专题 第25章 锐角的三角比 章末复习压轴60题（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

第25章 锐角的三角比 章未复习压轴60题 一．选择题（共9小题） 1．（2024春•宝山区期末）如图，已知梯形是某菜园的一块空地，，，米，，某同学由上述条件得到以下两个结论： ①对角线将梯形分成的两个三角形的面积之比； ②现准备过的中点修一条笔直的小路（点在边上，小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分，分别种植不同的蔬菜，那么小路的长是米． 对于结论①和②，下列说法正确的是　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 2．（2024•金华模拟）如图，，，是三艘军舰，舰在舰正东方向6海里处，舰在舰北偏西方向4海里处．某日，，，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距　　 A．4海里 B．6海里 C．海里 D．海里 3．（2024春•拱墅区校级月考）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于　　 A． B． C． D． 4．（2023•无锡二模）如图，在中，，，点的坐标是，，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•锡山区校级月考）中，，的平分线交于，在延长线上，在上，经过中点，，若，则的值为　　 A． B． C． D． 6．（2022秋•姑苏区校级月考）已知：如图，点是直线外一点，点到直线的距离是4，点、点是直线上的两个动点，且，则线段的长的最小值为　　 A． B． C．3 D．4 7．（2024•浦东新区模拟）图1是2002年世界数学大会的会徽，其主体图案（如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 8．（2024•浦东新区三模）图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为　　 A． B． C． D． 9．（2023•松江区一模）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标志物，测得、，那么这条河的宽度是　　 A．米 B．米 C．米 D．米 二．填空题（共15小题） 10．（2023•奉贤区三模）如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品．拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆，，，，，的半径均为，为三角轮的中心，，．如图2，当轮子，及点都放置在水平地面时，恰好与的最高点重合．此时，的高度为，则　　；如图3，拉动，使轮子，在楼梯表面滚动，当，且，，三点共线时，点与的垂直高度差为 　　． 11．（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在中，，，，，则线段的长 　　． 12．（2022•杨浦区三模）如图，已知在中，，，，点是斜边上一点，过点作交边于点，过点作的平行线，与过点作的平行线交于点．如果点恰好在的平分线上，那么的长为 　　． 13．（2022春•虹口区校级期中）如图，是的角平分线，过点作的垂线交边于点，垂足为点，当为边上的中线，且时，则　　． 14．（2024•温州模拟）如图，在等腰中，，若点是边上一点，是的中点，关于直线对称的点为，交于点． （1）若，则　　度（用含的代数式表示）． （2）若，则　　． 15．（2024•无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，点到轴的距离是3，，是锐角且，则的面积为 　　． 16．（2023•金华模拟）如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示，其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转．压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，厘米，不使用时，，是中点，，且点在的延长线上，则的长为　　厘米；使用时如图3，按压使得，此时点落在上，若厘米，则压杆到底座的距离为　　厘米． 17．（2023•金东区一模）如图1为某小区出入口栅栏道闸，，为栅栏道闸的转动杆，上面有10根等间距的竖杆，未抬起时与地面保持水平，竖杆竖直地面，在道闸抬起时最大旋转角度为，为门墙，，，，转动杆外端，距离杆与门墙均为，左侧9根竖杆底部离地面均为．，， （1）如图2，当道闸转动抬起时，第五根竖杆的底端到地面的距离为 　　； （2）现有一辆货车进小区装货，已知货车宽，货车进出需保持与门墙的安全距离，该货车安全进出小区的离地高度不得超过 　　． 18．（2023秋•慈溪市校级期中）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：且，，，箱盖开起过程中，点，，不随箱盖转动，点，，绕点沿逆时针方向转动，即分别到点，，的位置，气簧活塞杆随之伸长已知直线，，那么的长为 　　，的长为 　　． 19．（2022•宁波自主招生）如图，在边长为7的等边中，、分别在边、上，，，连结、交于点，则的长为 　　． 20．（2022•苍南县二模）如图1，是一幅椅子和花架相互转化的实物图．放置在水平地面上的椅子示意图如图2所示，在矩形中，点在上，点，在上，是的中点，隔板，分别交于点，，现将该椅子的左边部分绕着点顺时针旋转得到一个花架，如图3所示，此时点落在地面上的点处，点，的对应点分别为点，，已知，，，则点离地面的距离是 　　；若点，，在同一直线上，，则隔板的长是 　　． 21．（2024•浦东新区二模）如图，小丽在大楼窗口处测得校园内旗杆底部的俯角为度，窗口离地面高度（米，那么旗杆底部与大楼的距离　　米（用和的式子表示）． 22．（2023•普陀区三模）如图，已知△是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则　　． 23．（2023•杨浦区一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高和最低位置时的高度差为 　　厘米．（参考数据：，，． 24．（2023•徐汇区一模）如图，在由正三角形构成的网格图中，、、三点均在格点上，则的值为 　　． 三．解答题（共36小题） 25．（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，． （1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头？请说明理由． （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度． 【参考数据：，，】 26．（2022•青浦区模拟）如图，斜坡的坡度为，坡顶到水平地面的距离为3米，在处、处分别测得顶部点的仰角为和，点、、在一直线上，求的高度（精确到1米）． （参考数据：，，，，， 27．（2022•松江区校级模拟）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离的长． （2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 28．（2022秋•虹口区期末）如图，在中，，，点、分别在边、上，满足．点是延长线上一点，且． （1）当点是的中点时，求的值； （2）如果，求的值； （3）如果是等腰三角形，求的长． 29．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在四边形中，，，，，． 求：（1）的长； （2）如果点为的中点，联结，求的正切值． 30．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，已知中，，，点在边上，，求的值． 31．（2024秋•徐汇区校级月考）如图，为了测量出楼房的高度，从距离楼底处米的点（点与楼底在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为的斜坡前进30米到达点，在点处测得楼顶的仰角为，求楼房的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）． 32．（2022秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且． （1）当时，连接，求的余切值； （2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）连接，若为等腰三角形，求的长． 33．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，一栋居民楼的高为16米，远处有一栋商务楼，小明在居民楼的楼底处测得商务楼顶处的仰角为，又在商务楼的楼顶处测得居民楼的楼顶处的俯角为．其中、两点分别位于、两点的正下方，且、两点在同一水平线上，求商务楼的高度． （参考数据：，．结果精确到0.1米） 34．（2023秋•鹿城区期中）根据以下素材，探索完成任务 探究纸伞中的数学问题 素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，点为伞圈． 素材2 伞圈能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈滑动到的位置，且、、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：． 素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈点的正下方点处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得． 问题解决 任务1 判断位置 求证：平分． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈移动的距离（精确到． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 　　，使得人站在处身上不被雨淋湿．（直接写出答案） 35．（2022•亭湖区校级二模）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． （1）求点到地面的距离； （2）在电动门抬起的过程中，求点所经过的路径长； （3）一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：，，所有结果精确到 36．（2024•翠屏区校级模拟）如图，某测量员测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点处，测得树顶端的仰角为．已知点的高度为3米，台阶的坡度为（即，且、、三点在同一条直线上． （1）求斜坡的长； （2）请根据以上条件求出树的高度（测倾器的高度忽略不计）． 37．（2024•江阴市模拟）五一假期，圆圆带着无人机来到公园开展综合实践活动——测量一古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，测得斜坡底端距塔基中心距离米，斜坡坡度为，圆圆站在斜坡上距点6.5米的处，遥控无人机悬停在点的正上方37.6米的处，从处测得古塔的顶部处的俯角为（古塔在圆圆和无人机的正前方）．（参考数据：，， （1）求古塔的高度； （2）已知目高为1.6米．若无人机保持现有高度并沿着平行于的方向，以4米秒的速度向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 38．（2024•鼓楼区校级二模）在元宵佳节灯火会上，一名摄影爱好者为了记录这次灯火会的全过程，携带无人机进行航拍．如图，摄影爱好者在水平地面上点处测得无人机位置点的仰角为；当摄影爱好者迎着坡度为的斜坡从点走到点时，无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．已知米，米，摄影爱好者让无人机沿与水平面平行的方向飞行．且，，，四点在同一竖直平面内，求无人机距水平地面的高度．测角仪的高度忽略不计．（参考数据：．． 39．（2022秋•嵊州市期末）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 ，，，； 任务1：探寻边角 填空：　　，　　； 任务2：比较面积 计算或推理：正方形和正方形边长之比； 任务3：应用实践 若在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 　　． 40．（2023•滨海县模拟）如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为伸出部分不计），、、在同一直线上．量得，，，，灯杆长为，灯管长为． （1）求与水平桌面所在直线）所成的角； （2）求台灯的高（点到桌面的距离，结果精确到． （参考数据：，，，，，． 41．（2023秋•瓯海区期中）根据以下素材，探索完成任务 探究纸伞中的数学问题 素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨，且，，点为伞圈，． 素材2 伞圈能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈滑动到的位置，且、、三点共线，测得，，伞完全张开时，如图1所示．（参考值： 素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为小明同学站在伞圈点的正下方处，记为，此时，发现身上被雨淋湿，测得． 问题解决 任务1 判断位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈移动的距离． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 　　，使得人站在处身上不被雨淋湿．（直接写出答案） 42．（2023•鹿城区校级二模）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度（度 90 75 60 45 30 15 参考数据：． 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决 任务1 确定影子长度 某一时刻测得米．请求出此时影子的长度 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？ 任务3 探究合理范围 小明打算在这天露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围． 43．（2024•工业园区校级二模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋项的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高．（结果精确到 44．（2023•娄星区校级一模）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛与显示屏顶端在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心的视线与水平线的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端与底座的连线与水平线垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，，液晶显示屏的宽为． （1）求眼睛与显示屏顶端的水平距离；（结果精确到 （2）求显示屏顶端与底座的距离．（结果精确到 （参考数据：，，， 45．（2013•东台市校级模拟）某住宅小区为缓解停车难问题，新建了地下停车场，建筑设计师提供了地下停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．请根据如图，求出汽车通过坡道口的限高的长，结果精确到． 46．（2022•海州区校级二模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋项的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， （1）求屋项到横梁的距离； （2）求房屋的高． 47．（2022•镇江模拟）如图，某广场一灯柱被一钢缆固定，与地面成夹角，且米． （1）求钢缆的长度；（精确到0.1米） （2）若米，灯的顶端距离处1.6米，且，则灯的顶端距离地面多少米？ （参考数据：，， 48．（2023•淮阴区一模）如图，小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得，两点的俯角分别为和，已知大桥的长度为，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度． （结果保留整数，参考数据：，，， 49．（2023春•泰兴市月考）如图1是某配电房的实物图，图2是它的部分示意图．已知，，，，参考数据：，，． （1）根据以上信息可以求出的量有 　　（填序号） ①点到的距离； ②的长； ③矩形的面积； ④点到的距离． （2）选择（1）中的一个可求的量，写出求解过程．（结果精确到 50．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，．机械臂端点到工作台的距离． （1）求、两点之间的距离； （2）求长． （结果精确到，参考数据：，，， 51．（2019•通州区模拟）如图，已知斜坡长为80米，坡角（即为，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡． （1）若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号） （2）一座建筑物距离处36米远（即为36米），小明在处测得建筑物顶部的仰角（即为．点、、、、在同一个平面内，点、、在同一条直线上，且，求建筑物的高度．（结果保留根号） 52．（2012秋•南京校级月考）已知，如图，四边形中，，，，且．试求： （1）的度数； （2）四边形的面积（结果保留根号）． 53．（2022秋•无锡期末）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知，，，，． （1）连结，求线段的长． （2）求点，之间的距离． （结果精确到．参考数据：，，，，， 54．（2022秋•苏州期中）如图，某海岸边有，两码头，码头位于码头的正东方向，距码头60海里．甲、乙两船同时从岛出发，甲船向位于岛正北方向的码头航行，乙船向位于岛北偏东方向的码头航行，当甲船到达距码头40海里的处时，乙船位于甲船北偏东方向的处，求此时乙船与码头之间的距离（结果精确到0.1海里）． （参考数据：，，，，，， 55．（2023•亭湖区校级三模）随着我国科学技术的不断发展，移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现网络全覆盖，年拟建设基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，， （1）求坡面的坡度； （2）求基站塔的高． 56．（2022秋•江阴市期中）定义：在中，若，，，，，满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 　　（填“真”或“假” 命题． （2）如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． （3）如图2所示，在中，，且． ①当时，你能把这一个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由． ②请证明为“类勾股三角形”． 57．（2020•黄岩区模拟）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的处，测得建筑物顶端的仰角为．且离地面的高度．坡底，然后在处测得建筑物顶端的仰角是，点，，在同一水平线上，求建筑物的高．（结果用含有根号的式子表示） 58．（2015秋•广陵区校级期末）如图，在建筑平台的顶部处，测得大树的顶部的仰角为，测得大树的底部的俯角为，已知平台的高度为，求大树的高度． 59．（2018•黄浦区二模）如图，是的高，是边上一点，与交于点．已知，，． （1）求的面积； （2）求． 60．（2018•长宁区二模）如图，在等腰三角形中，，点在的延长线上，，． （1）求的长； （2）若，求的余切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25章 锐角的三角比 章未复习压轴60题 一．选择题（共9小题） 1．（2024春•宝山区期末）如图，已知梯形是某菜园的一块空地，，，米，，某同学由上述条件得到以下两个结论： ①对角线将梯形分成的两个三角形的面积之比； ②现准备过的中点修一条笔直的小路（点在边上，小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分，分别种植不同的蔬菜，那么小路的长是米． 对于结论①和②，下列说法正确的是　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，得出四边形是矩形，，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，从而得出，即可判断①错误；如图，根据题意得平分梯形的面积，得出，再结合点是中点，得出，故点作交于点，则四边形是矩形，得出，，在△中，根据勾股定理算出，即可判断②错误； 【解答】解：如图，过点作交的延长线于点， 则， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ，故①错误； 如图，根据题意得平分梯形的面积， ， 点是中点， ， ， ， 故点作交于点， 则四边形是矩形， ，， 在△中，，故②正确； 故选：． 【点评】该题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 2．（2024•金华模拟）如图，，，是三艘军舰，舰在舰正东方向6海里处，舰在舰北偏西方向4海里处．某日，，，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距　　 A．4海里 B．6海里 C．海里 D．海里 【答案】 【分析】根据题意画图可得点是，垂直平分线的交点，得四边形是矩形，然后利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：根据题意画图可知：点是，垂直平分线的交点， ，海里，海里， ， 四边形是矩形， ，海里， 由题意可知：， （海里）， 海里， 海里， ， ， （海里）， （海里）， （海里）， 故选：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，含30度直角三角形的应用，正确利用三角函数把求线段的长是解题的关键． 3．（2024春•拱墅区校级月考）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意得：，解得：，进而求解． 【解答】解：过点作交的延长线于点， 由题意知，两个正方形之间是4个相等的三角形， 设的长直角边为，短直角边为，大正方形的边长为，小正方形的边长为， 即，，， 由题意得：，解得：， 在中，，则，， 则， 则， 故选：． 【点评】本题为解直角三角形综合运用题，涉及到正方形的性质，确定、和之间的关系是解题的关键． 4．（2023•无锡二模）如图，在中，，，点的坐标是，，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可知，，，由勾股定理求出，取的中点，由旋转的性质、直角三角形的边角关系以及全等三角形的性质可得点是旋转中心，再根据直角三角形的边角关系求出，，由全等三角形的判定和性质得出，，进而得出点的坐标，由线段中点坐标计算公式可求出答案． 【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，，，过点作轴的垂线交轴于，与过点作轴的垂线相交于点，由旋转可知，，，， ， 点是的中点， ， 点是点、点的旋转中心，点也是点、点的旋转中心， ， ， 又，， △△， ， 点是点、点的旋转中心， 因此点是旋转到的旋转中心， ，， ， ，， ， ，， 在中，由于， 设，则，由勾股定理得， ， 即， 解得（取正值）， 即， ， ， ， 点， 点， 中点的坐标为，， 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，直角三角形的边角关系、全等三角形的判定和性质以及线段中点坐标公式是正确解答的前提． 5．（2022秋•锡山区校级月考）中，，的平分线交于，在延长线上，在上，经过中点，，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过作于，延长交于，由，设，则，而为中点，得，根据平分，可得，即有，，而，可得，即知，根据，得，从而可得． 【解答】解：过作于，延长交于，如图： 在中，， ， 设，则， 为中点， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，即， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查锐角三角函数的应用，涉及全等三角形，等腰三角形等知识，解题的关键是证明． 6．（2022秋•姑苏区校级月考）已知：如图，点是直线外一点，点到直线的距离是4，点、点是直线上的两个动点，且，则线段的长的最小值为　　 A． B． C．3 D．4 【答案】 【分析】如图，过点作直线直线，则直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，，交直线于点，连接，过点作于，过点作于．首先证明当，，共线时，的值最小，此时的值最小，解直角三角形求出此时的值，可得结论． 【解答】解：如图，过点作直线直线，则直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，，交直线于点，连接，过点作于，过点作于． 在中，， 的值最小时，的值最小， ， 当，，共线时，的值最小，此时的值最小， 直线垂直平分线段， ， ， ，， ， ， ， ， 可以假设，， ， ， ， ， ， 解得， 的最小值， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题． 7．（2024•浦东新区模拟）图1是2002年世界数学大会的会徽，其主体图案（如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】在中，利用锐角三角函数的的定义求出，的长，即可解答． 【解答】解：，，， ，， 由题意得： ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义是解题的关键． 8．（2024•浦东新区三模）图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】在中，，可得的长度，在中，根据勾股定理，代入即可得出答案． 【解答】解：， 在中，， ， 在中， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键． 9．（2023•松江区一模）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标志物，测得、，那么这条河的宽度是　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】 【分析】根据锐角三角函数，可以得到，，然后根据，即可得到． 【解答】解：作，交于点， ，、， ， ，， ，， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二．填空题（共15小题） 10．（2023•奉贤区三模）如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品．拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆，，，，，的半径均为，为三角轮的中心，，．如图2，当轮子，及点都放置在水平地面时，恰好与的最高点重合．此时，的高度为，则　8　；如图3，拉动，使轮子，在楼梯表面滚动，当，且，，三点共线时，点与的垂直高度差为 　　． 【答案】8；． 【分析】如图2，连接，延长交于，作于，由圆的半径为，得，设，利用勾股定理即可求出长；作，求出、的水平距离，如图3，连接，过作水平线，与过的铅垂线交于，利用三角函数，即可求出． 【解答】解：如图2，连接，延长交于，作于， 由圆的半径为，得， 的高度为， ， 设， ， ，， ，，， ，即， ，即． 故答案为：8； 如图2，作， ， ， 如图3，连接，过作水平线，与过的铅垂线交于， 由图2得，且， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角的综合应用，准确找到三角形的边角关系是解题关键． 11．（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在中，，，，，则线段的长 　　． 【答案】． 【分析】过作，垂足为交于，证明，推出，可得，由推出，设长为，由此构建方程求解，进一步求得结果； 【解答】解：过作，垂足为交于，如图， 过作，垂足为交于， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 设长为，则： ， 解得：或（舍去）， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形． 12．（2022•杨浦区三模）如图，已知在中，，，，点是斜边上一点，过点作交边于点，过点作的平行线，与过点作的平行线交于点．如果点恰好在的平分线上，那么的长为 　　． 【答案】． 【分析】根据直角三角形的边角关系可求出，，再根据相似三角形，用含有的代数式表示、、，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出，进而列方程求出即可． 【解答】解：在中，，，， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ，， 平分，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， ， 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形的边角关系，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提，用含有的代数式表示、、是正确解答的关键． 13．（2022春•虹口区校级期中）如图，是的角平分线，过点作的垂线交边于点，垂足为点，当为边上的中线，且时，则　　． 【答案】． 【分析】过点作，利用三角形相似，各线段长度，则勾股定理求得，利用面积相等，求得，从而得出答案． 【解答】解：过点作，交于点，过点作，垂足为点，如图， ，，， ， ，， ，， ， ， 设，则， ，， ， ， ，， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握性质之间的线段和角度转化，是解题的关键． 14．（2024•温州模拟）如图，在等腰中，，若点是边上一点，是的中点，关于直线对称的点为，交于点． （1）若，则　．　度（用含的代数式表示）． （2）若，则　　． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）延长交于，根据轴对称的性质得，，，根据等腰直角三角形性质得，，则，由此可得的度数； （2）过点作交于，交于，则，进而得为等腰直角三角形，则，证明为的中位线得，由（1）可知，则，在中，，设，则，进而得，，则，，由此得为等腰直角三角形，则，此时，设与交于，过作于，由勾股定理分别求出，，则，进而得，在中，，在中，，则，在中，，则，进而得，则，再由由勾股定理求出，则，然后在中，根据可得出答案． 【解答】解：（1）延长交于，如图1所示： 关于直线对称的点为， ，，， ， 在等腰中，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． （2）过点作交于，交于，如图2①所示： 则， 为等腰直角三角形， ， 点为的中点， 为的中位线， ， 由（1）可知：， ， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ， ， 又， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形，即， 设与交于，过作于，如图2②所示： 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 是的中点， ， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 15．（2024•无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，点到轴的距离是3，，是锐角且，则的面积为 　8.5或4　． 【答案】故答案为：8.5或4． 【分析】根据点到轴的距离是3可分为以下两种情况：（1）当点在轴的左侧时，此时又有两种情况：①当点在轴的正半轴上时，过点作轴垂线，过点作于，过点作直线于，在的延长线取一点，连接，使，在上取一点，连接，使，过点作直线于，则，根据，点到轴的距离是3得，，根据，在中设，，则，，，证明和全等得，，则，根据得，则，再由勾股定理求出，然后再求出，进而可得的面积；②当点在轴的负半轴上时，同①可得的面积；（2）当点在轴的左侧时，只有一种情况，即点在轴的正半轴上，过点作轴垂线，过点作于，过点作直线于，在的延长线取一点，连接，使，在上取一点，连接，使，过点作直线于，则，同（1）①得，，，，，，，，进而得，，，再根据，得，进而得，再由勾股定理得，然后再求出，进而可得的面积；综上所述即可得出答案． 【解答】解：点到轴的距离是3， 有以下两种情况： （1）当点在轴的左侧时， 点在轴上， 又有两种情况： ①当点在轴的正半轴上时，过点作轴垂线，过点作于，过点作直线于，在的延长线取一点，连接，使，在上取一点，连接，使，过点作直线于，如图1所示： ， 点的坐标为，点到轴的距离是3， ，， ， ， 在中，， 设，， 由勾股定理得：， ，， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， ； ②当点在轴的负半轴上时，过点作轴垂线，过点作于，过点作直线于，在的延长线取一点，连接，使，在上取一点，连接，使，过点作直线于，如图2所示： （2）当点在轴的左侧时，只有一种情况，即点在轴的正半轴上， 过点作轴垂线，过作于，过点作直线于，在的延长线取一点，连接，使，在上取一点，连接，使，过点作直线于，如图3所示： 则， ， 同（1）①得：，，，，，，，， ，，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， ． 综上所述：的面积为：8.5或4． 故答案为：8.5或4． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，坐标与图形性质，三角形的面积等，熟练掌握坐标与图形性质，三角形的面积公式，灵活运用锐角三角函数进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解决问题的难点，分类讨论是解决问题的易错点． 16．（2023•金华模拟）如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示，其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转．压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，厘米，不使用时，，是中点，，且点在的延长线上，则的长为　3　厘米；使用时如图3，按压使得，此时点落在上，若厘米，则压杆到底座的距离为　　厘米． 【答案】3；． 【分析】延长，则过点，根据和可得的长；过点作于，可得，利用勾股定理可得的长，最后利用三角函数可得答案． 【解答】解：如图2，延长，则过点， 四边形是矩形，， ， ， 即，， ， （厘米）． 如图3，过点作于， ， ，， ， ， ， 由图2可得，，， （厘米）， 中，， ， ，， ， 厘米． 故答案为：3；． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 17．（2023•金东区一模）如图1为某小区出入口栅栏道闸，，为栅栏道闸的转动杆，上面有10根等间距的竖杆，未抬起时与地面保持水平，竖杆竖直地面，在道闸抬起时最大旋转角度为，为门墙，，，，转动杆外端，距离杆与门墙均为，左侧9根竖杆底部离地面均为．，， （1）如图2，当道闸转动抬起时，第五根竖杆的底端到地面的距离为 　　； （2）现有一辆货车进小区装货，已知货车宽，货车进出需保持与门墙的安全距离，该货车安全进出小区的离地高度不得超过 　　． 【答案】（1）； （2）2.3． 【分析】（1）连接，延长交于点，过点作，垂足为，根据题意可得：，，，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可求出的长，即可解答； （2）当，货车安全进出小区的离地高度可达到最高，根据题意得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：（1）如图：连接，延长交于点，过点作，垂足为， 由题意得：，，， 在中，， ， ， 当道闸转动抬起时，第五根竖杆的底端到地面的距离为， 故答案为：； （2）如图：当，货车安全进出小区的离地高度可达到最高， 由题意得：，， 在中，， 货车安全进出小区的离地高度最高， 该货车安全进出小区的离地高度不得超过， 故答案为：2.3． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，生活中的旋转现象，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2023秋•慈溪市校级期中）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：且，，，箱盖开起过程中，点，，不随箱盖转动，点，，绕点沿逆时针方向转动，即分别到点，，的位置，气簧活塞杆随之伸长已知直线，，那么的长为 　40　，的长为 　　． 【答案】40；31.25． 【分析】过作延长线交于点，由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，过作，交于点，分别表示出、的长，即可得出的长，设 ，利用勾股定理可得，代入解方程即可． 【解答】解：过作延长线交于点， ， ， ， 由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为， 过作，交于点， ，， ，， ， ； 设 ， 则， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：40；31.25． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是是解题的关键． 19．（2022•宁波自主招生）如图，在边长为7的等边中，、分别在边、上，，，连结、交于点，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】如图，连接．取的中点，连接．首先证明，解直角三角形求出，，再利用相似三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：如图，连接．取的中点，连接． 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．（2022•苍南县二模）如图1，是一幅椅子和花架相互转化的实物图．放置在水平地面上的椅子示意图如图2所示，在矩形中，点在上，点，在上，是的中点，隔板，分别交于点，，现将该椅子的左边部分绕着点顺时针旋转得到一个花架，如图3所示，此时点落在地面上的点处，点，的对应点分别为点，，已知，，，则点离地面的距离是 　92　；若点，，在同一直线上，，则隔板的长是 　　． 【答案】92；． 【分析】①根据点与点关于点成中心对称，知点到的距离等于点到的距离，从而得出点离地面的距离为，②连接交于点，过点作于点，利用△△，设△边上的高为，则△边上高为，可得，再利用，得，再利用三角形中位线定理可得答案． 【解答】解：①将该椅子的左边部分绕着点顺时针旋转后点落在地面上的点处， 点与点关于点成中心对称， 点到的距离点到的距离， 四边形为矩形， 点到的距离等于的长， ， 点离地面的距离是， ②如图，连接交于点，过点作于点， 四边形为矩形， ，， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ，， 在△中，， ， ， ， △△， 设△边上的高为，则△边上高为， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， 是的中点， ，， ， 故答案为：92；． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，中心对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，三角形中位线定理等知识，读懂题意，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 21．（2024•浦东新区二模）如图，小丽在大楼窗口处测得校园内旗杆底部的俯角为度，窗口离地面高度（米，那么旗杆底部与大楼的距离　　米（用和的式子表示）． 【答案】． 【分析】根据题意可得：，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：，，， ， 在中，米， （米， 旗杆底部与大楼的距离为米， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 22．（2023•普陀区三模）如图，已知△是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则　　． 【答案】． 【分析】根据等边三角形三个角相等，可知，根据等腰三角形底角相等即可得出的度数，最后求出的值即可． 【解答】解：△是等边三角形， ，， ， ，， ， ． 过点作， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质，求是关键． 23．（2023•杨浦区一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高和最低位置时的高度差为 　10　厘米．（参考数据：，，． 【答案】10． 【分析】当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差． 【解答】解：如图：过作于． 中，厘米，， ． （厘米）． 故答案为：10． 【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 24．（2023•徐汇区一模）如图，在由正三角形构成的网格图中，、、三点均在格点上，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】由等边三角形的性质，求出长，由勾股定理求出长，由锐角的正弦定义即可计算． 【解答】解：令正三角形的边长是“1”， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，关键是掌握三角函数定义． 三．解答题（共36小题） 25．（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，． （1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头？请说明理由． （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度． 【参考数据：，，】 【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案． 【解答】解：（1）过点作，交于点， ，， ， 不会碰到头部； （2）， ， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 设，则， 段和段的坡度， ，， ， （米． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 26．（2022•青浦区模拟）如图，斜坡的坡度为，坡顶到水平地面的距离为3米，在处、处分别测得顶部点的仰角为和，点、、在一直线上，求的高度（精确到1米）． （参考数据：，，，，， 【分析】过点作，垂足为，设米，根据锐角三角函数可得米，然后根据斜坡的坡度为，坡顶到水平地面的距离为3米，可得米，米，所以米，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，过点作，垂足为， 则，， 设米， 在中，， ， ， 米， 斜坡的坡度为，坡顶到水平地面的距离为3米， 米，米， 米， 在中，， ， ， 米， ， ， 解得，， 米， （米， 的高度是18米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 27．（2022•松江区校级模拟）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离的长． （2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 【分析】（1）根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算列式即可； （2）作于，根据正切的概念求出，结合图形计算即可． 【解答】解：（1）斜坡的坡比为， ， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 则，， 答：改造前坡顶与地面的距离的长为24米； （2）作于， 则， ， ， 答：至少是8米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 28．（2022秋•虹口区期末）如图，在中，，，点、分别在边、上，满足．点是延长线上一点，且． （1）当点是的中点时，求的值； （2）如果，求的值； （3）如果是等腰三角形，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的中位线定理解答即可； （2）利用等腰三角形的判定与相似三角形的判定与性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分①当时，②当时，③当时三种情形讨论解答：利用等腰三角形的性质，平行线的判定和三角形的内角和定理求得前两种情形不存在，对于③利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）过点作于点，过点作于点，如图， ， ， ，， ． ． ． ，， ， 是的中点， 是的中位线， ，， ． 在中， ； （2）， ． ， ， ． ， ． ，， ， ． ，， ， ， ； （3）如果是等腰三角形， ①当时， 则． ， ， ，这与已知条件不符， 此种情况不存在； ②当时， 则， ， ， ， ， ， ， ， 为钝角， 此种情况不存在； ③当时， 过点作于点，如图， 由题意得：， ， ， ， ． ． ，， ， ， ， ． 由（1）知：， ， ． ． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 29．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在四边形中，，，，，． 求：（1）的长； （2）如果点为的中点，联结，求的正切值． 【分析】（1）在中，利用三角函数求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可． （2）首先证明，推出，由此即可解决问题； 【解答】解：（1）在中，，，， ， ， ， ， ， ． （2）在中，， ， ， ． 【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 30．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，已知中，，，点在边上，，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】作辅助线，根据，，，点在边上，，可知，从而可以得到各边之间的关系，从而可以得到的值． 【解答】解：过点作于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设，则，， ，，， ， ， ， 即． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出各边之间的关系，然后求出所求角的三角函数值． 31．（2024秋•徐汇区校级月考）如图，为了测量出楼房的高度，从距离楼底处米的点（点与楼底在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为的斜坡前进30米到达点，在点处测得楼顶的仰角为，求楼房的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）． 【分析】如图作于，于，先在中求出线段，在中求出，再证明四边形是矩形，得即可解决问题． 【解答】解：如图作于，于． 在中，，， （米，（米， ， 四边形是矩形， （米，（米， 在中，， （米， （米． 故楼房的高度为米． 【点评】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型． 32．（2022秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且． （1）当时，连接，求的余切值； （2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）连接，若为等腰三角形，求的长． 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，再由三角形的中位线定理求出、的长，由锐角三角函数的定义即可求出的余切值； （2）过点作于点，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出、的表达式，再由相似三角形的判定定理求出，根据相似三角形的性质可写出关于的函数关系式； （3）先分析出为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当时，点在边上，过点作于点，可求出的长度，由的长可判断出的位置，进而可求出的长；当时，先判断出点的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答． 【解答】解：（1），， ， ，， ，（1分） ，（1分） 在中，；（2分） （2）过点作于点，设， ， ， ， ， ，，（1分） ， 又可证， ，（1分） ， ；（2分） （3），， ， 若为等腰三角形，只有或两种可能．（1分） 当时，点在边上，过点作于点（如图① 可得：，即点在中点， 此时与重合， ；（2分） 当时，点在的延长线上， 过点作于点，（如图② 可证： ， 是直角三角形， ， ， ， ． ， ， ， ，，（2分） 综上所述，为6或7． 【点评】本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大． 33．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，一栋居民楼的高为16米，远处有一栋商务楼，小明在居民楼的楼底处测得商务楼顶处的仰角为，又在商务楼的楼顶处测得居民楼的楼顶处的俯角为．其中、两点分别位于、两点的正下方，且、两点在同一水平线上，求商务楼的高度． （参考数据：，．结果精确到0.1米） 【分析】过点作与点，解直角三角形得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：过点作与点，由题意可知， ，， 设，则，， ， ，， ， ， ， （米， 答：商务楼的高度为37.9米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，能正确解直角三角形是解此题的关键． 34．（2023秋•鹿城区期中）根据以下素材，探索完成任务 探究纸伞中的数学问题 素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，点为伞圈． 素材2 伞圈能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈滑动到的位置，且、、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：． 素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈点的正下方点处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得． 问题解决 任务1 判断位置 求证：平分． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈移动的距离（精确到． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 　60　，使得人站在处身上不被雨淋湿．（直接写出答案） 【分析】（1）利用证明即可得到答案； （2）过点作于点，求出的长，即可利用求出答案； （3）设与交于点，与交于点，先求出，可得，再求出，进而可求出，即为问题的答案． 【解答】解：（1），且，， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2）过做， ， ， ， ， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， ， （3）解：设与交于点，与交于点，如图， 在中， ，， ， ， 在中， ，， ， ， 在中， ， 故答案为：60． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 35．（2022•亭湖区校级二模）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． （1）求点到地面的距离； （2）在电动门抬起的过程中，求点所经过的路径长； （3）一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：，，所有结果精确到 【分析】（1）过点作于点，交于点，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可． （2）根据弧长公式解答即可； （3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可． 【解答】解：（1）如图，过点作于点，交于点， ，， ， ； （2）点是点绕点旋转得到， 点经过的路径长为； （3）在上取，，作于点，交于点，交于点，当汽车与保持安全距离时， 汽车高度为， ， ，， ，，， ， ， 汽车能安全通过． 【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，还在直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 36．（2024•翠屏区校级模拟）如图，某测量员测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点处，测得树顶端的仰角为．已知点的高度为3米，台阶的坡度为（即，且、、三点在同一条直线上． （1）求斜坡的长； （2）请根据以上条件求出树的高度（测倾器的高度忽略不计）． 【分析】过点作于，可得四边形为矩形，设，在和中分别表示出，的长度，求出的长度，然后在中表示出的长度，根据，代入解方程求出的值即可． 【解答】解：（1）如图，过点作于， 则四边形为矩形， ，米， 设， 在中，， 在中， ，， ， （米． （2）在中，， ， ， ， 解得． 答：树高为9米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般． 37．（2024•江阴市模拟）五一假期，圆圆带着无人机来到公园开展综合实践活动——测量一古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，测得斜坡底端距塔基中心距离米，斜坡坡度为，圆圆站在斜坡上距点6.5米的处，遥控无人机悬停在点的正上方37.6米的处，从处测得古塔的顶部处的俯角为（古塔在圆圆和无人机的正前方）．（参考数据：，， （1）求古塔的高度； （2）已知目高为1.6米．若无人机保持现有高度并沿着平行于的方向，以4米秒的速度向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 【答案】（1）古塔的高度约为28.1米； （2）经过6秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 【分析】（1）延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，再根据已知可设米，米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）连接交于点，根据题意可得：，再根据已知易得：米，然后证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，，， 斜坡坡度为， ， 设米，米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， 米， （米， 在中，， （米， （米， 古塔的高度约为28.1米； （2）连接交于点， 由题意得：， 米，米， （米， ， ， ， ， 解得：， （米， （秒， 经过6秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 38．（2024•鼓楼区校级二模）在元宵佳节灯火会上，一名摄影爱好者为了记录这次灯火会的全过程，携带无人机进行航拍．如图，摄影爱好者在水平地面上点处测得无人机位置点的仰角为；当摄影爱好者迎着坡度为的斜坡从点走到点时，无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．已知米，米，摄影爱好者让无人机沿与水平面平行的方向飞行．且，，，四点在同一竖直平面内，求无人机距水平地面的高度．测角仪的高度忽略不计．（参考数据：．． 【答案】无人机距水平地面的高度约为14.4米． 【分析】过作于，由坡度的定义和勾股定理得米，米，过作地面于，交于，过作地面，交于，交于，设米，则米，四边形为矩形，是等腰直角三角形，然后由锐角三角函数定义求出，即可解决问题． 【解答】解：过作于，如图所示： 坡度为， ， ， 设米，则（米， ， ， ， 米， ， ， 米，米， 过作地面于，交于，过作地面，交于，交于， ， ，设米，则米， ，且， 四边形为矩形，是等腰直角三角形， ，米，米， 则米， 又米， 米，米， ，， ， 即， 解得：， 米，米， 米， （米， 答：无人机距水平地面的高度约为14.4米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 39．（2022秋•嵊州市期末）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 ，，，； 任务1：探寻边角 填空：　15　，　　； 任务2：比较面积 计算或推理：正方形和正方形边长之比； 任务3：应用实践 若在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 　　． 【答案】任务，； 任务2：正方形和正方形边长之比为； 任务． 【分析】任务1：作于，利用勾股定理以及三角函数的定义求解即可； 任务2：分两种情况，画出图形，利用三角函数的关系即可求解； 任务3：同理任务2，分两种情况求解即可． 【解答】解：任务1：探寻边角， 作于， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， 故答案为：15，； 任务2：比较面积， 设与相交于点，正方形的边长为， ， ，， 在中，，，， ， 解得； 设正方形边长为， ， 在中，，则， 在中，，则， ， 解得， 正方形和正方形边长之比为； 任务3：应用实践， 如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为， ， ， 在中，， ， 解得，即正方形的边长为； 如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为， 同理 在中，，则， 在中，，则， ， 解得，即正方形的边长为； ， 在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 40．（2023•滨海县模拟）如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为伸出部分不计），、、在同一直线上．量得，，，，灯杆长为，灯管长为． （1）求与水平桌面所在直线）所成的角； （2）求台灯的高（点到桌面的距离，结果精确到． （参考数据：，，，，，． 【分析】（1）直接作出平行线和垂线进而得出的值； （2）利用锐角三角函数关系得出以及的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：过点作，过点作于点，于点， 由题意可得，四边形是矩形， 则， ，， ， ， 即与水平桌面所在直线）所成的角为； （2）如图所示：，，， ，则， 灯杆长为， ， ， 则， 灯管长为， ， 解得：， 故台灯的高为：． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 41．（2023秋•瓯海区期中）根据以下素材，探索完成任务 探究纸伞中的数学问题 素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨，且，，点为伞圈，． 素材2 伞圈能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈滑动到的位置，且、、三点共线，测得，，伞完全张开时，如图1所示．（参考值： 素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为小明同学站在伞圈点的正下方处，记为，此时，发现身上被雨淋湿，测得． 问题解决 任务1 判断位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈移动的距离． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 　60　，使得人站在处身上不被雨淋湿．（直接写出答案） 【答案】（1）见解答； （2）； （3）60． 【分析】（1）利用证明即可得到答案； （2）过点作于点，求出的长，即可利用求出答案； （3）设与交于点，与交于点，先求出，可得，再求出，进而可求出，即为问题的答案． 【解答】（1）证明：，，， ， 在和中， ， ， ， 是的角平分线； （2）解：，， ， ， ， 过点作于点，如图， 在中， ， ， 在中， 由勾股定理，得， ， ， 答：当伞从完全张开到完全收拢，伞圈移动的距离为； （3）解：设与交于点，与交于点，如图， 在中， ，， ， ， 在中， ，， ， ， 在中， ， 故答案为：60． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 42．（2023•鹿城区校级二模）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度（度 90 75 60 45 30 15 参考数据：． 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决 任务1 确定影子长度 某一时刻测得米．请求出此时影子的长度 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？ 任务3 探究合理范围 小明打算在这天露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围． 【分析】任务1：如图2，过点作于点，过点作于点根据三角函数的定义即可得到结论； 任务2：方法1：如图2，过点作交于点．由（1）知，，解直角三角形即可得到结论； 任务3：根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：任务1：如图2，过点作于点，过点作于点 米，米， 米， 米， 米， ， ， ，四边形为矩形， 米． 在△中， 米； 任务2：方法 如图2，过点作交于点． 由（1）知，， 在△中，米，米， 米． 在△中，米， 在△中，米， 在△中，当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 方法 如图2，过点作交于点， 与方法1同理得，得米， 米， 在△中，， 小明会被照射到． 任务3：当时，． 当时，． ， 约为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 43．（2024•工业园区校级二模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋项的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高．（结果精确到 【答案】15米． 【分析】（1）根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论； （2）过作于，设，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，， ， 在中，，， ，， （米； 答：屋顶到横梁的距离约为4.2米； （2）延长，交的延长线于点，如图． 设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 解得：， （米， 答：房屋的高约为15米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 44．（2023•娄星区校级一模）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛与显示屏顶端在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心的视线与水平线的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端与底座的连线与水平线垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，，液晶显示屏的宽为． （1）求眼睛与显示屏顶端的水平距离；（结果精确到 （2）求显示屏顶端与底座的距离．（结果精确到 （参考数据：，，， 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由已知得，根据锐角三角函数即可求出眼睛与显示屏顶端的水平距离； （2）如图，过点作于点，根据锐角三角函数求出和的长，进而求出显示屏顶端与底座的距离． 【解答】解：（1）由已知得， 在中， ， ， 答：眼睛与显示屏顶端的水平距离约为； （2）如图，过点作于点， ，， ， 在中， ， ， ， ， ， ． 答：显示屏顶端与底座的距离约为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 45．（2013•东台市校级模拟）某住宅小区为缓解停车难问题，新建了地下停车场，建筑设计师提供了地下停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．请根据如图，求出汽车通过坡道口的限高的长，结果精确到． 【分析】根据锐角三角函数的定义，可在中解得的值，进而求得的大小；在中，利用余弦的定义，即可求得的值． 【解答】解：如图，延长交于点，在中，，， ， 米， 在中，，米， （使用的方法是“去尾法” ， 答：坡道口的限高的长是． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值． 46．（2022•海州区校级二模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋项的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， （1）求屋项到横梁的距离； （2）求房屋的高． 【答案】（1）4.2米；（2）15.4米． 【分析】（1）根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论； （2）过作于，设，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，， ，米， （米； 答：屋顶到横梁的距离约为4.2米； （2）过作于， 设米， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 米， ， 解得：， （米， 答：房屋的高约为15.4米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 47．（2022•镇江模拟）如图，某广场一灯柱被一钢缆固定，与地面成夹角，且米． （1）求钢缆的长度；（精确到0.1米） （2）若米，灯的顶端距离处1.6米，且，则灯的顶端距离地面多少米？ （参考数据：，， 【分析】（1）利用三角函数求得的长； （2）过作的垂线，垂足为，根据三角函数求得、的长，则的长就是点到地面的距离． 【解答】解：（1）在中，， ；（3分） （2）在中，，．（4分） 过作的垂线，垂足为， 在中，，， （6分） 米．（7分） 答：钢缆的长度为6.7米，灯的顶端距离地面7米．（8分） 【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角的综合运用能力． 48．（2023•淮阴区一模）如图，小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得，两点的俯角分别为和，已知大桥的长度为，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度． （结果保留整数，参考数据：，，， 【分析】作交所在直线于点，利用锐角三角函数的定义求出及的长，利用即可得出结论． 【解答】解：作交所在直线于点，由题知， ，， 在中，，， ． 在中，，， ， ， ，解得． 答：热气球离地面的高． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 49．（2023春•泰兴市月考）如图1是某配电房的实物图，图2是它的部分示意图．已知，，，，参考数据：，，． （1）根据以上信息可以求出的量有 　①②④　（填序号） ①点到的距离； ②的长； ③矩形的面积； ④点到的距离． （2）选择（1）中的一个可求的量，写出求解过程．（结果精确到 【答案】（1）①②④ （2）①（或②或④，求解过程见解析． 【分析】（1）过点作，根据等腰三角形的性质可得，利用可求即可求①；在中，利用解直角三角形即可求②；在矩形中，、不可求即③不可求；过点作，根据的面积可求即可求④． （2）根据（1）中的分析，任意选一个量进行求解即可． 【解答】解：（1）如图，过点作于点， ， 是等腰三角形， ， ， 在中， ，， ， ， ， 点到的距离为，故①可求； 在中，，， ， ， 又， ，故②可求； ，， ，， ， 四边形是矩形， 矩形的面积为：， 由已知条件不可求，所以矩形不可求，故③不可求； 如图，过点作于点， ，， 在中，， ， 点到的距离为4.6米，故④可求； 故答案为：①②④； （2）①如图，过点作于点， ， 是等腰三角形， ， 在中， ，， ， ， ， 点到的距离为 ②在中，，， ， 又， ， ④如图，过点作于点， ，， 在中，， ， 点到的距离为4.6米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，利用直角三角形的边角关系求得是解本题得关键． 50．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，．机械臂端点到工作台的距离． （1）求、两点之间的距离； （2）求长． （结果精确到，参考数据：，，， 【分析】（1）过点作，垂足为，在△中，由，，可求和，即可得出的长； （2）过点作，垂足为，在△中，由勾股定理可求出，即的长． 【解答】 解：（1）如图，过点作，垂足为， 在△中，，， ，， ，， ，， ， 在△中，由勾股定理． （2）过点作，垂足为， ， ， 在△中，由勾股定理． ． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 51．（2019•通州区模拟）如图，已知斜坡长为80米，坡角（即为，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡． （1）若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号） （2）一座建筑物距离处36米远（即为36米），小明在处测得建筑物顶部的仰角（即为．点、、、、在同一个平面内，点、、在同一条直线上，且，求建筑物的高度．（结果保留根号） 【分析】（1）根据题意得出，解直角，求出，，进而得出的长，即可得出答案； （2）利用在中，，以及进而得出的长，利用得出即可． 【解答】解：（1）修建的斜坡的坡角为， ， ，， ，， ， 平台的长为米； （2）过点作，垂足为． 在中，，， 在矩形中，，． 在中，， 则． 答：建筑物高为米． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题以及仰角俯角问题，根据图形构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键． 52．（2012秋•南京校级月考）已知，如图，四边形中，，，，且．试求： （1）的度数； （2）四边形的面积（结果保留根号）． 【分析】（1）如图，连接，由于，且根据勾股定理即可求出的长度，而，，利用勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形，由此即可求出的度数； （2）首先把求四边形的面积分割为求和的面积，然后利用三角形的面积公式可以分别求出这两个三角形的面积，最后就可以求出四边形的面积． 【解答】解：（1）如图，连接， ，且， ，， 而，， ， 是直角三角形，即， ； （2）， 而， ， ． 【点评】此题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式、以及利用割补法求不规则图形的面积，有一定的难度，对于学生的能力要求比较高． 53．（2022秋•无锡期末）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知，，，，． （1）连结，求线段的长． （2）求点，之间的距离． （结果精确到．参考数据：，，，，， 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，利用锐角三角函数即可解决问题； （2）根据横截面是一个轴对称图形，延长交、延长线于点，连接，所以，根据直角三角形两个锐角互余可得，然后利用锐角三角函数即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，过点作于点， ，． ， ， ， 线段的长约为； （2）横截面是一个轴对称图形， 延长交、延长线于点， 连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 点，之间的距离． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数． 54．（2022秋•苏州期中）如图，某海岸边有，两码头，码头位于码头的正东方向，距码头60海里．甲、乙两船同时从岛出发，甲船向位于岛正北方向的码头航行，乙船向位于岛北偏东方向的码头航行，当甲船到达距码头40海里的处时，乙船位于甲船北偏东方向的处，求此时乙船与码头之间的距离（结果精确到0.1海里）． （参考数据：，，，，，， 【答案】11.8海里． 【分析】过作于，根据题意可得，所以，设海里，则海里，可得海里，再根据锐角三角函数列出方程求出的值，进而可得结果． 【解答】解：过作于， ， ， ， 设海里，则海里， 海里， 在中，， ， ， 在中，，海里， （海里）， （海里）， ， ， 解得， （海里）． 答：乙船与码头之间的距离约为11.8海里． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确的识别图形是解题的关键． 55．（2023•亭湖区校级三模）随着我国科学技术的不断发展，移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现网络全覆盖，年拟建设基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，， （1）求坡面的坡度； （2）求基站塔的高． 【答案】（1）； （2）米． 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，过点作，垂足为．由勾股定理可求出答案； （2）设米，则米，米，由于是等腰直角三角形，可表示，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出． 【解答】解：（1）如图，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作，垂足为． 由题意可知：米，米． 在中，由勾股定理得：， 米， 斜坡的坡度； （2）设米，则米，米， ， ， 米， 米． 在中， 米，米，， ， ， 解得， （米， 米， （米． 答：基站塔的高为米． 【点评】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法． 56．（2022秋•江阴市期中）定义：在中，若，，，，，满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 　假　（填“真”或“假” 命题． （2）如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． （3）如图2所示，在中，，且． ①当时，你能把这一个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由． ②请证明为“类勾股三角形”． 【答案】（1）假； （2）． （3）①两个等腰三角形的顶角的度数分别为和． ②证明见解析部分． 【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出，再由勾股定理得，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形； （2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论； ②先求出，，，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 【解答】解：（1）如图1，假设是类勾股三角形， ， 在中，，根据勾股定理得，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 等腰直角三角形是类勾股三角形， 即：原命题是假命题， 故答案为：假； （2），， ，， 是类勾股三角形 ， ， 是等腰直角三角形， ， （3）①在中，，， ， 根据三角形的内角和定理得，， 把这个三角形分成两个等腰三角形， Ⅰ、分割线分， （Ⅰ）、当时， ， ， ， 不是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅱ）、当时， ， ， 是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅲ）、当时， ． 是等腰三角形， 图形如图2所示：两个等腰三角形的顶角的度数分别为和． Ⅱ、分割线分，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立； Ⅲ、分割线分，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立； ②如图，在边上取点，连接，使，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，“类勾股三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 57．（2020•黄岩区模拟）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的处，测得建筑物顶端的仰角为．且离地面的高度．坡底，然后在处测得建筑物顶端的仰角是，点，，在同一水平线上，求建筑物的高．（结果用含有根号的式子表示） 【分析】过点作于点，则四边形是矩形，，，设建筑物的高度为，则，由三角函数得出，，得出，解方程即可． 【解答】解：过点作于点，如图所示： 则四边形是矩形，，， 设建筑物的高度为，则， 在中，， ，， 在中，，， 解得：， 答：建筑物的高为． 【点评】本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 58．（2015秋•广陵区校级期末）如图，在建筑平台的顶部处，测得大树的顶部的仰角为，测得大树的底部的俯角为，已知平台的高度为，求大树的高度． 【分析】根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，计算即可． 【解答】解：如图，由题意得，， 在中，米， ， 米， 大树的高为米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键． 59．（2018•黄浦区二模）如图，是的高，是边上一点，与交于点．已知，，． （1）求的面积； （2）求． 【分析】（1）根据题意和锐角三角函数可以求得和的长，从而可以求得的面积； （2）根据三角形的相似和题意可以求得的值． 【解答】解：（1），，是的高， ， ，， 的面积是；； （2）作于点， ，， ， ，， ，， ， ， ， 即． 【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 60．（2018•长宁区二模）如图，在等腰三角形中，，点在的延长线上，，． （1）求的长； （2）若，求的余切值． 【分析】（1）过点作，垂足为点，解直角三角形得到，设，，根据勾股定理求得的值，即可求得的长； （2）过点作，垂足为点，先证得，根据平行线分线段成比例定理证得，，即可求得，然后解直角三角形即可求得． 【解答】解：（1）过点作，垂足为点， 又， ， ， ， 在中，，， 设，， ， ， ， ，； （2）过点作，垂足为点， ，， ， ，， ， ， ， 又，，， ，， ，即， 在中，，． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$