专题02 锐角的三角比19题型（期中专项训练）九年级数学上学期沪教版

专题02 锐角的三角比 题型1理解正弦/余弦/正切/余切的概念 题型11利用同角的三角函数关系求解 题型2角的正切值及其应用 题型12互余两角的三角函数关系（难点） 题型3角的余切值及其应用 题型13三角函数综合（难点） 题型4角的正弦值及其应用 题型14解直角三角形的相关计算（常考点） 题型5角的余弦值及其应用 题型15解非直角三角形（难点） 题型6特殊角三角函数值的混合运算（常考点） 题型16视角问题（常考点） 题型7由特殊角三角函数值判断三角形形状（重点） 题型17方位角问题 题型8由计算器求锐角三角函数值 题型18坡度坡比问题 题型9根据特殊角三角函数值求角的度数 题型19实物模型（难点） 题型10已知角度比较三角函数值大小（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 理解正弦/余弦/正切/余切的概念（共4小题） 1．（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义并能灵活运用． 利用锐角三角函数中正弦、余弦、正切的定义，对每个式子进行推导验证，判断其是否成立． 【详解】解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：； 正弦：； 余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． 2．（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握余切函数的定义即可解答． 根据余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：在中，，， ∴，即． 故选D． 题型二 角的正切值及其应用（共5小题） 5．（2024九年级上·上海·专题练习）中，，，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，三角形内角和定理，先设的度数为x，则的度数为，根据题意得出，求出，，进而可求出答案． 【详解】解：设的度数为x，则的度数为， 所以， 解得， 所以，， 所以． 故选：C． 6．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正切值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作轴，垂足为，根据已知易得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作轴，垂足为， 点 ，， 在中，， 故选：B． 7．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：如图： 在中，，，， ， 故选D． 8．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）在中，，，那么长为（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义、勾股定理等知识点，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边、余弦为邻边比斜边、正切为对边比邻边是解题的关键． 先作出图形，然后结合图形，根据锐角的正切函数定义求得，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示： 在中，，， ∴，即，解得：， 由勾股定理可得：． 故选：C． 9．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知锐角，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，根据，画图设，则，再求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为： 题型三 角的余切值及其应用（共4小题） 10．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在中，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中余切值的计算，需根据余切的定义确定邻边与对边的比值即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故选C． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题关键．在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，逐一验证各选项的正确性． 【详解】在中，，则：，，，． 选项A：由，得，而非，故选项A不成立． 选项B：由，两边乘以得，此式恒成立，故选项B正确． 选项C：由，得，而非．若代入，则，化简得，仅当时成立，故选项C不一定成立． 选项D：由，得，而非．若代入，则，化简得，同样仅当时成立，故选项D不一定成立． 综上，只有选项B一定成立． 故选：B 12．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知在中，，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，过点作于，由等腰三角形的性质可得，即得，再根据余切的定义解答即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴夹角为，如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角函数，解题的关键在于能够根据题意得到．如图所示，过点作轴，根据进行求解即可． 【详解】解：过点作轴，则，，， ∵， ∴， ∴（如图中位置）， 故答案为：． 题型四 角的正弦值及其应用（共5小题） 14．（2025九年级上·上海·专题练习）已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形全等的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练运用相关知识是解题的关键． 过点作于，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解． 【详解】解：过点作于，过点作于，如图： 设，，间的距离为h， ∴， ，， ， ， ， ， ∵在等腰直角中，， ∴在和中， ， ∴， ， 在中，， ． 故选：A． 15．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）已知在中，，则的长为（   ） A．1 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正弦，勾股定理．熟练掌握正弦，勾股定理是解题的关键．由题意知，，求出的值，然后由勾股定理求线段长即可． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， ∵ 解得，， 由勾股定理得，， 故选：C． 16．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦的定义及同角的余角相等，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选A． 17．（2025·上海徐汇·二模）如图，梯形中，，，，，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是梯形是性质、解直角三角形、平行四边形的判定和性质．过点C作，交的延长线于E，根据平行四边形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于E， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2025·上海静安·一模）如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形函数、勾股定理．首先根据网格求出三角形的三边，在三角形中过点作，利用三角形的面积公式求出的长度，再根据正弦的定义求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作， 在中，，， ， 当以为的底边时，对应的高为， ， ， 解得：， ． 故答案为： ． 题型五 角的余弦值及其应用（共5小题） 19．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四边形为菱形，对角线，交于点O，，垂足为E．若，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求一个角的余弦值，根据菱形的性质和勾股定理求出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即， ∴， ∴， 故选：A． 20．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，分别为的高线和中线，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，直角三角形的性质，先由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，接着利用等面积法求出，则由余弦的定义可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 21．（23-24九年级上·河北唐山·期末）的边长都扩大2倍，则的值（   ） A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得所得的三角形与原三角形相似，从而可得的大小没有发生变化，即可解答． 【详解】解：∵的边长都扩大2倍， ∴所得的三角形与原三角形相似， ∴的大小没有发生变化， ∴的值不变， 故选：A． 22．（2025·陕西西安·二模）我国数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，则 ． 【答案】/0.8 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出的长是解题的关键．根据两个正方形的面积可得，，设，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，从而解决问题． 【详解】解：∵大正方形的面积是100， ∴． ∵小正方形的面积是4， ∴小正方形的边长为2， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得或（负值舍去）， ∴，， ∴． 故答案为：． 23．（2025·上海普陀·一模）如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，先利用等腰三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得：，从而可证，最后利用相似三角形的性质求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴或（舍去）， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型六 特殊角三角函数值的混合运算（共5小题） 24．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案． 【详解】解：A．，，原式成立，故此选项不合题意； B．，，原式成立，故此选项不合题意； C．，故原式成立，故此选项不合题意； D．，，原式不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 25．（24-25九年级上·上海松江·期中）计算： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为6． 26．（25-26九年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算和特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 27．（24-25九年级下·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用二次根式及绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方法则，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 28．（2025九年级下·上海·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的运算，含特殊角的三角函数值的混合运算，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当 时， 原式． 题型七 由特殊角三角函数值判断三角形形状（共3小题） 29．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 30．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 31．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求角度，涉及非负数和为零的条件、特殊角的三角函数值及三角形内角和定理等知识，先由非负数和为零的条件得到，再由特殊角的三角函数值求出，最后由三角形内角和定理即可得到答案，熟记非负数和为零的条件、特殊角的三角函数值及三角形内角和定理等知识是解决问题的关键． 【详解】解：在中，若， ，， ， 解得， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 故选：C． 题型八 由计算器求锐角三角函数值（共4小题） 32．（2022九年级下·浙江·专题练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0.7314 (2)0.2164 (3)0.9041 (4) 【分析】利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题考查计算锐角三角函数值，熟练使用计算器是解题的关键． 33．（20-21九年级下·全国·课后作业）用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中： 锐角 … … … 随着锐角A的度数不断增大，有怎样的变化趋势？呢？呢？你能说明自己的结论吗？ 【答案】见解析，随着锐角A的度数不断增大，的值不断增大，的值不断减小，的值不断增大 【分析】利用计算器计算出各函数值，再观察表格由此得到答案． 【详解】解： 锐角A … … … … 0.2588 0.3090 0.3420 0.3746 … 0.9848 0.9903 0.9945 … … 0.9659 0.9511 0.9397 0.9272 … 0.1736 0.1392 0.1045 … … 0.2679 0.3249 0.3640 0.4040 … 5.6713 7.1154 9.1544 … 随着锐角A的度数不断增大，的值不断增大，的值不断减小，的值不断增大． 理由：在中，，假定的对边不变，当增大时，必有斜边减小，因此的值增大；假定的邻边不变，当增大时，必有斜边增大，对边增大，因此的值减小，的值增大． 【点睛】此题考查利用三角函数数值表求各角度的三角函数值，根据数据变化总结规律，熟记三角函数值的计算方法是解题的关键． 34．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知下列正弦值，用计算器求相应的锐角（精确到）： (1)0.3426． (2)0.8579． (3)0.2166． (4)0.8452． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了计算器—三角函数，解决问题的关键是熟练掌握计算器的应用． （1）计算器求值即可； （2）计算器求值即可； （3）计算器求值即可； （4）计算器求值即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 35．（20-21九年级下·全国·课后作业）已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数： （1），； （2），； （3），． 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】利用计算器完成即可． 【详解】（1）由计算器可得：，； （2）由计算器可得：，； （3）由计算器可得：， 【点睛】本题考查了在已知三角函数值的情况下用计算器求锐角，关键是会使用计算器． 题型九 根据特殊角三角函数值求角的度数（共3小题） 36．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知为锐角，，那么 度． 【答案】20 【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值．根据特殊角的三角函数值，即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：20． 37．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知扇形，过点作，垂足为点，如果，那么扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了解三角形和扇形面积的计算，先根据在中，，得出扇形的圆心角度数，进而根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴扇形的面积， 故答案为． 38．（23-24九年级上·北京·单元测试）已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 【答案】 /60度 /30度 /30度 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （3）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【详解】解：（1），，为锐角， ； （2）， ， ，为锐角， ； （3），，为锐角， ， ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 39．（2024九年级·全国·竞赛）如果直线和直线所夹的锐角为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，锐角三角函数的应用，熟练的构建图形是解本题的关键，先画图求解，再利用特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：如图，直线与两函数的交点分别为，，与轴的交点为， ∴，， ∴，， ∴，即， ． 故答案为： 题型十 已知角度比较三角函数值大小（共4小题） 40．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】 ， ， ，， ，， ， 故选：D． 41．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）若，则的正切值h的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义和记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 利用锐角正切随角度的增大而增大得到，然后根据特殊角的三角函数值对各选项进行判断． 【详解】解：， ， 即 故选：D． 42．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 43．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解： ，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 题型十一 利用同角的的三角函数关系（共4小题） 44．（24-25九年级上·上海·期中）已知，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数的关系，掌握成为解题的关键． 利用列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得：． 故答案为：． 45．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．将所代数式变形为，根据一元二次方程根与系数的关系可求出，再结合整体代入求值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 46．（23-24九年级上·河南周口·期末）计算：s ． 【答案】0 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系．根据平方关系，倒数关系，互余关系，进行求解即可．掌握三角函数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 47．（22-23九年级下·福建福州·期中）（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求； （2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求．        （2）证明：， ， ，， ． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键． 题型十二 互余两角的三角函数关系（共4小题） 48．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）对于锐角，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握是解题的关键． 根据互余两角三角函数的关系进行计算即可． 【详解】解：由互余两角三角函数的关系可得，，而且， 所以．即， 故答案为：． 49．（2024·上海·模拟预测） （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了互余两角的余弦与正弦的关系．熟练掌握互余两角的余弦与正弦的关系是解题的关键． 由，可知． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 50．（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案 【详解】解： ，， 由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键． 51．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 题型十三 三角函数综合（共4小题） 52．（24-25九年级上·上海静安·期中）好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 【答案】(1)；； (2)；；证明见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，掌握正弦的定义，学会添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）结合题意，完成推理过程即可； （2）作于点，则，分别在和中利用正弦的定义得到，，等量代换即可得出答案； （3）作使得，，则，作于点，利用特殊锐角的三角比值得到，，设，表示出、的长，再由（2）得结论可得，代入数据即可求出的值． 【详解】（1）解：如图①，在中，，， ，． ． 故答案为：；；． （2）证明：如图，作于点，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 同理可得：， ． 故答案为：；． （3）解：作使得，，则，如图所示，钝角三角形的示意图即为所求： 作于点，则， ， ， ， ， 在中，，， ，， 设，则，， ， 由（2）的结论得，， ， 解得：． 题型十四 解直角三角形的相关计算（共7小题） 53．（21-22九年级上·上海静安·期中）在学习锐角的三角比时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角比具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：tan60°＝　 　，tan30°　 　． 发现结论：tanA　 　2tan∠A（填“＝”或“≠”）； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠BAC的值； 研究思路：小明想构造包含∠BAC的直角三角形；延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠BAC，即转化为求∠D的正切值，那么，tan∠BAC＝　 　． （3）在△ABC中，∠A为锐角，tanA＝，∠B＝2∠A，AB＝3．求S△ABC的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数值直接填空即可； （2）根据正切的定义，在中求∠D的正切值即可； （3）作的垂直平分线，交于点，连接，过点作的延长线于点，根据（2）的方法先求得的值，过点作于点，进而求得的值，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1） 故答案为： （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1， DA＝AB， 故答案为： （3）如图，作的垂直平分线，交于点，连接，过点作的延长线于点， ， ， 在中，， AB＝3， ， 设，则， 解得 设，则， 在中 解得 如图，过点作于点， 设，则 解得 【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，解直角三角形，掌握三角函数的定义和解直角三角形是解题的关键． 54．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 【答案】(1)α (2)A (3)或 (4)的值为；α的值为 【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断； （2）根据三角函数的定义分析求解即可； （3）分两种情形讨论即可解决问题； （4）根据α是锐角，终边上一点在第一象限，，进而得，进而得解得或（舍去），从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴点在第四象限， ∴， ∵ ， ∴， ∴取取正值的是， 故答案为：； （2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限， ∴，， 而 ， ∴，故正确； ∵， ， ∴，故不正确； ∵，，， ∴，故不正确； ，故不正确； 故答案为：； （3）解：由角α的终边与直线重合，设角α终边上一点为， ∴， 当时，，， ， ∴； 当时，，，， ∴； 故答案为：或； （4）解：∵角α是锐角， ∴终边上一点在第一象限，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 经检验，是原方程的解， ∴的值为； ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 55．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，作交的延长线于，求出是等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 56．（2025·上海虹口·二模）如图，直线，直线分别与、相交于点、，与之间的距离为8，小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．那么的长是（    ） A．6 B．6.4 C．8 D．10 【答案】D 【分析】过点作于，解直角三角形求出，根据角平分线的定义和平行线的性质证得，即可求得答案． 【详解】解：由基本作图知是的平分线， ， ， ， ， 过点作于，则， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查基本作图作角的平分线，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，根据角平分线的定义和平行线的性质证明是解决问题的关键． 57．（2025·上海·二模）边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数，正多边形的性质，根据题意画出图形，过点O作交与点M，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，，最后根据余弦的定义求解即可得出答案． 【详解】解：如图，正十边形的中心角， 过点O作交与点M， ∴，，． ∴， ∴ 故选：A． 58．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知在中，，正方形的顶点G、F分别在边上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，正切，一元一次方程的应用，解题的关键在于确定线段之间的数量关系． 根据题意可设正方形边长，再利用正切，求出，接着利用求解即可． 【详解】因为为正方形，所以可设正方形边长， 在中，， ， ，解得， ，解得， ，解得， 正方形的边长为． 故答案为：． 59．（2025·上海崇明·三模）如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半，连接，先由菱形性质可得对角线与交于点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，进而由菱形对角线求出边长，由，解三角形即可求出，正确进行计算是解题关键． 【详解】解：如图，连接， 点是的中点， 、、三点在同一直线上， ， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 60．（24-25八年级下·上海·期末）已知：如图，的半径为5，弦的长等于8，，垂足为点，的延长线与相交于点，点在弦的延长线上，与相交于点，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、锐角三角函数定义等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． （1）如图：连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，然后根据线段的和差求解即可； （2）如图：作垂足为点H，根据，求出，进而求得，再在中解直角三角形求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴． （2）解：如图：作垂足为点H， ∵，， ∴，即，解得：， ∵， ∴， 又∵，， ∴，即，解得：， ∴． 题型十五 解非直角三角形（共4小题） 61．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，点在直角边上，，，，求的余切值． 【答案】2 【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质与判定、勾股定理，掌握锐角三角函数的定义，学会添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．作交于点，根据正切的定义得到，利用勾股定理得到，通过证明得到、的长，再利用余切的定义即可解答． 【详解】解：如图，作交于点， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 在中，， 的余切值为2． 62．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 63．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 64．（2021·江苏无锡·二模）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是 ． 【答案】 【分析】如图，连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、A、B共线，再根据tan∠ABC＝，求出EC、EB即可解决问题． 【详解】解：如图，连接EA，EC， 设菱形的边长为a，由题意得∠CEF＝60°，∠BEF＝30°，CE＝a，AE＝，EB＝， ∴∠AEC＝90°， ∵∠ACE＝∠AGF＝60°， ∴∠EAB＝180°， ∴E、A、B共线， 在Rt△CEB中，tan∠ABC＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 65．（18-19九年级上·云南昆明·期末）问题呈现： 如图 1，在边长为 1 小的正方形网格中，连接格点 A、B 和 C、D，AB 和 CD 相交于点 P，求 tan ∠CPB 的值方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，观察发现问题中∠ CPB不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 B、 E，可得 BE∥CD，则∠ABE=∠CPB，连接AE，那么∠CPB 就变换到 Rt△ABE 中．问题解决： （1）直接写出图 1 中 tan CPB 的值为______； （2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AB 与 CD 相交于点 P，求 cos CPB 的值． 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）根据平行四边形的判定及平行线的性质得到∠CPB=∠ABE，利用勾股定理求出AE，BE，AB，证明△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，即可求出tan CPB= tan ABE； （2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．通过平行四边形及平行线的性质得到∠CPB=∠MCD，利用勾股定理的逆定理证明△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°，即可得到cos∠CPB=cos∠MCD． 【详解】解：（1）连接格点 B、 E， ∵BC∥DE，BC=DE， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∴DC∥BE， ∴∠CPB=∠ABE， ∵AE=，BE=，AB= ， ∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°， ∴tan∠CPB= tan∠ABE=， 故答案为：2； （2）如图2所示，取格点M，连接CM，DM， ∵CB∥AM，CB=AM， ∴四边形ABCM是平行四边形， ∴CM∥AB， ∴∠CPB=∠MCD， ∵CM=，CD=，MD=， ， ∴△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°， ∴cos∠CPB=cos∠MCD=． 【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及勾股定理逆定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题． 题型十六 视角问题（共4小题） 66．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 67．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，小明身高（即）为米，通过地面上的一块平面镜（即点C），刚好能看到前方大树（即）的树梢，此时他测得俯角为，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角为，求树的高度．（结果保留整数米，，） 【答案】米． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定和性质等知识．作于点F，证明四边形是矩形，设米，由题意可得，，则米，米，则，得到，即可求出树的高度． 【详解】解：作于点F，则， ∴四边形是矩形， 由题意可得，， 则 米， 设米，则米， 米， 在中，， ∴， 即 解得， 答：树的高度约为米． 68．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 【答案】(1)两楼的间距符合规定，理由见解析 (2)37.5米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角的问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． （1）过点作于点，在中，由得到，比较与即可； （2）延长，交于，由，可得，由正切函数可求得，设，则，，列方程可求得结论． 【详解】（1）解：过点作于点， 在中， ， ，，米，米， ∴， 两楼的间距符合规定； （2）解：延长，交于， 则，（米）， ， ， （米）， 设，则， ， ， 解得，即米， （米， 楼的高度为37.5米． 69．（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 【答案】约为71米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 【详解】解：从观察点A作，交于点E，依题意，可知（米），． ∵, ∴为等腰直角三角形． ∴（米）． 在中，，得 （米） ∴ （米）．   答：乙楼的高度约为71米． 题型十七 方位角问题（共3小题） 70．（24-25八年级上·上海·期中）如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 【答案】(1)小岛码头点到海岸线的距离约为 (2)点到点的距离约为 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据题意可得，，，然后由列式计算即可； （2）过C作于N，先求出，再解直角三角形求出，然后根据含直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：过A作于M， 由题意得：，，， ∴，， ∴， 解得：， 经经验，是原方程的解，且符合题意， 答：小岛码头点到海岸线的距离约为； （2）解：如图所示，过C作于N， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到点的距离约为． 71．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 72．（22-23九年级上·上海·期中）如图，一艘海岸巡逻快艇在基地A的正东方向，且距A地13海里的处巡逻．突然接到基地A命令，要该快艇前往岛，接送一名病人到基地A的医院救治．已知岛在基地A的南偏东的方向，且在处南偏东的方向，巡逻快艇从处出发，平均每小时行驶30海里，需要多少时间才能把病人送到基地A的医院？（参考数据：，） 【答案】小时 【分析】过点C作的延长线于点D，得出，，再由三角函数及勾股定理得出，确定，，结合图形求解得出，，，再由勾股定理计算出，，然后求时间即可． 【详解】解：如图所示，过点C作的延长线于点D， ∴，，， ∵，， ∴在中，， 设， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∵每小时行驶30海里 ∴需要的时间为：小时． 【点睛】题目主要考查解直角三角形的应用及勾股定理解三角形，理解题意，熟练运用三角函数是解题关键． 题型十八 坡度坡比问题（共3小题） 73．（24-25九年级上·上海闵行·期中）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 【答案】约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角问题，涉及到了对坡度概念的理解，解题关键是掌握相关概念，正确构造直角三角形利用三角函数值求解． （1）利用坡度的计算公式即可直接求解； （2）按如图所示构造直角三角形，利用三角函数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 如图，过D点作与平行，交于点G， , 四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴ ∴， 答：的高度约为． 74．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)高楼的高度为米 (2)点离地面的距离为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； （2）解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 75．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为． (1)求坡顶B到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，， 【答案】(1)坡顶B到地面的距离的长15米 (2)古塔的高度约为29米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题． （1）根据题意可得：，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 斜坡的坡度为， ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， 解得：， 米，米， 答：坡顶到地面的距离的长15米； （2）解：延长交于点， 由题意得：，米， 设米， 米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米）， ， ， 解得：， （米）， 答：古塔的高度约为29米． 题型十九 实物模型（共4小题） 76．（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，则______． 【答案】(1)13.7分米 (2)分米 【分析】（1）作于P，于Q，于K，于J，解直角三角形求出即可求出的长； （2）在（1）所作辅助线的基础上，借助三角函数解、、、，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作于P，于Q，于K，于J， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴（分米）， ∵，即， ∴， ∴（分米）， ∴（分米）； 即点A离地面的距离约为13.7分米； （2）∵， ∴， ∴在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 77．（24-25九年级上·上海·期中）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，，， ， ∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． ∴， ； （2）解：， ， ∴在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为． 78．（23-24九年级下·上海宝山·期中）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1），图2是它的侧面示意图，遮阳篷长米，与水平面的夹角为，靠墙端A离地高度米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角，夏至正午太阳光照入射角，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）参考数据：；；． 【答案】3.8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过C作于，于，在中，利用正弦函数的定义求得的长，在中，在中，再利用正切函数的定义求出，的长，即可求解． 【详解】解∶过C作于，于， 根据题意知， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 又， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 答：该区域深度的长为3.8米 79．（23-24九年级下·上海崇明·期中）某工程队购进几台新型挖掘机（如图1），该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：是基座（基座高度忽略不计），是主臂，是伸展臂，若主臂长为米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：，当主臂伸展角最小，伸展臂伸展角最大时，伸展臂恰好能接触水平地面（点C、Q、A、P在一直线上）．（参考数据：） (1)当挖掘机在A处时，能否挖到距A水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明） (2)该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？ 【答案】(1)能挖到距A水平正前方6米远的土石 (2)工程队原计划每天挖80米 【分析】本题主要考查解直角三角形和分式方程的应用， （1）过点B作于点D，可求得，，进一步求得，则，有，即可求得判断能否挖到； （2）设工程队原计划每天挖x米，则实际开工后每天挖米，列出分式方程求解即可． 【详解】（1）过点B作于点D，如图， 由题意可知：，，米， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故能挖到距A水平正前方6米远的土石； （2）设工程队原计划每天挖x米，则实际开工后每天挖米，则 ，解得，（舍去）， 经检验是原方程的解， 故工程队原计划每天挖80米． $专题02 锐角的三角比 题型1理解正弦/余弦/正切/余切的概念 题型11利用同角的三角函数关系求解 题型2角的正切值及其应用 题型12互余两角的三角函数关系（难点） 题型3角的余切值及其应用 题型13三角函数综合（难点） 题型4角的正弦值及其应用 题型14解直角三角形的相关计算（常考点） 题型5角的余弦值及其应用 题型15解非直角三角形（难点） 题型6特殊角三角函数值的混合运算（常考点） 题型16视角问题（常考点） 题型7由特殊角三角函数值判断三角形形状（重点） 题型17方位角问题 题型8由计算器求锐角三角函数值 题型18坡度坡比问题 题型9根据特殊角三角函数值求角的度数 题型19实物模型（难点） 题型10已知角度比较三角函数值大小（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 理解正弦/余弦/正切/余切的概念（共4小题） 1．（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 题型二 角的正切值及其应用（共5小题） 5．（2024九年级上·上海·专题练习）中，，，则的值（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正切值是(    ) A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 8．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）在中，，，那么长为（   ） A．3 B． C． D．5 9．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知锐角，如果，那么 ． 题型三 角的余切值及其应用（共4小题） 10．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在中，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知在中，，那么的值为 ． 13．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴夹角为，如果，那么的值是 ． 题型四 角的正弦值及其应用（共5小题） 14．（2025九年级上·上海·专题练习）已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（　　） A． B． C． D． 15．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）已知在中，，则的长为（   ） A．1 B．9 C． D． 16．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·上海徐汇·二模）如图，梯形中，，，，，那么的值是 ． 18．（2025·上海静安·一模）如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是 ． 题型五 角的余弦值及其应用（共5小题） 19．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四边形为菱形，对角线，交于点O，，垂足为E．若，，则为（　　） A． B． C． D． 20．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，分别为的高线和中线，，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·河北唐山·期末）的边长都扩大2倍，则的值（   ） A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断 22．（2025·陕西西安·二模）我国数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，则 ． 23．（2025·上海普陀·一模）如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为 ． 题型六 特殊角三角函数值的混合运算（共5小题） 24．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·上海松江·期中）计算： ． 26．（25-26九年级上·上海·阶段练习）计算：． 27．（24-25九年级下·上海·阶段练习）计算：． 28．（2025九年级下·上海·专题练习）先化简，再求值：，其中． 题型七 由特殊角三角函数值判断三角形形状（共3小题） 29．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 30．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 31．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型八 由计算器求锐角三角函数值（共4小题） 32．（2022九年级下·浙江·专题练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．（20-21九年级下·全国·课后作业）用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中： 锐角 … … … 随着锐角A的度数不断增大，有怎样的变化趋势？呢？呢？你能说明自己的结论吗？ 34．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知下列正弦值，用计算器求相应的锐角（精确到）： (1)0.3426． (2)0.8579． (3)0.2166． (4)0.8452． 35．（20-21九年级下·全国·课后作业）已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数： （1），； （2），； （3），． 题型九 根据特殊角三角函数值求角的度数（共3小题） 36．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知为锐角，，那么 度． 37．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知扇形，过点作，垂足为点，如果，那么扇形的面积为 ．（结果保留） 38．（23-24九年级上·北京·单元测试）已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 39．（2024九年级·全国·竞赛）如果直线和直线所夹的锐角为，那么的值为 ． 题型十 已知角度比较三角函数值大小（共4小题） 40．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 41．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）若，则的正切值h的范围是（   ） A． B． C． D． 42．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 43．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型十一 利用同角的的三角函数关系（共4小题） 44．（24-25九年级上·上海·期中）已知，如果，那么 ． 45．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 46．（23-24九年级上·河南周口·期末）计算：s ． 47．（22-23九年级下·福建福州·期中）（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    题型十二 互余两角的三角函数关系（共4小题） 48．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）对于锐角，已知，则 ． 49．（2024·上海·模拟预测） （选填“”或“”或“”）． 50．（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 51．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 题型十三 三角函数综合（共4小题） 52．（24-25九年级上·上海静安·期中）好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 题型十四 解直角三角形的相关计算（共7小题） 53．（21-22九年级上·上海静安·期中）在学习锐角的三角比时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角比具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：tan60°＝　 　，tan30°　 　． 发现结论：tanA　 　2tan∠A（填“＝”或“≠”）； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠BAC的值； 研究思路：小明想构造包含∠BAC的直角三角形；延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠BAC，即转化为求∠D的正切值，那么，tan∠BAC＝　 　． （3）在△ABC中，∠A为锐角，tanA＝，∠B＝2∠A，AB＝3．求S△ABC的值． 54．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 55．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 56．（2025·上海虹口·二模）如图，直线，直线分别与、相交于点、，与之间的距离为8，小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．那么的长是（    ） A．6 B．6.4 C．8 D．10 57．（2025·上海·二模）边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 58．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知在中，，正方形的顶点G、F分别在边上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为 ． 59．（2025·上海崇明·三模）如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为 ． 60．（24-25八年级下·上海·期末）已知：如图，的半径为5，弦的长等于8，，垂足为点，的延长线与相交于点，点在弦的延长线上，与相交于点，． (1)求的长； (2)求的长． 题型十五 解非直角三角形（共4小题） 61．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，点在直角边上，，，，求的余切值． 62．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 63．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 64．（2021·江苏无锡·二模）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是 ． 65．（18-19九年级上·云南昆明·期末）问题呈现： 如图 1，在边长为 1 小的正方形网格中，连接格点 A、B 和 C、D，AB 和 CD 相交于点 P，求 tan ∠CPB 的值方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，观察发现问题中∠ CPB不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 B、 E，可得 BE∥CD，则∠ABE=∠CPB，连接AE，那么∠CPB 就变换到 Rt△ABE 中．问题解决： （1）直接写出图 1 中 tan CPB 的值为______； （2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AB 与 CD 相交于点 P，求 cos CPB 的值． 题型十六 视角问题（共4小题） 66．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 67．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，小明身高（即）为米，通过地面上的一块平面镜（即点C），刚好能看到前方大树（即）的树梢，此时他测得俯角为，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角为，求树的高度．（结果保留整数米，，） 68．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 69．（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 题型十七 方位角问题（共3小题） 70．（24-25八年级上·上海·期中）如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 71．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 72．（22-23九年级上·上海·期中）如图，一艘海岸巡逻快艇在基地A的正东方向，且距A地13海里的处巡逻．突然接到基地A命令，要该快艇前往岛，接送一名病人到基地A的医院救治．已知岛在基地A的南偏东的方向，且在处南偏东的方向，巡逻快艇从处出发，平均每小时行驶30海里，需要多少时间才能把病人送到基地A的医院？（参考数据：，） 题型十八 坡度坡比问题（共3小题） 73．（24-25九年级上·上海闵行·期中）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 74．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 75．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为． (1)求坡顶B到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，， 题型十九 实物模型（共4小题） 76．（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，则______． 77．（24-25九年级上·上海·期中）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 78．（23-24九年级下·上海宝山·期中）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1），图2是它的侧面示意图，遮阳篷长米，与水平面的夹角为，靠墙端A离地高度米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角，夏至正午太阳光照入射角，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）参考数据：；；． 79．（23-24九年级下·上海崇明·期中）某工程队购进几台新型挖掘机（如图1），该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：是基座（基座高度忽略不计），是主臂，是伸展臂，若主臂长为米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：，当主臂伸展角最小，伸展臂伸展角最大时，伸展臂恰好能接触水平地面（点C、Q、A、P在一直线上）．（参考数据：） (1)当挖掘机在A处时，能否挖到距A水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明） (2)该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？ $