广东省普宁市勤建学校2024-2025学年高一上学期第一次调研考试数学试题

高一年级调研考试数学试卷第 1页，共 4页 勤建学校高一年级上学期第一次调研考试 数学试卷 2024.10 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一部分（选择题 共 58分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合� = −1,0,1,2 ，� = 0,2,3 ，则�∩ � =（ ） A． −1,1 B． 0 C． 0,2 D． 2 2．命题：“∀� ∈ �，�2 + 2� + 1 ≤ 0”的否定是（ ） A．∀� ∈ �，�2 + 2� + 1 > 0 B．∀� ∈ �，�2 + 2� + 1 ≤ 0 C．∃� ∈ �，使得�2 + 2� + 1 > 0 D．∃� ∈ �，使得�2 + 2� + 1 ≤ 0 3．函数�(�) = � − 3 + 1 1+� 的定义域为（ ） A．[3, + ∞) B．( − ∞, − 1) ∪ ( − 1,3] C．( − 1, + ∞) D．[ − 3, − 1) ∪ ( − 1, + ∞) 4．已知实数�，�，�，�满足� > � > 0 > � > �，则下列结论正确的是（ ） A．� − � > � − � B．�� > �� C．� − � > � − � D．�� > �� 5．函数�(�) = � 2 + 1, � ≤ 0 2�, � > 0 ,若� � = 10，则实数�的取值是（ ） A．3 B．−3 C．3或−3 D．5或−3 6．不等式−2�2 + � + 3 < 0 的解集为（ ） A． −1， 3 2 B．( − ∞, − 1) ∪ ( 3 2 , + ∞) C． − 3 2 ，1 D．( − ∞, − 3 2 ) ∪ (1, + ∞) 7．函数� � 满足若� � � = 9� + 3，� � = 3� + 1，则� � =（ ） A．� � = 3� B．� � = 3 C．� � = 27� + 10 D．� � = 27� + 12 8．已知 0＜x＜1，则1 � + 16 1−� 的最小值是（ ） A．16 B．25 C．27 D．34 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的 得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．下列式子中，可以是� ≤ 2的充分条件的有（ ） A．� < 1 B．� < 3 C．−1 < � < 1 D．� < 2 高一年级调研考试数学试卷第 2页，共 4页 10．已知关于�的方程�2 + � + 1 � + � + 1 = 0，则（ ） A．当� = 3 时，方程只有一个实数根 B．� ≤− 1是方程有实数根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 11．已知函数�(�) = � + 2, � ≤− 1 �2 + 1, − 1 < � < 2，下列关于函数�(�)的结论正确的是（ ） A．�(�)的定义域是 R B．�(�)的值域是 −∞,5 C．若�(�) = 3，则� = 2 D．�(�)的图象与直线� = 2 有一个交点 第二部分（非选择题 共 92分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知� � = � 2 − 2, � ≤ 1 2� + 3, � > 1，求� � −2 = . 13．已知� = 2 在不等式 � − 1 �2 − �� − 4 ≥ 0的解集中，则实数�的取值范围是 ． 14．若关于 x 的不等式 �2 − 1 �2 − 2(� − 1)� + 3 > 0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）证明： （1）�2 + 1 �2+1 ≥ 1； （2） � 2+3 �2+2 > 2. 高一年级调研考试数学试卷第 3页，共 4页 16．（15分）设集合� = � � ≤ 5 ，� = � 1 ≤ � ≤ 2 ，� = � −1 ≤ � ≤ 4 ．求： (1)� ∩ �； (2)∁U � ∪ � ； (3) ∁R� ∩ �。 17．（15分）已知函数 � � = − �2 + 4� − 3的定义域为 A，集合 � = �|2� < � < 1 − � . (1)若 � ∪ � = �，求实数 m 的取值范围； (2)若 � ∩ � = ∅，求实数 m 的取值范围. 高一年级调研考试数学试卷第 4页，共 4页 18．（17分）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破， 全球布局加速．现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入 98万元购进一套生产设备。预计使用该设备后，第 一年维修、保养费用 12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加 4万元，该设备使用后，每 年的总收入为 50万元，设使用 x年后该设备的盈利额为 y万元． (Ⅰ)写出 y与 x之间的函数关系式； (Ⅱ)从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； (Ⅲ)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： (1)当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备； (2)当盈利额达到最大值时，以 12万元价格处理该设备． 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．（注：年平均盈利额= 总盈利额 年度 ） 19．（17分）已知函数�（�） = ��2 + �� + 1(� ∈ �)． (1)若函数�（�）有最大值7 4 ，求实数 a 的值； (2)若不等式�（�） > 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)解关于 x 的不等式�（�） > (� + 2)�． 勤建学校高一年级上学期第一次调研考考试 数学试卷参考答案及评分标准： 题号 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A B B ACD AC BCD 1.C【详解】因为集合={-1,0,1,2}，={0,23}，所以n=0,2).故选：C 2.C【详解】“y∈，2+2+1≤0"的否定是3∈，使得2+2+1>0"，故选：C 3.A【详解】函数()=V一3+亡有意义，则1十3全0解得之3，所以原函数的定义域为[，+四) 故选：A 4.A【详解】对A,>>0>>，则->->0，所以->一，故A正确： 对B,不妨设=2，=1，=-3，=-4，则=2<=12，故B错误： 对C,不妨设=2，=1，=-3，=-4，则-=5=-，故C错误： 对D,不妨设=2，=1，=-3，=-4，则=-6<·=一4，故D错误； 故选：A 5.D【详解】当≤0时，()=2+1=10，解得：=-3：当>0时，()=2=10，解得：=5： 即实数的取值是5或-3.故选：D. 6.B【详解】由不等式-22++3<0，可得22--3=(+1)(2-3)>0， 解得<-1或>三，即不等式的解集为(-四，-1)U(号，+∞).故选：B. 7.A【详解】因为(()=9+3，()=3+1，所以(3+1)=9+3=3(3+1)，则()=3.故选：A 8.B详解】由0<<1，得1->0，因此2+=[+1-月+)=17+上+≥17+2仁兰= 25,当且仅当华=抬，即=时取等号， 所以当=时，上+取得最小值25.故选：B. 9.ACD【详解】因为fI<1}S{|≤2，{I<3}{I≤2}，{-1<<1}s[|≤2， {I<2}S{|≤2}，所以，ACD选项中的条件都是≤2的充分条件，B选项中的条件是≤2的必要条件. 故选：ACD 10.AC【详解】对于A,=3时，方程2+4+4=0只有一个实根=-2，A正确： 对于B,方程有实数根，则△≥0，即(+1)(-3)≥0，解得≤-1或≥3， 因此≤-1是方程有实数根的充分不必要条件，B错误： 对于C,若方程二根为1,2则1+2=一(+1)，12=+1，不可能有两个不等正根，C正确： 对于D,当>3时，方程有2个不等负根，D错误 故选：AC 答案第1页，共4页 11.BCD 【详解】A选项，()的定义域是 \left(-∞，2\right)， ，所以A选项错误. 5 B选项，当 ≤-1 时， +2≤1， 当 -1<<2 时， $$0 \le ^ { 2 } < 4 ， 1 \le ^ { 2 } + 1 < 5 ，$$ 所以()的值域是( \left(-∞，5\right)， ，所以B选项正确， y=2 y=f\left(x\right) C选项，由B选项的分析可知，若 \left(\right)=3， 则 $$\left \{ \begin{array} { l } - 1 < < 2 \\ ^ { 2 } + 1 = 3 \end{array} \right . ，$$ ， 解得 $$= \sqrt 2 ，$$ -10 1 2 2 所以C选项正确. D选项， 画出() 的图象如下图所示， 由图可知， D选项正确.故选：BCD 12.7【详解】 $$\left ( - 2 \right ) = \left ( - 2 \right ) ^ { 2 } - 2 = 2 ， \left ( \left ( - 2 \right ) \right ) = \left ( 2 \right ) = 2 \times 2 + 3 = 7 .$$ .故答案为：7 13.\left[4，+∞\right) I 【详解】因为 =2 在不等式的解集中， 所以把 =2 2代入不等式得： 4\left(-1\right)-2-4≥0， ，解得 ≥4， ，故答案为： \left[4，+∞\right). 14.\left\{|≥1\right. 或 \left.{<-2}\right\}\left[ 【详解】因为关于x的不等式 $$\left ( ^ { 2 } - 1 \right ) ^ { 2 } - 2 \left ( - 1 \right ) + 3 > 0$$ 的解集为R，即不等式恒成立 若 ^{2}-1=0， =±1， ，当 =1 时，则 3>0， ，符合题意：当 =-1 时，则 4+3>0 不恒成立，不符合题意 ^{2}-1>0 若 ^{2}-1≠0， ，即 ≠ 1且 ≠-1， ，则 则 $$\left \{ \begin{array} { l } x ^ { 2 } - 1 > 0 \\ \Delta = 4 \left ( - 1 \right ) ^ { 2 } - 1 2 \left ( ^ { 2 } - 1 \right ) < 0 \end{array} \right . ，$$ ， 解得>1或 <-2； 综上所述：实数 a 的取值范围是{ |≥1 或 \left.{<-2}\right\}. .故答案为： \left\{|≥1\right. 或 <- 2} 15.(1)证明见详解；(2)证明见详解； 【 详解】 $$\left ( 1 \right ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { ^ { 2 } + 1 } = 2 ^ { 2 } + 1 + \frac { 1 } { ^ { 2 } + 1 } - 1 \ge 2 \sqrt { \left ( ^ { 2 } + 1 \right ) \cdot \frac { 1 } { ^ { 2 } + 1 } } - 1 = 1 ，$$ 当且仅当 ^{2}+1=1 时，即 =0 时，等号成立.. ......... .5分 $$\left ( 2 \right ) \frac { ^ { 2 } + 3 } { \sqrt { ^ { 2 } + 2 } } = \frac { ^ { 2 } + 2 + 1 } { \sqrt { ^ { 2 } + 2 } } = \sqrt { ^ { 2 } + 2 } + \frac { 1 } { \sqrt { ^ { 2 } + 2 } } \ge 2 \sqrt { \sqrt { ^ { 2 } + 2 } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { ^ { 2 } + 2 } } } = 2 ，$$ .... ...1 10分 当且仅当 $$\sqrt { 2 + 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 + 2 } }$$ 时取等号，此时 ^{2}=-1， 显然的值不存在，所以等号不成立，.......... .....1 .12分 所以 $$\frac { ^ { 2 } + 3 } { \sqrt 2 + 2 } > 2 .$$ .13分 16.\left(1\right)\left\{|1≤≤2\right\} \left(2\right)\left\{|4<≤5\right. 或 \left.{-1}\right\}\left(3\right)\left\{|2<≤4\right.\right\} 【详解】 \left(1\right)∵=\left\{|≤5\right\}，=\left\{|1≤≤2\right\}，=\left\{|-1≤≤4\right\}， ∴n=\left\{|1≤≤2\right.\right\}. ..... ..3分 \left(2\right)∵=\left\{|1≤≤2\right\}，=\left\{|-1≤≤≤4\right\}， ∴∪=\left\{|-1≤≤4\right\}，=\left\{|≤5\right\}. ... ........ ..6分 $$\therefore C _ { U } \left ( \cup \right ) = \left \{ | 4 < \le 5 \right .$$ 或 \left.{<-1}\right\}. ..... ..... ..9分 \left(3\right)∵=\left\{|1≤≤2\right\}， $$\therefore \left ( C _ { R } \right ) = \left \{ 1 > 2 \right .$$ 或 \left.{<-1}\right\}， ，.... ........ .12分 $$\therefore \left ( C _ { R } \right ) \cap = \left \{ | 2 < \le 4 \right . \right \}$$ ..... .......15分 答案第2页，共4页 17.(1)(-∞，-2)(2)[0，+∞) 【详解】(1)由-2+4-3≥之0，解得1≤≤3，即=[1,3]，2分 由U=，则，4分 因为=(2<<1-人所以有23，解得<-2 即实数m的取值范围是(-0∞，一2)…7分 (2)由n=0,则当=0时，满足题意，即此时有2之1-，解得之争10分 当≠0时，根据题意，此时有23或1<1三1· 解得0≤<行4分 综上：当n=0,实数m的取值范围是[0，十∞)。 15分 18.(①)=50-12+，×41-98=-22+40-98：()从第3年开始盈利：(m)方案(1)比较合理. y=50r-2x+-x4-98=-2x2+40r-98 【详解】解：(1)依题得： 2 (x∈N*)3分 (1)解不等式-22+40-98>0，得：10-51<<10+51 x∈N*,.3X≤17，故从第3年开始盈利。7分 ()(1):-=-2+40-8=40-(2+8)≤40-2W2×98=12 当且仅当2=8时，即X=7时等号成立.10分 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=1山4万元。…11分 (2)=-22+40-98=-2(-10)2+102,当x=10时，ym=10214分 故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12=114万元15分 盈利额达到的最大值相同，而方案(1)所用的时间较短，故方案()比较合理。17分 答案第3页，共4页 19.19.(1)=-3(2)[0,4)(3)分类讨论，答案见解析. 【详解】(1)解：根据题意，函数（)=2++1=（+)2-：+1， 因为函数（)有最大值配则有<0且1-？=子 解得=一3：3分 (2)因为不等式()>0恒成立， 当=0时，()=1>0恒成立，4分 当0时，必有机=2之4<0解得0<<4,6分 综上：0≤<4，即a的取值范围为[0,4)：7分 (3)()>(+2),即2++1>(+2)， 变形可得2一2十1>0，…8分 ①=0时，原不等式为-2+1>0，解得<之此时不等式的解集为(-0，)：9分 ②>0时，△=4-4=4(1-)，10分 >1时，△<0，方程2-2+1=0无解，此时不等式的解集为R,…11分 当=1时，不等式为2-2+1>0，此时不等式的解集为{|≠1,12分 当<1时，△>0，方程2-2+1=0有两个不等的实根，即1=正，2=+正且1<2， 此时不等式的解集为(1>1+正或<三：l4分 ③<0时，△=4-4=4(1-)>0，方程2-2+1=0有两个不等的实根，即1=1上正，2=中正 且1>2 此时不等式的解集为+正<<1正 16分 综上所述，当<0时，不等式的解集为+正<<1正， 当=0时，不等式的解集为(-0，》 当0<<1时，不等式的解集为[|>+三或<正： 当=1时，不等式的解集为1≠1}， 当>1时，不等式的解集为R.17分 答案第4页，共4页