专题25 嵌套函数的零点问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题25 嵌套函数的零点问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 题型一、内外自复合型 1 题型二、内外双函数复合型 2 题型三、二次型因式分解型 3 压轴能力测评（9题） 4 一、嵌套函数的零点问题 对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 【题型一、内外自复合型】 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·江苏·专题练习）已知，则方程实数根的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 5．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知，若只有5个不同的实根，则实数a的取值范围是 . 6．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设，函数，当时，函数有 个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 【题型二、内外双函数复合型】 一、单选题 1．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 3．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·上海·期末）已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 二、多选题 5．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）若和都是R上的函数，且有实数解，则可能是（   ） A． B． C． D． 【题型三、二次型因式分解型】 一、单选题 1．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知函数则方程的实数个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（24-25高三上·广东广州·开学考试）已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数m取值范围值是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·江西宜春·开学考试）函数，若关于的方程有个不同的根，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·河南·模拟预测）已知函数关于的方程，下列命题正确的是（    ） A．若，则方程恰有4个不同的解 B．若，则方程恰有5个不同的解 C．若方程恰有2个不同的解，则或 D．若方程恰有3个不同的解，则 5．（2024·陕西·一模）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为-1，则下列说法正确的是（    ） A．的所有零点之和是6 B． C． D． 三、填空题 6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，则函数的零点个数是 . 7．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为 . 8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数若方程有且仅有5个不相等的整数解，则方程所有整数解之和等于 . 一、单选题 1．（23-24高一上·广东湛江·期中）设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知函数，函数与函数的图象有5个不同的交点，则正实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·三模）设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知，若函数有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数若恰有三个不同实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是 . 9．（24-25高二上·湖南邵阳·开学考试）已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题25 嵌套函数的零点问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 题型一、内外自复合型 1 题型二、内外双函数复合型 7 题型三、二次型因式分解型 12 压轴能力测评（9题） 18 一、嵌套函数的零点问题 对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 【题型一、内外自复合型】 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法设，则方程等价为，根据指数函数和对数函数图象和性质求出，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令，则． ①当时，若；若，由，得． 所以由可得或． 如图所示，满足的有无数个，方程只有一个解，不满足题意； ②当时，若，则；若，由，得． 所以由可得，当时，由，可得， 因为关于的方程有且仅有两个实数根，则方程在]上有且仅有一个实数根， 若且，故； 若且，不满足题意． 综上所述，实数的取值范围是， 故选：C． 2．（2024高一上·江苏·专题练习）已知，则方程实数根的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由方程先求出或或，再解方程即可． 【详解】解：①当时， ， 解得，， 或， 或， 故或； ②若，则， 或， 或， 若，则或， 则或或； 若，则或， 则（舍去）或或， 综上所述，方程实数根的个数是7， 故选：C． 3．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出函数图象，有两根和，则方程及满足有个根即可求参. 【详解】观察各选项可得， 作出的图象，如图所示：   ， 令，先解，知其有两根和， 则方程提供个根，故方程提供个不等实根， 故，即，解得. 故选：D. 二、填空题 4．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 【答案】 【分析】根据复合函数与分段函数的性质化简方程，分别解方程即可. 【详解】因为函数 所以等价于或, 求解可得，， 即或或或， 求解可得，， 故答案为：. 5．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知，若只有5个不同的实根，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，本题转化为中x的解的个数为5，作出函数图象，根据嵌套函数的性质一一分析即可. 【详解】令，本题转化为中x的解的个数为5. ，当时，令，解得或， ，当时，令，解得， 则作出的图象,如下图所示，    当时，有两个根，，，则有1个实数根， 当时，有3个根，时有两个根， 故共有3个或4个根，故舍去； 当时，此时有3个根，，，， 有1个根，有1个根， 时，有1个根，不合题意； 时，有2个根，不合题意； 时，有3个根， 此时满足题意共5个根的情况，而，则； 当时，有两个根，，， 有1个根，有1个根，共有两个根，不合题意舍去； 当时，有1个根，，此时共1个根，舍去. 综上所述：实数a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择． 6．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设，函数，当时，函数有 个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】根据方程的根，结合复合函数，即可求根求解空1，令，先考虑时，函数在,上有2个零点，再考虑，分与两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案． 【详解】当时，，令，解得， 令，则，故或，此时有2个零点， 设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在,上有2个零点， 时，若，，对称轴为， 函数的大致图象如下： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得， 显然令在上存在唯一负解， 要使恰有3个零点， 只需在上除或外不能再有其他解， 即不能再有除或外的其他解， 故，即，解得，所以． 故答案为：2， 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【题型二、内外双函数复合型】 一、单选题 1．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据，列出关于的方程，进而求得的值，得到的解析式，再用零点存在定理判断即可. 【详解】因为函数在上是单调函数，， 设，所以， 所以， 因为与在上单调递增，所以有唯一解，解得， 所以， 又，， 故的零点所在的区间为. 故选：B. 2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【详解】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 3．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对值进行讨论，可得到只有有五个根，再根据最小值大于取值可求得. 【详解】①当时，， 若有或， 有或，得或或1； 只有三个根，所以不符合. ②当时，若，有， 若函数有三个零点必有或， 有或，得或或1； 只有三个根，也不符合. ③当时，若必有或或 可得或或， 函数有三个零点，分别为或或， 至少一根， 至少一个根，又因有五个根 所以有一个根，有一个根， 又因， 令 由函数的草图有，解得． 综上知实数的取值范围为． 故选：C 【点睛】 4．（22-23高一上·上海·期末）已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【详解】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 二、多选题 5．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）若和都是R上的函数，且有实数解，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】这是一个抽象函数与方程的问题，如何化抽象为具体，则需要根据题意转换变量，即可得到方程至少有一解，从而检验四种可能，通过是否有解来作出判断. 【详解】设有实数解，则， 因为和都是R上的函数， 所以有，再令， 则有，从而可知至少有一个解是， 对于A，由，此方程有解，故A正确； 对于B，由，此方程无解，故B错误； 对于C，由，此方程有解，故C正确； 对于D，由，此方程有解，故D正确； 故选：ACD. 【题型三、二次型因式分解型】 一、单选题 1．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知函数则方程的实数个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】作出函数的部分图象，利用整体法求出或，再根据图象观察交点个数即可. 【详解】函数的部分图象如图所示. 由方程，解得或. 当时，有5个实根，当时，有6个实根， 故方程的实根个数为11. 故选：C. 2．（24-25高三上·广东广州·开学考试）已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数m取值范围值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解二次方程，即可求得的结果，根据的图像，数形结合，即可容易求得参数的范围，属中档题. 【详解】由， 得或，作出的图象，如图所示， 由图可知，要使方程有3个不同的实根， 当，即时，，符合题意， 当，即时，，符合题意， 所以所求范围是. 故选：C. 3．（22-23高一下·江西宜春·开学考试）函数，若关于的方程有个不同的根，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求得的两根，再结合函数的图象，数形结合即可求得的范围. 【详解】令， 则由得， 解得，或， 要使方程有个不同的根， 则，与的图象有四个交点， 由图象可得则的取值范围. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：数形结合是解题的关键点. 二、多选题 4．（2024·河南·模拟预测）已知函数关于的方程，下列命题正确的是（    ） A．若，则方程恰有4个不同的解 B．若，则方程恰有5个不同的解 C．若方程恰有2个不同的解，则或 D．若方程恰有3个不同的解，则 【答案】BC 【分析】由得或，画出的图象，数形结合即可求解在不同条件下的取值范围. 【详解】因为， 所以，所以或， 的图象如图所示，由图可知与有两个交点.    对于A，若且，则方程恰有2个不同的解，故A错误； 对于B，若，则与有3个不同的交点，此时方程恰有5个不同的解，故B正确； 对于C，若方程恰有2个不同的解， 当与没有交点时满足题意，此时； 当时，方程恰有2个不同的解，此时， 故若方程恰有2个不同的解，则或，故C正确； 对于D，若方程恰有3个不同的解，则，则与有1个交点，此时或，故D错误. 故选：BC. 5．（2024·陕西·一模）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为-1，则下列说法正确的是（    ） A．的所有零点之和是6 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故A正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，，所以B正确，C､D错误. 故选：AB. 三、填空题 6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，则函数的零点个数是 . 【答案】6 【分析】先由函数的零点转化为方程和2的根，再利用数形结合求出零点个数即可； 【详解】令，即， 解得或2， 画出图象，如下： 由图可知，实线和虚线共有6个交点，所以函数的零点个数是6. 故答案为：6. 7．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，可得或，函数有三个零点，则需方程有两个解，则与的图象有两个交点，数形结合可求解. 【详解】令，可得， 所以，所以或， 由，又，可得，解得或， 方程无解，方程有一解，故有一解， 要使函数有三个零点， 则有两解，即与的图象有两个交点， 作出函数的图象的示图如下： 由图象可得，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数若方程有且仅有5个不相等的整数解，则方程所有整数解之和等于 . 【答案】 【分析】令，得到从而得到此方程要有两个不等根，再结合图象求解和即可. 【详解】先作出的大致图象，如图， 令，则，根据的图象可知： 要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数 相切时符合题意.因为，当且仅当时取得等号，又， 易知其定义域内单调递减，即， 此时有两个整数根或， 而要满足有三个整数根， 结合的图象知必有一根小于2，显然只有符合题意， 当时，有， 则，解方程，得的另一个正根为. 又，此时五个整数根依次是， 显然根和为. 故答案为： 一、单选题 1．（23-24高一上·广东湛江·期中）设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，由题意可得或，的图象与直线共有三个不同的交点，从而可求出实数t的取值范围. 【详解】由得或，作出函数的图象， 易知当时，不符合题意； 当时，，结合函数的图象知，要使方程有三个不同的解，需满足方程有两个解，方程有且只有一个解， 由图象知，所以． 故选：C． 2．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知函数，函数与函数的图象有5个不同的交点，则正实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，数形结合求得参数的范围. 【详解】作出的图象如图所示， 函数与函数的图象有5个不同的交点，即有5个不同零点， 令，则，又， 当时，有唯一的，即仅有一个零点，不合题意； 当时，有三个零点，，，相应的只有3个零点，不合题意； 当时， 有三个零点，，， 所以有1个零点，有1个零点，则有3个零点， 又，，则，解得， 又，. 综上，正实数的取值范围是. 故选：A. 3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，对化简得，即，画出图象，结合图象即可得到答案. 【详解】关于的方程可化简为， 即有7个不同的根，画出的图象，      观察可以看出当有4个不同的根， 故只需有3个不同的根即可，所以. 故选：A. 4．（2024·安徽合肥·三模）设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可确定当时，函数的零点个数，继而作出的大致图像，考虑时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决. 【详解】设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在上有2个零点； 时，若，对称轴为，函数的大致图象如图： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得（舍去）， 显然在上存在唯一负解， 所以要使恰有5个零点， 需，即，解得， 所以． 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法: 直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法: 先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决; （3）数形结合法: 先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 5．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知，若函数有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先画出函数的图象，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可． 【详解】函数的图象如下图所示： 令，若函数有三个零点， ①方程有一根在上，一根在上， 则，即，解得， ②方程有一根在上，一根等于-1， 则，此时无解， 综上：， 故选：A. 6．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数若恰有三个不同实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于嵌套函数的零点问题，一般需要用换元法，再结合函数图象进行讨论. 【详解】令，则， ①当时，的图象如图所示    若恰有三个不同实根，则一定要有两个不同的根， 所以，设的两根为且则一定有 所以 解得 当时，如图所示， 若恰有三个不同实根， 则必须有，即 解得    ②当时，或时，只有一个根， 此时不能有三个不同实根. ③当时，， 、的图象如图所示，    若有三个不同的实根 则，即，此不等式无解 综上所述： 故选：D. 7．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象按、、分类讨论，利用函数图象的交点个数去判断方程根的个数，进而求得实数的取值范围. 【详解】令，的对称轴为， 则实根的个数即为函数与函数图象交点个数， 如下图， 当时， 函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1， 即，函数与函数有2个交点， 且2个交点关于对称， 则方程有两根，且两根和为2，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点，， 时，可得，或， 时，，可得，，， 即函数与函数的图象有5个交点， 则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点， 即函数与函数的图象有2个交点，分别为， 即，或，， 当时，函数与函数无交点，不符合题意； 当时，函数与函数有4个交点，且关于对称， 所以4个交点横坐标之和为4， 则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作出函数的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 二、填空题 8．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意,作出函数的图象,进而数形结合,将问题转化为方程有两个不相等的实数根,再结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】根据题意,作出函数的图象,如图: 令，因为方程有6个相异的实数根, 所以方程有两个不等的实根， 所以, 解得或, 不妨设这两根, 则或, 当时，，且，所以无解； 当时， 令, 只需,即,解得, 终上所述：. 故答案为:. 9．（24-25高二上·湖南邵阳·开学考试）已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，由题意，由图得或，即或，从而转化为与及的交点个数问题，从而依次讨论即可求解. 【详解】如图，作出函数的图象， 令，即， 由图可知，或， 则或， 当，函数无解； 当或，函数只有一个解； 当或，函数有两个解； 当，函数有三个解； 当恰有3个零点时， 或或 或或或 或或或或， 解得. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$