专题 第26章 二次函数 章末复习易错60题（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

第26章 二次函数 章未复习易错60题 一．选择题（共46小题） 1．（2021秋•虹口区月考）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】由二次函数的图象可得：，，，对称轴，则再结合图象判断各结论． 【解答】解：由图象可得：，，，对称轴， ①时，，正确； ②时，，正确； ③，正确； ④，错误，时，； ⑤时，，又，，，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，重点是从图象中找出重要信息． 2．（2024•浦东新区校级开学）已知时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，的值等于　　 A． B． C．1 D．2 【答案】 【分析】根据抛物线开口向上，抛物线开口向下，然后利用抛物线的对称轴或与轴的交点进行判断，从而得解． 【解答】解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为轴，所以， 解得， 与相矛盾； 第3个图，抛物线开口向上，， 经过坐标原点，， 解得，（舍去）， 对称轴， 所以，符合题意， 故， 第4个图，抛物线开口向下，， 经过坐标原点，， 解得（舍去），， 对称轴， 所以，不符合题意， 综上所述，的值等于1． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，的符号由抛物线开口方向确定，难点在于利用图象的对称轴、与轴的交点坐标判断出的正负情况，然后与题目已知条件比较． 3．（2022春•杨浦区校级月考）下列四个函数图象中，当时，随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 【分析】分别根据各函数图象的特点进行逐一分析即可． 【解答】解：、错误，此函数为减函数，随的增大而减小； 、错误，此函数为反比例函数，时，随的增大而减小； 、正确，此函数为二次函数，时，随的增大而增大； 、错误，此函数为二次函数，时，在对称轴的左侧随的增大而减小，在对称轴的右侧随的增大而增大． 故选：． 【点评】此类题可用数形结合的思想进行解答． 4．（2020秋•嘉定区期末）二次函数的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据顶点所处的位置确定、的符号． 【解答】解：二次函数 顶点为， 顶点在第四象限， ，， ，， 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 5．（2024•闵行区）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么、的大小关系为　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】根据二次函数的图象经过，，得，对称轴为直线，根据抛物线开口向下，得，，所以，即可得出答案． 【解答】解：二次函数的图象经过，， ，对称轴为直线， 抛物线开口向下， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数是解题的关键． 6．（2022秋•浦东新区期末）已知二次函数的图象如图所示，那么点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】由抛物线的开口向下知，由与轴的交点为在轴的正半轴上可以得到，由对称轴为可以推出的取值范围，然后根据象限的特点即可得出答案． 【解答】解：抛物线的开口向下， ， 与轴的交点为在轴的正半轴上， ， 对称轴为， 、异号， 即， 根据第二象限特点：，， 可知点在第二象限． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数系数符号的确定以及第二象限的特点，难度适中． 7．（2022秋•金山区校级期末）二次函数的图象如图所示，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次函数的图象逐一判断即可． 【解答】解：．由图可知： 抛物线开口向下， ， 故错误，不符合题意； 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， 故错误，不符合题意； 对称轴为直线， ， 即， 故正确，符合题意； ，， ， 故错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，从图象中获取信息并结合图象去分析是解题的关键． 8．（2008秋•普陀区期末）把抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是　　 A．沿轴向上平移1个单位 B．沿轴向下平移1个单位 C．沿轴向左平移1个单位 D．沿轴向右平移1个单位 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规律进行解答． 【解答】解：， 抛物线可由沿轴向右平移1个单位得出； 故选：． 【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 9．（2016秋•静安区期末）将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点的平移规律，易得点的坐标． 【解答】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线， 将点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为， 故选：． 【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 10．（2021秋•崇明区期末）已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论中正确的是　　 A． B．当时， C． D． 【答案】 【分析】根据二次函数的图象逐一判断即可． 【解答】解：．由图可知： 抛物线开口向下， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故不符合题意； ．设二次函数的图象与轴的另一个交点为， 抛物线的对称轴是直线：， ， ， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 当时，， 故不符合题意； ．抛物线的对称轴是直线：， ， ， 故不符合题意； ．由可得：二次函数的图象与轴的另一个交点为， 把代入中可得： ， 故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，从图象中获取信息并结合图象去分析是解题的关键． 11．（2024•杨浦区四模）如图，已知二次函数、、为常数，且的图象顶点为，经过点．以下结论正确的是　　 A． B．随的增大而增大 C． D．对于任意实数，总有 【答案】 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项分析判断即可． 【解答】解：、二次函数开口向下，；对称轴在轴右侧，得出，、异号，；与轴交点在轴正半轴，；因此，故错误； 、二次函数图象开口向下，对称轴左侧随的增大而增大，对称轴右侧随的增大而减小，错； 、由题可知对称轴，得；代入得；两式联立，解得，正确； 、由函数图象可知，当时，二次函数取得最大值，即对于任意实数，都有，因此对于任意实数，，即，错． 故选：． 【点评】本题考查根据二次函数图象和特殊的点，判断系数、、与0的关系、函数图象的增减性和最值问题，解题关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象与系数的关系，解题难点在于补全二次函数取最大值时系数之间的关系式． 12．（2022•长宁区二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【解答】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 13．（2022•上海模拟）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数和二次函数的性质即可判断． 【解答】解：当时，的图象是经过原点和一三象限的直线，开口向上，与轴交于负半轴，对称轴是轴， 当时，的图象是经过原点和二四象限的直线，开口向下，与轴交于负半轴，对称轴是轴， 故选：． 【点评】主要考查了正比例函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题． 14．（2024•尤溪县二模）已知点，，，都在二次函数，，为常数，且的图象上，若，则的取值范围是　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】 【分析】由题意得，，，，再根据，求出，然后分和两种情况讨论即可求解． 【解答】解：二次函数过点，，，， ，，，， ，即有， ， ， ， 当时，， ，解得：， 当时，， ，解得：， 综上可知：的取值范围是或， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 15．（2024•仁寿县模拟）对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥． 【解答】解：①由图象可知：，， 对称轴为直线：， ， ，故①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，则与的函数值相等， 当时，，故③错误； ④当时，， ，故④正确； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是①②④⑤⑥共5个， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 16．（2024•市南区三模）如图为二次函数．．则下列结论正确的有①②； ③为任意实数，则；④； ⑤若，且，则．　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①抛物线开口方向向上，则． 抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即． 抛物线与轴交于轴负半轴，则， 所以． 故①错误； ②抛物线对称轴为直线， ，即， 故②正确； ③抛物线对称轴为直线， 函数的最小值为：， 为任意实数时，，即， 故③正确； ④抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在的右侧， 当时，， ， 故④正确； ⑤， ， ， ， 而， ，即， ， ， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②③④⑤，共4个； 故选：． 【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 17．（2024•顺德区校级三模）如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】根据点的纵坐标是横坐标的2倍，和点在抛物线的第一象限的图象上，可以求得点的坐标． 【解答】解：设点的坐标为， 点在抛物线的第一象限的图象上， ， 解得：（不合题意，舍去），， ， 点的坐标为， ， 四边形是正方形， ． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是求出点的坐标． 18．（2024•立山区模拟）已知，、，为二次函数图象上两点，且，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用顶点式得到抛物线的对称轴为直线，由于抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大，于是可判断与的大小． 【解答】解：二次函数图象的对称轴为直线， 开口向下，而， ， 即． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是运用二次函数的性质比较与的大小． 19．（2024•姜堰区一模）已知二次函数为常数），如果当自变量分别取，，1时，所对应的值只有一个小于0，则的值可能是　　 A． B． C．0 D．2 【答案】 【分析】依据题意，根据题意得到，即，解得，把的值分别代入即可求得． 【解答】解：由题意得， ． ， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 的取值范围是且，． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要能熟练掌握并得到关于的不等式组是关键． 20．（2024•商南县三模）已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D． 【答案】 【分析】先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得的取值范围． 【解答】解：二次函数， 图象的开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 点关于对称轴的对称点为， 二次函数的图象经过点和，且， 或， 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21．（2024•武汉模拟）函数，为常数，且，的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】令，得出函数图象与轴的交点情况，再对时，函数图象所在位置进行判断即可解决问题． 【解答】解：令得， ， 因为， 所以， 解得． 因为，， 所以， 则函数图象与轴的正半轴有一个公共点， 所以、选项不符合题意． 当时， ， 所以此时函数的图象在第三象限， 所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象，能根据所给函数解析式对其图象进行正确的分析是解题的关键． 22．（2024•福田区校级二模）函数与在同一坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分与两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论． 【解答】解：①当时，二次函数的图象开口向上、对称轴为轴、顶点在轴负半轴，一次函数的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于轴同一点； ②当时，二次函数的图象开口向下、对称轴为轴、顶点在轴正半轴，一次函数的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于轴同一点． 对照四个选项可知正确． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键． 23．（2024•吉州区模拟）二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为　　 ①；②；③；④为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最大（小值，对称性进行判断即可． 【解答】解：抛物线开口向上， ， 对称轴， 、同号，而， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 因此①正确； 由于抛物线过点点， ， 又对称轴为，即， ， ， 即， 而， ， 因此②正确； 由图象可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，而对称轴为，由对称性可知， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， 因此③正确； 由二次函数的最小值可知， 当时，， 当时，， ， 即， 因此④不正确； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最值与系数、、的关系是正确判断的前提． 24．（2024•重庆模拟）二次函数的部分图象如图，则下列说法正确的有　　 ①；②；③；④当时，；⑤． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】解：由抛物线开口向下，即；对称轴，则，， ，选项①正确 对称轴， ， ，选项②正确； 当时，函数的值最大， ，选项③正确； 抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线另一个与轴的交点为， ，选项⑤正确； 图象与轴的交点和知时，，选项④错误； 故选：． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴的交点的确定是解题的关键． 25．（2024•镇巴县一模）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由二次函数的性质可确定出的范围． 【解答】解：， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， 在时，随的增大而减小， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于的不等式，并正确求解不等式是解题关键． 26．（2024•南山区二模）已知，，是抛物线上的点，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线， ， 时，函数值最大， 又到的距离比1到的距离小， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键． 27．（2024•合江县一模）在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是　　 A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】 【分析】分两种情况讨论：当时，，求出的取值范围；当时，求出直线的解析式，联立方程组，由判别式△和函数经过点结合求出的取值范围． 【解答】解：当时，时，时，， ， 解得， 当时， 设直线的解析式为， ， ， ， 联立方程组， ， △， ， ， 当时，， ，此时抛物线与线段有两个不同的交点， ， 综上所述：或时，抛物线与线段有两个不同的交点， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． 28．（2024•十堰模拟）二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③为任意实数时，； ④； ⑤若，且，则．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①抛物线开口方向向上，则． 抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即． 抛物线与轴交于轴负半轴，则， 所以． 故①错误； ②抛物线对称轴为直线， ，即， 故②正确； ③抛物线对称轴为直线， 函数的最小值为：， 为任意实数时，；即， 故③正确； ④抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在的右侧， 当时，， ， 故④正确； ⑤， ， ， ， 而， ，即， ， ， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②③④⑤． 故选：． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 29．（2024•陆丰市模拟）已知如图，在正方形中，点、的坐标分别是，，，点在抛物线的图象上，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】作轴于，于，通过证得，得到，，设，则，解得，从而求得，代入即可得出的值． 【解答】解：作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， 设， 点、的坐标分别是，，， ，解得， ， 在抛物线的图象上， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特点，得出点坐标是解题关键． 30．（2024•安阳模拟）如图，已知二次函数，，是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④为任意实数）；⑤．其中正确的是　　 A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】 【分析】根据所给函数图象可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性及增减性，利用数形结合的思想对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由函数图象可知， ，，， 所以． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即． 故②正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且时，函数值小于零， 所以时，函数值小于零， 则． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，， 即， 所以． 故④正确． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， 又因为， 所以． 故⑤正确． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键． 31．（2024•阎良区三模）将二次函数为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点，则的值为　　 A．0 B．1或 C．2或 D．3或 【答案】 【分析】先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可． 【解答】解：， 将二次函数为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到，即， 经过点， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数平移的性质． 32．（2024•迁安市二模）若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点代入即可求出，然后将四个选项中的坐标代入中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上． 【解答】解：点在抛物线上， ， 把代入得，故点不在抛物线上，故不合题意； 把代入得，故点在抛物线上，故合题意； 把代入得，故点不在抛物线上，故不合题意； 把代入得，故点在抛物线上，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 33．（2024•喀什地区一模）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【分析】根据图象上点的坐标特征以及二次函数的性质即可判断． 【解答】解：①由时，，由图象知：，故错误； ②抛物线过点， ， ，， ， ，故正确； ③抛物线交轴的正半轴， ， ， ，故正确； ④抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，故错误； 故正确的共有2个， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于基础题，关键是正确获取图象信息进行解题． 34．（2024•道里区校级一模）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论，正确的有　　 ①； ②； ③； ④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①根据抛物线的对称轴位于轴右侧知：、异号，则． 由抛物线与轴交于正半轴，则． 所以． 故该结论错误； ②由该抛物线的对称轴是直线知，，则． 故该结论正确； ③由该抛物线与轴有两个交点知：△． 故该结论正确； ④根据图示知：当时，，则． 故该结论正确； 综上所述，正确的结论有3个． 故选：． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 35．（2024•沂源县二模）如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：①，②，③，④当时，，其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：①抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，所以①正确，符合题意； ②时，， 即， ， ， ， ，所以②错误，不符合题意； ③当时，， 抛物线的顶点坐标为， 把代入得， ，所以③正确，符合题意； ④当时，， 即， ，所以④正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型． 36．（2024•嘉兴二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则的取值范围是　　 A． B．或 C． D．或 【答案】 【分析】依据题意，当直线与抛物线相切时符合题意，则，即，从而△，可得的值；又当抛物线过，且对称轴在轴右侧，则． 求出，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，又继续向左平移符合题意，故，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，当直线与抛物线相切时符合题意， ，即． △． ． 又当抛物线过，且对称轴在轴右侧， ． ，此时刚好在对称轴左侧有一个交点． 又继续向左平移符合题意， ． 综上，或． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 37．（2024•黄岩区一模）抛物线经过点和，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，由抛物线经过点和，从而可得①，②，又②①得，，即，故，最后即可判断得解． 【解答】解：由题意，抛物线经过点和， ①，②． ②①得，． ，即． ． ． ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 38．（2024•鹿城区校级模拟）已知点，在函数，为常数）的图象上，则下列判断正确的是　　 A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 【答案】 【分析】依据题意，由点，在函数，为常数）的图象上，从而，，进而根据和分别进行分析即可得解． 【解答】解：由题意，点，在函数，为常数）的图象上， ，． 当时， ①若， ． ． ． ． ，故错误，不合题意． ②若， ． ． 或． 的符号不确定． 故错误，不合题意． 当时， ①若， ． ． 或． 的符号不确定． 故错误，不合题意． ②若， ． ． ． ． ，故正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 39．（2024•浙江模拟）已知为实数，点在二次函数的图象上．若，，则　　 A． B． C．或 D． 【答案】 【分析】依据题意，由二次函数为，又，从而令，则，故或，又二次函数的图象开口向下，故当时，对应的点在函数的图象上的轴上方的部分，进而可以得解． 【解答】解：由题意，二次函数为， 又， 令，则． 或． 又二次函数的图象开口向下， 当时，对应的点在函数的图象上的轴上方的部分． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 40．（2024•绍兴一模）开口向下的抛物线经过点，则下列关系式可能成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，由抛物线经过点，从而，故，再分别代入，，，，最后由，逐个进行判断可以得解． 【解答】解：由题意，抛物线经过点， ． ． ，，，． ， ，故错误； ，故错误； ，故错误； ，不能确定，故可能成立． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 41．（2024•镇海区一模）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，，且，则．其中正确结论的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线为，故，再结合抛物线与轴交于负半轴，可得，进而可以判断①；又，从而可以判断②；又当时，，又，故，进而可以判断③；由抛物线的对称轴是直线，从而当时与当时函数值相等，进而可得当，则，故可以判断④． 【解答】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线为． ． 抛物线与轴交于负半轴， ． ，故①正确． 又， ，故②正确． 由题意，当时，． 又， ，故③正确． 抛物线的对称轴是直线， 当时与当时函数值相等． 当，则，故④错误． 综上，正确的有：①②③． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 42．（2024•江干区校级二模）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数，为常数，总有两个不同的倍值点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将代入二次函数，得，是关于的二次方程．若它总有两个不同的实根，必有△．是关于的一元二次方程，其图象开口向上，若它恒大于0，则与轴无交点，故有△，解此一元二次不等式即可． 【解答】解：将代入二次函数，得，整理得． 是关于的一元二次方程，总有两个不同的实根， △． 令 ， △， 即△，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一定要牢牢掌握并灵活运用． 43．（2023•西湖区校级二模）已知抛物线经过不同的两点，，下列说法正确的是　　 A．若时都有，则 B．若 时都有，则 C．若时都有，则 D．若时都有，则 【答案】 【分析】根据、两点的纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴为直线，再由对称轴公式即可求得答案； 【解答】解：抛物线经过，两点， 抛物线的对称轴为直线． 对于选项，若时， ． 又， 此时，随的增大而减小． 抛物线开口向上． ，故不符合题意． 对于选项，若 时， ． 此时关于对称轴对称的点为， 若， 或． 选项不符合题意． 若时， ． 又， 此时，随的增大而减小． 抛物线开口向上． ，故符合题意． 若时， ． 又， 此时，随的增大而增大． 抛物线开口向下． ，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时需要熟练掌握并灵活运用． 44．（2023•拱墅区校级模拟）已知点、、在下列某一函数图象上，且，那么这个函数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断，，之间的关系，再判断即可． 【解答】解：．，因为，所以随的增大而增大，所以，不符合题意； ．，当和时，相等，即，故不符合题意； ．，当时，随的增大而减小，时，随的增大而减小，所以，不符合题意； ．，当时，随的增大而增大，时，随的增大而增大，所以，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项中的函数解析中，再判断的大小． 45．（2022•鄞州区模拟）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确结论的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，能得到：，，，，，错误； ②对称轴是直线，与轴交点在左边 二次函数与轴的另一个交点在与之间， ，②错误； ③对称轴是直线，图象开口向下， 时，函数最大值是； 为任意实数，则，③错误； ④， 由②得， ，④正确； ⑤， ， ， ， ， ， ，， ，⑤正确； 故选：． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题关键． 46．（2023•临安区校级二模）已知点，，，为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】 【分析】通过函数解析式求出抛物线的对称轴，分类讨论及时各选项求解． 【解答】解：， 抛物线对称轴为直线， ，关于直线的对称点为，， 若，由，，可得， 当抛物线开口向上时，， 选项错误． 若，由，，可得， 当抛物线开口向下时，， 选项错误． 若，当时，则，，抛物线开口向上， ， 当时，则，，抛物线开口向下， ，选项正确． 若，当时，，，抛物线开口向下， ，选项错误． 解法二：作差法， ，， ， ， 当时，则， ， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解． 二．填空题（共9小题） 47．（2023秋•虹口区期末）已知抛物线如图所示，那么点在第 　二　象限． 【答案】二． 【分析】根据抛物线的定点和方向确定的符号，抛物线与轴的交点确定的符号，即可确定点所在的象限． 【解答】解：由抛物线的图象得，，， ， 在第二象限． 故答案为：二． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，能根据抛物线的定点和方向确定的符号是解决问题的关键． 48．（2023秋•嘉定区期末）如果函数是常数）是二次函数，那么的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】根据二次函数定义得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：函数是常数）是二次函数， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键． 49．（2022秋•静安区期末）定义：把二次函数与，、是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与、是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标 　，　． 【答案】，． 【分析】根据旋转函数的定义得到：，从而解得，． 【解答】解：根据题意得， 解得． 点的坐标为，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与几何变换，正确理解新定义是解题的关键． 50．（2022秋•静安区期末）抛物线与轴的交点坐标是 　　． 【答案】． 【分析】把代入函数解析式求解． 【解答】解：把代入得， 抛物线与轴交点坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，轴上点的横坐标为0是解题的关键． 51．（2022秋•长宁区期末）已知抛物线在轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】由抛物线在轴左侧的部分是上升的，可得抛物线开口向下，进而求解． 【解答】解：抛物线在轴左侧的部分是上升的， 抛物线开口向下， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 52．（2022秋•杨浦区校级期末）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点” ．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则　　． 【答案】． 【分析】将代入中得，即，将二次函数的图象上存在唯一“相反点”，转化为方程有两个相等的实数根，△，求解即可． 【解答】解：将代入中， 得，即， 二次函数的图象上存在唯一“相反点”， 方程有两个相等的实数根， △， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数、一元二次方程根的判别式，解题的关键是将函数问题转化为方程问题． 53．（2024•浦东新区校级三模）若二次函数的图象与一次函数的图象在的部分有交点，则实数的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】根据二次函数的图象性质即可求出答案． 【解答】解：令，整理得， 若二次函数的图象与一次函数的图象有交点， △， ， 由二次函数可知图象开口向上，对称轴为直线， 当时，；当时，， 把代入求得， 把代入求得， 二次函数的图象与一次函数的图象在的部分有交点， 抛物线与轴的交点在不在正半轴，且当时的函数值不大于9， 实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 54．（2021•崇明区二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边在轴上，且，如果抛物线向下平移4个单位后恰好能同时经过、、三点，那么　　． 【答案】． 【分析】根据等腰直角三角形的性质求得，，抛物线向下平移4个单位后得到，然后把、、的坐标代入，根据待定系数法即可求得、、的值，进而即可求得的值． 【解答】解：等腰直角三角形的斜边在轴上，且， ，， 抛物线向下平移4个单位后得到， 平移后恰好能同时经过、、三点， ， 解得， ， 故答案为． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键． 55．（2018•松江区二模）平面直角坐标系中，若抛物线上的两点、满足，且，则称线段为该抛物线的通径．那么抛物线的通径长为　2　． 【分析】根据题意可以设出点的坐标，从而可以求得通径的长． 【解答】解：设点的坐标为，点在轴的负半轴， 则， 解得，（舍去）或， 点的横坐标是，点的横坐标是1， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 三．解答题（共5小题） 56．（2024•奉贤区三模）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”． 已知：点在函数的图象上（如图所示），点的“关联点”是点． （1）请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； （2）如果点在函数的图象上，求点的坐标； （3）将点称为点的“待定关联点”（其中，．如果点的“待定关联点” 在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到， 解得，即可求得点的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点的坐标． 【解答】解：（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图： （2）由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； （3）点的“待定关联点”为， 在抛物线的图象上， ， ，．又，， 当时，， 故可得． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 57．（2022•宝山区模拟）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形，它的底边长20厘米．要截得的矩形的边在上，顶点、分别在边、上．设的长为厘米，矩形的面积为平方厘米，试写出关于的函数解析式及定义域，并求当的长为4厘米时所截得的矩形的面积． 【答案】关于的函数关系式是，定义域是，即当的长为4厘米时，所截得的矩形的面积为48平方厘米． 【分析】由题意得，矩形的面积等于相邻两边之积，根据图中几何关系把边用表示出来，再由矩形在等腰直角三角形内，求出定义域，最后把的长为4厘米，代入函数关系式，求得矩形面积． 【解答】解：是等腰直角三角形，四边形是矩形， 和都是等腰直角三角形， ，， ， 矩形的面积 ， 由， 解得， 关于的函数关系式是， 定义域是， 当时，， 即当的长为4厘米时，所截得的矩形的面积为48平方厘米． 【点评】此题考查等腰直角三角形和矩形的性质，在等腰直角三角形和矩形中解题，要注意几何关系． 58．（2021•松江区二模）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点．将点向右平移5个单位长度，得到点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线的顶点在的内部，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）由与、轴分别交于点、，可求出、坐标，向右移动5个单位即得坐标； （2）将坐标代入可得，根据对称轴公式可得答案； （3）对称轴与交于，与交于，抛物线的顶点在的内部，则顶点在和之间，用表示顶点纵坐标列不等式可得答案． 【解答】解：（1）在中，令得，令得， ，， 点向右平移5个单位长度，得到点． ； （2），抛物线经过点， ，即， 抛物线对称轴为； （3）对称轴与交于，与交于，如图： 设解析式为， ， ， ， 解析式为， 令得，即， 由（1）知， 抛物线为， 顶点坐标为， 抛物线的顶点在的内部，则顶点在和之间， 而， ， ． 【点评】本题考查点的平移、二次函数图象等知识，表示顶点坐标列不等式是解题的关键． 59．（2024•东阳市二模）已知二次函数，是常数，． （1）当二次函数的图象过点时，求该抛物线的对称轴． （2）若，点，在该二次函数图象上，求证：． 【答案】（1）直线；（2）证明见解析； 【分析】（1）依据题意，由二次函数的图象过点，从而，进而可得，故可得解； （2）依据题意，由点，在该二次函数图象上，从而可得，又，从而，进而可得，最后可以判断得解． 【解答】（1）解：由题意，二次函数的图象过点， ． ． ． 抛物线的对称轴是直线． （2）证明：由题意，点，在该二次函数图象上， ①． 又， ②． ①②得，． ． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 60．（2021•西湖区校级二模）已知二次函数． （1）若二次函数图象的对称轴为直线，求的值； （2）当时，随的增大而减小，求的取值范围； （3）已知，，若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）且，． 【分析】（1）直接根据二次函数对称轴的概念可得答案； （2）根据二次函数的性质可得问题的答案； （3）根据根的判别式可得答案． 【解答】解：（1）由题意得，， 解得； （2）由题意得，时，随的增大而减小， 二次函数开口向下，且对称轴位于 的左侧或对称轴为直线， ，， 解得； （3）当△时，二次函数与只有一个交点， ，， ①△， ． ②当时，；当时，， 且 综上，且，． 【点评】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质及判别式是解决此题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26章 二次函数 章未复习易错60题 一．选择题（共46小题） 1．（2021秋•虹口区月考）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024•浦东新区校级开学）已知时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，的值等于　　 A． B． C．1 D．2 3．（2022春•杨浦区校级月考）下列四个函数图象中，当时，随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 4．（2020秋•嘉定区期末）二次函数的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 5．（2024•闵行区）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么、的大小关系为　　 A． B． C． D．无法确定 6．（2022秋•浦东新区期末）已知二次函数的图象如图所示，那么点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2022秋•金山区校级期末）二次函数的图象如图所示，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2008秋•普陀区期末）把抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是　　 A．沿轴向上平移1个单位 B．沿轴向下平移1个单位 C．沿轴向左平移1个单位 D．沿轴向右平移1个单位 9．（2016秋•静安区期末）将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为　　 A． B． C． D． 10．（2021秋•崇明区期末）已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论中正确的是　　 A． B．当时， C． D． 11．（2024•杨浦区四模）如图，已知二次函数、、为常数，且的图象顶点为，经过点．以下结论正确的是　　 A． B．随的增大而增大 C． D．对于任意实数，总有 12．（2022•长宁区二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 13．（2022•上海模拟）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是　　 A． B． C． D． 14．（2024•尤溪县二模）已知点，，，都在二次函数，，为常数，且的图象上，若，则的取值范围是　　 A．或 B．或 C．或 D．或 15．（2024•仁寿县模拟）对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 16．（2024•市南区三模）如图为二次函数．．则下列结论正确的有①②； ③为任意实数，则；④； ⑤若，且，则．　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．（2024•顺德区校级三模）如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为　　 A．2 B． C． D． 18．（2024•立山区模拟）已知，、，为二次函数图象上两点，且，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 19．（2024•姜堰区一模）已知二次函数为常数），如果当自变量分别取，，1时，所对应的值只有一个小于0，则的值可能是　　 A． B． C．0 D．2 20．（2024•商南县三模）已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D． 21．（2024•武汉模拟）函数，为常数，且，的大致图象是　　 A． B． C． D． 22．（2024•福田区校级二模）函数与在同一坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 23．（2024•吉州区模拟）二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为　　 ①；②；③；④为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（2024•重庆模拟）二次函数的部分图象如图，则下列说法正确的有　　 ①；②；③；④当时，；⑤． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 25．（2024•镇巴县一模）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 26．（2024•南山区二模）已知，，是抛物线上的点，则　　 A． B． C． D． 27．（2024•合江县一模）在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是　　 A．或 B．或 C．且 D．或 28．（2024•十堰模拟）二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③为任意实数时，； ④； ⑤若，且，则．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（2024•陆丰市模拟）已知如图，在正方形中，点、的坐标分别是，，，点在抛物线的图象上，则的值是　　 A． B． C． D． 30．（2024•安阳模拟）如图，已知二次函数，，是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④为任意实数）；⑤．其中正确的是　　 A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 31．（2024•阎良区三模）将二次函数为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点，则的值为　　 A．0 B．1或 C．2或 D．3或 32．（2024•迁安市二模）若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是　　 A． B． C． D． 33．（2024•喀什地区一模）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 34．（2024•道里区校级一模）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论，正确的有　　 ①； ②； ③； ④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 35．（2024•沂源县二模）如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：①，②，③，④当时，，其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 36．（2024•嘉兴二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则的取值范围是　　 A． B．或 C． D．或 37．（2024•黄岩区一模）抛物线经过点和，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 38．（2024•鹿城区校级模拟）已知点，在函数，为常数）的图象上，则下列判断正确的是　　 A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 39．（2024•浙江模拟）已知为实数，点在二次函数的图象上．若，，则　　 A． B． C．或 D． 40．（2024•绍兴一模）开口向下的抛物线经过点，则下列关系式可能成立的是　　 A． B． C． D． 41．（2024•镇海区一模）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，，且，则．其中正确结论的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．（2024•江干区校级二模）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数，为常数，总有两个不同的倍值点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 43．（2023•西湖区校级二模）已知抛物线经过不同的两点，，下列说法正确的是　　 A．若时都有，则 B．若 时都有，则 C．若时都有，则 D．若时都有，则 44．（2023•拱墅区校级模拟）已知点、、在下列某一函数图象上，且，那么这个函数是　　 A． B． C． D． 45．（2022•鄞州区模拟）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确结论的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．（2023•临安区校级二模）已知点，，，为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二．填空题（共9小题） 47．（2023秋•虹口区期末）已知抛物线如图所示，那么点在第 　　象限． 48．（2023秋•嘉定区期末）如果函数是常数）是二次函数，那么的取值范围是 　　． 49．（2022秋•静安区期末）定义：把二次函数与，、是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与、是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标 　　． 50．（2022秋•静安区期末）抛物线与轴的交点坐标是 　　． 51．（2022秋•长宁区期末）已知抛物线在轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 　　． 52．（2022秋•杨浦区校级期末）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点” ．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则　　． 53．（2024•浦东新区校级三模）若二次函数的图象与一次函数的图象在的部分有交点，则实数的取值范围是 　　． 54．（2021•崇明区二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边在轴上，且，如果抛物线向下平移4个单位后恰好能同时经过、、三点，那么　　． 55．（2018•松江区二模）平面直角坐标系中，若抛物线上的两点、满足，且，则称线段为该抛物线的通径．那么抛物线的通径长为　 　． 三．解答题（共5小题） 56．（2024•奉贤区三模）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”． 已知：点在函数的图象上（如图所示），点的“关联点”是点． （1）请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； （2）如果点在函数的图象上，求点的坐标； （3）将点称为点的“待定关联点”（其中，．如果点的“待定关联点” 在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 57．（2022•宝山区模拟）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形，它的底边长20厘米．要截得的矩形的边在上，顶点、分别在边、上．设的长为厘米，矩形的面积为平方厘米，试写出关于的函数解析式及定义域，并求当的长为4厘米时所截得的矩形的面积． 58．（2021•松江区二模）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点．将点向右平移5个单位长度，得到点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线的顶点在的内部，求的取值范围． 59．（2024•东阳市二模）已知二次函数，是常数，． （1）当二次函数的图象过点时，求该抛物线的对称轴． （2）若，点，在该二次函数图象上，求证：． 60．（2021•西湖区校级二模）已知二次函数． （1）若二次函数图象的对称轴为直线，求的值； （2）当时，随的增大而减小，求的取值范围； （3）已知，，若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$