习）已知两个变量x与y之间的对应值如下表，则y与x之间的函数解析式可能是（    ） x … 1 2 … y … 12 6 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义即可得． 解：由表格可知，， 则y与x之间的函数解析式可能是， 故选：C． 【点拨】本题考查了反比例函数，熟练掌握定义是解题关键． 【1-3】 （23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）若是反比例函数，则此函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义先求出的值，再求出函数解析式． 解：∵是反比例函数， ∴， 解得：， ∴此函数解析式为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 【1-4】 （2022九年级下·全国·专题练习）已知，A(﹣3，n)，C(3n﹣6，2)是反比例函数（x＜0）图象上的两点，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】因为点A和点C都是反比例函数（x＜0）图象上的点，所以可将两点坐标直接代入函数解析式得出两个关于和的两个等式，再进一步通过等量代换得出，并解出的值，把的值代入或者可求出的值，就可以求得函数解析式． 解：将A (﹣3，n)，C(3n﹣6，2)代入， 可得，， 变形可得，， 消去m得：， 解得：， 把代入得：m＝﹣4， 则反比例函数解析式为． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了反比例函数的知识，知道将函数图像上的点的坐标代入函数解析式，并正确求出函数解析式中参数是做出本题的关键． 【考点2】利用反比例函数定义求函数值或自变量； 【2-1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将各个选项的点代入计算即可得解，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解此题的关键． 解：A、当时，，故反比例函数的图象不经过，不符合题意； B、当时，，故反比例函数的图象不经过，不符合题意； C、当时，，故反比例函数的图象不经过，不符合题意； D、当时，，故反比例函数的图象经过，符合题意； 故选：D． 【2-2】（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图反比例函数的图象经过点，若，则x的范围是（  ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】找到纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值即可． 本题考查的是给定函数的取值范围确定自变量的取值，可直接由函数图象得出． 解：在第一象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为； 在第三象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为． 故选：C． 【2-3】（2024·陕西咸阳·三模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象上点的特征，掌握反比例函数图象上点的坐标之积等于是解题的关键．因为、都在反比例函数的图象上，可知，，把已知代入可求得的值． 解：点，都在反比例函数的图象上， ，， ， 且， ． 故答案为：． 【2-4】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点和代入函数，求得，，再相加即可． 解：∵函数的图像经过点和， ∴可有，， ∴． 故答案为：0． 【第二部分】反比例函数图象 【考点3】判断反比例函数图象位置； 【3-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点在双曲线上，则其图象一定分布在第（   ）象限． A．一、二 B．二、四 C．二、三 D．一、三 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．根据图象上的点的横纵坐标的积是定值，即可得，再根据当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限可得答案． 解：点在双曲线上，， ， 双曲线一定分布在第一、三象限， 故选：D 【3-2】（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质. 先利用一元二次方程无实数根得到，解得，则，根据反比例的图象和性质即可判断反比例函数的图象所在的象限. 解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限， 故选：C 【3-3】（2024九年级上·上海·专题练习）反比例函数（其中为任意实数）的图象在第 象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了反比例函数的性质，然后根据非负数的性质确定，再根据反比例函数的性质解答，确定出的正、负情况是解题的关键． 解：反比例函数， ， 此反比例函数的图象在第一、三象限， 故答案为：一、三． 【3-4】 （22-23九年级下·全国·课后作业）表示关系式①，②，③，④的图象依次是 ， ， ， ． A． B． C． D． 【答案】 C B D A 【分析】注意对比函数的图象和解析式，利用函数的性质解答． 解：①∵， ∴，即， ∴，故的图象为C； ②∵，即， ∴， ∴的图象为B； ③∵，即， ∴，即， ∴的图象为D； ④的图象为A； 故答案为：C；B；D；A． 【点拨】本题考查了反比例函数的图象与反比例函数的性质，明确函数的性质是解题的关键 【考点4】综合判断反比例函数和一次函数图象； 【4-1】（2024·安徽六安·模拟预测）直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象与系数的关系．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限均有随的增大而减小；当时，图象在二、四象限均有随的增大而增大．熟记相关结论即可求解． 解：∵直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限， ∴，； ∴ ∴反比例函数的图象位于第二、四象限 故选：C 【4-2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）函数与（）在同一直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像识别，熟练掌握一次函数和反比例函数图像的性质是解题关键．首先根据反比例函数图像确定的符号，再确定一次函数所经过的象限，据此逐项分析判断即可． 解：A.因为反比例函数在第一、三象限，所以， 则一次函数的图像经过第一、三、四象限，与本选项图像不相符，不符合题意； B. 因为反比例函数在第一、三象限，所以， 则一次函数的图像经过第一、三、四象限，与本选项图像不相符，故不符合题意； C. 因为反比例函数在第二、四象限，所以， 则一次函数的图像经过第一、二、四象限，与本选项图像不相符，不符合题意； D. 因为反比例函数在第二、四象限，所以， 则一次函数的图像经过第一、二、四象限，与本选项图像相符，符合题意． 故选：D． 【4-3】（22-23九年级上·广东佛山·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围） 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，不等式的解集等知识点，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 利用数形结合思想，观察函数图象即可发现，一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围，即为不等式的解集． 解：观察函数图象即可发现，在直线左侧以及轴和直线之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 当或时，， 故答案为：或． 【4-4】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与不等式的解，解题的关键是数形结合． 根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点， 由图象知，当时，即一次函数在反比例函数上方，此时或， 故答案为：或． 【考点5】由反比例函数图象位置判断其解析式； 【5-1】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键；由图象经过的象限可得，当时，由图象可得，即，进而可求解； 解：由题意得：， 当时，， ， ， 故答案为：． 【5-2】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，双曲线经过点，可知点的横纵坐标的积为，根据反比例函数图象上的点的坐标的特点可知双曲线经过的点． 解：∵双曲线经过点， ∴， A.，故选项A符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C不符合题意； D. ，故选项D不符合题意； 故选：A． 【5-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即解答即可． 解：设反比例函数的表达式为， ∵不同的点和在同一个反比例函数的图象上， ∴， 解得（正值舍去）， ∴． 故答案为：． 【5-4】（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）已知反比例函数的图象上有，两点，且当时，，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式． 根据经反比例函数图象上点的坐标特征得，，而时，，则，然后解不等式即可． 解：∵反比例函数的图象上有，两点， ∴，， ∵时，， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点6】由反比例函数图象位置求参数取值范围； 【6-1】（2024·海南海口·一模）若反比例函数（k是常数）的图象在第二、第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象．根据反比例函数的图象可知，求解即可． 解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ， ， 故选：D． 【6-2】（22-23九年级上·云南红河·期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限，据此求解即可． 解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 【6-3】（22-23九年级下·海南·期中）已知反比例函数的图象经过点，则的值是 ． 【答案】12 【分析】把代入解析式，就可以得到k的值． 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得，， 故答案为：12． 【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标适合解析式． 【6-4】（2024九年级上·北京·专题练习）在反比例函数的图象上有两点，，若而，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象的单调性判定该函数所经过的象限，然后推知的符号，从而求得的取值范围． 解：反比例函数的图象上有两点，，若而， ， 该反比例函数经过第二、四象限， ，即． 故答案为：． 【第三部分】反比例函数的性质 【考点7】利用反比例函数的对称性求值； 【7-1】（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为， 点的坐标为． 故选：． 【7-2】（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，原点为圆心的圆与反比例函数的图像交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为，则点C的横坐标为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】因为圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称；而双曲线也既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称，且关于y＝x和y＝−x对称． 解：把代入，得，故A点坐标为． ∵A、C关于对称， ∴点C坐标为， ∴点C的横坐标为3． 故选：B. 【点拨】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性和轴对称性，要熟练掌握，灵活运用． 【7-3】（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 【7-4】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是，则图中阴影部分的面积等于 ．    【答案】1 【分析】设反比例函数解析式，由题意可得：点坐标为：，根据正方形与反比例函数中心对称的性质，即可求解． 解：设反比例函数解析式， 由题意可得：点坐标为：， 故图中阴影部分的面积为：． 故答案为：．    【点拨】本题考查了反比例函数的性质，的几何意义，中心对称的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【考点8】利用反比例函数增减性求参数； 【8-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知反比例函数的图象上，随的增大而减小，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．对于反比例函数，当时，反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小，当时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，随着的增大而增大，根据反比例函数的图象和性质求解即可． 解：反比例函数的图象上，随的增大而减小， ， ， 故选：A． 【8-2】（2024·湖南·模拟预测）在反比例函数 的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数的的取值范围，能根据反比例函数的增减性判断所在象限是解答本题的关键． 先根据“当，”得到反比例函数在二、四象限，进而得到，求解即可解答本题． 解：时，， 反比例函数在二、四象限， ， 解得：， 故选：A． 【8-3】（2023八年级下·浙江·专题练习）已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与的关系，进而得出答案． 解：函数，当时，函数的最大值为， 时，， ，当时，函数的最小值为， 当时，， ， 故， 解得：． 故答案为：2． 【8-4】（22-23八年级下·重庆·期末）已知关于x的方程有实数根，反比例函数的图象在每一象限内y随x增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及反比例函数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据题意得到判别式，，进而求解即可． 解：∵方程有实数根， ∴ ∴， ∵反比例函数的图像在各自象限内随增大而减小， ∴， ∴， ∴k的取值范围是． 故答案为：． 【考点9】利用反比例函数增减性求比较大小； 【9-1】（24-25九年级上·全国·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y＝图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论． 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵， ∴反比例函数y＝的图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少， ∵， ∴， 故选：A． 【9-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据可得反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中，随的增大而减小，由此即可求解． 解：已知反比例函数解析式为， ∵， ∴反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中， 随的增大而减小， 当时，；当时，； ∵， ∴，， 如图所示， ∵， ∴， 故选：C ． 【9-3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可． 解：由题意，反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵反比例函数的图象经过点，，，， ∴， 故答案为：． 【9-4】（23-24九年级下·四川遂宁·阶段练习）已知反比例函数的图像上有三个点．若，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了由反比例函数的图像和性质比较大小，先根据反比例函数 的系数判断出函数图像在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小 ，再根据，判断出的大小． 解：∵反比例函数中，， ∴此函数的图像在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【考点10】反比例函数图象与性质综合； 【10-1】（23-24八年级下·全国·期中）下列说法正确的是（    ） A．反比例函数的图象分布在第二、四象限 B．一次函数的图象不经过第一象限 C．对于一次函数，y随x的增大而增大 D．若点，都在反比例函数图象上，且，则 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数的性质是解答的关键．分别根据一次函数和反比例函数的图象与性质逐项判断求解即可． 解：A、∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、二象限， 故此选项说法错误，不符合题意； B、∵，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四，不经过第一象限， 故此选项说法正确，符合题意； C、∵， ∴对于一次函数，y随x的增大而减小， 故此选项说法错误，不符合题意； D、∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴当或时，， 故此选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【10-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象在一、三象限 B．当时，随增大而减小 C．若在该函数图象上，则 D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 解：、由反比例函数可知，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意； 、当时，随增大而增大，故不符合题意; 、若在该函数图象上，则，故符合题意； 、若点和点在该函数图象上，当或时，，当时，，故不符合题意； 故选：. 【10-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． （1）下列结论正确的是 ； A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 （2）该反比例函数的图象一定经过的点是 ； A．    B．    C．    D． （3）已知点，在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 C D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 解：（1）∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限，图象与坐标轴没有公共点，图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，图象关于原点对称， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C； （2）∵反比例函数， ∴， ，，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D； （3）由题意得，， ∴， 故答案为：． 【10-4】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)下列结论正确的是（    ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 (2)该反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A．    B．    C．    D． (3)已知点，在该反比例函数图象上，则______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)C (2)D (3)< 【解析】略 【第四部分】反比例函数k值的几何意义 【点11】已知k值求三角形面积； 【11-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解． 解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， 故选：C． 【11-2】（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中．通过平行线的性质利用面积法找出面积相等的三角形是关键．根据等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，过点B作于点E，则，由反比例函数系数k的几何意义，可得，即可求解． 解：∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选B． 【11-3】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象上有两点、，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，得出是解题的关键． 根据反比例系数的几何意义，得出，然后根据求解即可． 解：反比例函数的图象上有两点、， ， ， 分别过点A、B作轴于点D，作轴于点E， ， ， 故答案为：． 【11-4】（2024·四川成都·二模）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义． 连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有|，进而即可求解． 解：连接， ∵轴 ∴ 故答案为：3 【考点12】已知k值求特殊四边形面积； 【12-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点，则四边形的面积为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 解：∵设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：B． 【12-2】（2024·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点分别在反比例函数、的图象上，那么矩形的面积可用表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数确定出，，利用反比例函数比例系数的几何意义即可求解，熟知在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 解：如图：    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形，是矩形， 在反比例函数中， ∵，， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， 在反比例函数中， ∵，， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 故选：C． 【12-3】（2024·广东清远·二模）如图为反比例函数的图像，点为反比例函数图像上一点，点坐标为，以为边作菱形，使得点在轴上，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，菱形的性质，连接交轴于点，根据题意得出，，进而根据菱形的性质，即可求解． 解：如图所示，连接交轴于点， ∵反比例函数，点坐标为 ∴ ∵四边形是菱形， ∴ 故答案为：． 【12-4】（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义； 由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可. 解： 解：∵， ∴四边形的面积为， ∵两点在反比例函数的图象上， ， ∴四边形的面积为：， 故答案为: . 【考点13】已知三角形面积求k值； 【13-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴，故选：． 【13-2】（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，根据的面积为6，列出方程求解即可． 解：设， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：， 故选：A． 【13-3】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，点、在反比例函数的图象上，点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，，过点作轴，垂足为，连接，，与的面积之比为，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，先求出，根据与的面积之比为，求出，即可得出答案． 解：∵点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∵轴， ∴． 故答案为：12． 【13-4】（2024·山西朔州·模拟预测）如图，的顶点A、B在反比例函数的图象上，若．则的面积为 ． 【答案】4 【分析】作轴，轴，轴，，作，利用反比例函数的性质以及勾股定理可得，，再利用勾股定理可得长，根据三角形面积公式计算即可．本题考查了反比例函数值几何意义，勾股定理，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 解：如图，作轴，轴，轴，，作， ∵顶点A、B在反比例函数 ∴ ∵，， ∴ 把代入，得： 解得（负值舍去） ∴， ，， ， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ， ， ． 故答案为：4． 【考点14】已知特殊四边形面积求k值； 【14-1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知反比例函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．随x的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质． 根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断． 解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形面积为2，则，而，所以，所以C选项正确； D、图象上两个点的坐标分别是，，则，所以D选项错误． 故选：C． 【14-2】（23-24八年级下·四川资阳·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，，平行四边形的面积为6，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的几何意义和平行四边形的面积为6，建立关于的方程，再利用图象所在的象限，即可求出． 本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象中k的几何意义等内容， 解题关键是理解题意，能利用面积关系得到关于k的方程． 解：平行四边形的面积为， ∵平行四边形对角线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵图象位于第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 【14-3】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，反比例函数图象上有点A，轴交y轴于点B，点D，C在x轴上，平行四边形的面积为4，则反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的几何意义，设反比例函数表达式为，设，根据题意得到，进而求解即可． 解：设反比例函数表达式为，设 ∵反比例函数图象上有点A， ∴ ∵轴，平行四边形的面积为4， ∴ ∴ ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限 ∴ ∴反比例函数表达式． 故答案为：． 【14-4】（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，A、C是反比例函数图像上的两点，分别过点A、C向坐标轴作垂线，得到矩形，点D恰好在反比例函数的图像上．将矩形被坐标轴分割成4个小矩形的面积分别记作、、、，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数，设点，则由题意得：点，分别表示出、、即可求解． 解：设点， 则由题意得：点 ∴、、、 ∵， ∴， 即： ∵点D恰好在反比例函数的图像上． ∴， 故答案为： 【第五部分】反比例函数与一次函数综合 【考点15】反比例函数与一次函数交点问题； 【15-1】（24-25九年级上·河北张家口·开学考试）已知，如图一次函数与反比例函数的图像如图示，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．根据图象得出两交点的横坐标，找出一次函数图象在反比例图象下方时x的范围即可． 解：∶根据题意得： 当时， x的取值范围是或． 故选 ∶D． 【15-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，则反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题．先求出点的坐标，然后表示出、的长度，根据，求出点的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可． 解：∵直线与轴交于点， 当时， ∴，即， ∵， ∴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴点， 将代入， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式． 故选：B． 【15-3】（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，过点作轴于点，点是一次函数的图象与轴的交点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意，设，根据即可求解． 解：∵反比例函数与一次函数交于点， ∴设， 如图所示，过点作轴，且轴，则， ∴， 故答案为： ． 【考点16】反比例函数与一次函数几何综合； 【16-1】（2024九年级下·河南周口·专题练习）如图，的对角线交于点P，轴，点C的坐标为，的图象经过A，P两点，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及了平行四边形的性质，设，则，根据P是的中点即可求解． 解：设 ∵的图象经过A，P两点， ∴ ∵P是的中点， ∴ 解得： ∴ 故选：A 【16-2】（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点分别在x轴、y轴的正半轴上，，轴，点A在函数的图象上．若，则k的值为（   ）    A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，根据等腰直角三角形的性质可证，可得，四边形是矩形，，设，根据可求出点的坐标，由此即可求解，掌握反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 解：如图所示，过点作轴于点，    ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据题意，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，   故选：4 ． 【16-3】（2023九年级·广西柳州·专题练习）已知平面直角坐标系中，点列，，，，在轴正半轴上，点列，，，，在函数的图象上，以点为直角顶点作等腰直角，依次类推，分别作等腰直角，，，，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，作于点C，作于点D，作于点E，先求出 ，设，则，代入表达式求出，同理得出并找出规律即可． 解：作于点C，作于点D，作于点E， ，，，分别是等腰直角三角形， ， 点，，，，在函数的图象上， ，即， 设，则， 把代入，则， 解得：（不合题意舍去）， ，即， 同理，，即， ，即， ， 则的坐标为． 【第六部分】反比例函数的应用 【考点17】反比例函数实际应用； 【17-1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 【17-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而代入数据得出答案． 解：设，当时，， 解得：， 故与的函数表达式为：， 为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校， ， 解得：， 他骑车的速度至少是0.2． 故选：A． 【17-3】（2024七年级上·全国·专题练习）建设中的马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足 关系． 【答案】反比例 【分析】本题考查反比例的实际应用．根据运送土石方总量与土石方日运送量和完成运送任务所需时间的关系，列出关系式，是解题的关键． 根据送土石方总量与土石方日运送量和完成运送任务所需时间的关系，列出关系式，进行作答即可． 解：由题意，得：． ∴V与t满足反比例关系． 故答案为：反比例． 【17-4】（2024·山西·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设，利用待定系数法求出，再分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 解：设， 把代入中得：，解得 ∴， 在中，当时，，当时，， ∴若压强由加压到，则气体体积压缩了， 故答案为：15． 【考点18】反比例函数与一次函数综合应用. 【18-1】（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 【18-2】（21-22九年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 【18-3】（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 【18-4】（2023·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    【答案】12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$