专题24 函数的零点（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题24 函数的零点 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、零点存在定理 3 题型二、零点的个数 3 题型三、比较零点的大小关系 4 题型四、零点的和 5 题型五、与零点相关的参数问题 5 压轴能力测评（13题） 6 一、函数的零点与方程的根 1、定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 2、注意事项： （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 3、方程、函数、图象之间的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 二、零点存在定理及其推论 1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且， 那么，函数在区间内至少有一个零点， 即存在，使得，这个也就是方程的解。 【注意】（1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的. 2、重要推论： （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，， 且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 三、零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 四、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 五、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 【题型一 零点存在定理】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：则下列结论正确的是（    ） 1 2 3 4 5 6 10 8 2 A．在内恰有3个零点 B．在内至少有3个零点 C．在内最多有3个零点 D．在内不可能有4个零点 3．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知函数的零点在区间内，，则的值为（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 4．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列区间内存在方程的根的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知是函数与的交点的横坐标，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 零点的个数】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 3．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高一上·陕西西安·期末）关于函数的零点，下列选项说法正确的是（    ） A．是的一个零点 B．在区间内存在零点 C．只有2个零点 D．的零点个数与的解的个数不相等 5．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知为定义在上的奇函数，当时，，则方程实数根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型三 比较零点的大小关系】 一、单选题 1．（22-23高一上·福建泉州·阶段练习）设正实数分别满足，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知均大于1，满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型四 零点的和】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东·阶段练习）若，分别是方程，的根，则（    ） A． B．2023 C． D．4046 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023高一·江苏·专题练习）设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（ ） A． B． C．10 D．9 【题型五 与零点相关的参数问题】 一、单选题 1．（22-23高三上·辽宁辽阳·阶段练习）若函数有零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若函数恰有两个零点,则实数的取值不可能为（    ） A．0 B． C．2 D．3 4．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数的零点为，的零点为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数.若方程有三个不等的实数解且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）记为不超过x的最大整数，如，，则函数的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）若函数存在两个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知a，b，c，d都是常数，，，若的零点为c，d，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）已知函数，下列有关方程的实数解个数说法正确的是（    ） A．当实数解的个数为1时， B．当实数解的个数为2时， C．当实数解的个数为3时， D．当实数解的个数为3时， 7．（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（23-24高一上·上海·期末）方程的根，，则 ． 9．（2024高三·北京·专题练习）已知函数．若关于x的方程有解，则a的取值范围为 ． 10．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 . 11．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）．设分别为的零点，则 ． 12．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数有两个零点，则的取值范围为 ． 13．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，，则当时，函数所有零点组成的集合是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24 函数的零点 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、零点存在定理 3 题型二、零点的个数 5 题型三、比较零点的大小关系 8 题型四、零点的和 11 题型五、与零点相关的参数问题 15 压轴能力测评（13题） 19 一、函数的零点与方程的根 1、定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 2、注意事项： （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 3、方程、函数、图象之间的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 二、零点存在定理及其推论 1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且， 那么，函数在区间内至少有一个零点， 即存在，使得，这个也就是方程的解。 【注意】（1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的. 2、重要推论： （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，， 且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 三、零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 四、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 五、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 【题型一 零点存在定理】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理分析判断即可. 【详解】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 2．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：则下列结论正确的是（    ） 1 2 3 4 5 6 10 8 2 A．在内恰有3个零点 B．在内至少有3个零点 C．在内最多有3个零点 D．在内不可能有4个零点 【答案】B 【分析】根据零点存在定理，判断函数零点个数即可． 【详解】依题意，， 根据根的存在性定理可知，在区间和及内至少含有一个零点， 故函数在区间上的零点至少有3个， 故选：B． 3．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知函数的零点在区间内，，则的值为（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得在上单调递增，且，即可得到结果. 【详解】因为函数定义域为，且在上单调递增， 且，，即， 由零点存在定理可得，的零点区间为，所以. 故选：B 4．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列区间内存在方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的零点个数与方程的实根个数的关系，利用零点存在定理结合图形判断即得. 【详解】令，显然函数在R上连续，因， 故 在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根．    如图，作出函数和的图象，由图可知和有两个交点， 因，，即， 所以在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根， 由选项可知只有C项符合题意. 故选：C. 5．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知是函数与的交点的横坐标，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A：构建函数，根据单调性和零点存在性定理判断A；根据化简整理即可；对于C：由题意可知，即可得；对于选项D：分析可知，即可得结果. 【详解】对于选项A：令，可知即为的零点 因为，均为定义在上单调增函数，故为定义在上单调增函数， 因为，， 所以函数存在唯一零点，故A正确； 对于选项B：因为，即， 两边取对数可得，故B正确； 对于选项C：因为，则， 可得，所以，故C错误； 对于选项D：因为，则， 可得，所以，故D正确. 故选：C. 【题型二 零点的个数】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】按分段讨论，结合函数单调性、零点存在性定理及数形结合求解即得. 【详解】函数的定义域为， 当时，，显然函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，而， 则函数在上有唯一零点； 当时，，显然， 因此函数在区间上至少各有一个零点， 当时，由，得， 则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解， 所以函数的零点个数为3. 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 【答案】A 【分析】将方程根的个数转化为函数交点的个数问题，数形结合作出函数图象计算即可. 【详解】方程的解的个数， 等价于函数和函数的图象的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示． 数形结合可得，函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2． 故选：A 3．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分两种情况，解方程即可得解. 【详解】当时，由可得， 所以， 所以，故， 当时，由可得，故， 则的零点有，，3，共计3个. 故选：C． 4．（23-24高一上·陕西西安·期末）关于函数的零点，下列选项说法正确的是（    ） A．是的一个零点 B．在区间内存在零点 C．只有2个零点 D．的零点个数与的解的个数不相等 【答案】B 【分析】由零点的定义及函数交点法，零点存在性判定判断各项正误. 【详解】A：由函数零点是一个数值，而不是一个点，错； B：令，可得，即交点横坐标为零点， 而在R上都递增，且，， 所以在区间内存在零点，对； C：在上，，， 结合B分析， 则区间上存在一个零点，且也是一个零点，综上至少有3个零点，错； D：由B分析知：的零点个数与的解的个数相等，错； 故选：B 5．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知为定义在上的奇函数，当时，，则方程实数根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义求出的解析式，进而解方程即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以， 当时，，， 当时，，， 综上， 当时，令无解；当时，令解得； 当时，令无解；当时，令解得； 当时，令，解得， 综上实数根的个数为个， 故选：C 【题型三 比较零点的大小关系】 一、单选题 1．（22-23高一上·福建泉州·阶段练习）设正实数分别满足，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出的图像，利用图像和图像交点的横坐标比较大小即可. 【详解】由已知可得，，， 作出的图像如图所示： 它们与交点的横坐标分别为， 由图像可得， 故选：B 2．（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【详解】因为函数，，，都是增函数， 所以函数，，均为增函数， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 综上，． 故选：B． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论. 【详解】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标． 在同一坐标系内作出函数，，，的图象， 如图所示，由图可得．      故选：A. 4．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知均大于1，满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图象，结合图象交点坐标即可得. 【详解】由， 画出函数与、、， 则为与交点横坐标， 则为与交点横坐标， 则为与交点横坐标， 根据图象可知. 故选：B． 5．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系. 【详解】构造函数，， 所以，， 因为均为上增函数，则函数，为增函数. 函数，与函数的图象，如下图所示： 由图可知，. 又，， 所以. 综上，. 故选：C 【题型四 零点的和】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东·阶段练习）若，分别是方程，的根，则（    ） A． B．2023 C． D．4046 【答案】A 【分析】由于的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出的值. 【详解】 由题意可得是函数的图像与直线交点的横坐标，是函数图像与直线交点的横坐标， 因为的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称， 所以线段的中点就是直线与的交点， 由，得，即线段的中点为， 所以. 故选：A 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和. 【详解】由题知 是奇函数,则有： ,  关于对称， 且 , 时， , 恒过，且 关于对称， 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和， 根据 对称性及解析式画出图象如下： 由图像可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1, 另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5. 故选：C. 3．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，的零点为函数与交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果. 【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递减，所以在上递减， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称， 所以关于直线对称，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是利用与的图象关于直线对称和与的图象关于直线对称进行求解，考查数学转化思想，属于较难题. 4．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案. 【详解】画出的图象，如下，    设，则， 令，解得或0， 因为的对称轴为，由对称性可得， 且， 其中， 因为，所以， 故， 又，故， . 故选：A 5．（2023高一·江苏·专题练习）设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（ ） A． B． C．10 D．9 【答案】D 【分析】画出函数图像，确定方程的根之间的联系，然后结合基本不等式求解即可. 【详解】如图，作出函数的大致图象，如图所示：    关于 x的方程有四个实根 则，，则，其中， 所以， 则，当且仅当，时取等号， 所以的最小值是 故选：D 【题型五 与零点相关的参数问题】 一、单选题 1．（22-23高三上·辽宁辽阳·阶段练习）若函数有零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断在上单调递增，则只需要即可，解出不等式即可得到. 【详解】因为函数与均在上单调递增， 所以在上单调递增. 要使函数有零点，则只需要即可， 即，解得. 故选：D. 2．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出的图象，方程有3个实数解，转化为与的图象有3个不同的交点，然后根据图象求解即可. 【详解】的图象如图所示， 因为方程有3个实数解， 所以与的图象有3个不同的交点， 由图可知. 故选：A 3．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若函数恰有两个零点,则实数的取值不可能为（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】根据零点定义，逐个带入分析判断即可得解. 【点睛】若，可得， 此时令可得，只有一个零点，故A不符合； 若，可得， 此时令可得，恰有两个零点，故B符合； 若，可得， 此时令可得，恰有两个零点，故C符合； 若，可得， 此时令可得，恰有两个零点，故D符合； 故选：A 4．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数的零点为，的零点为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由函数零点的定义得到，再结合条件进行变形，，再根据对数函数的图象和性质，即可求解取值范围. 【详解】由题意可知， ， ， 即， 因为，所以， 则，当时， 解得：. 故选：D 5．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数.若方程有三个不等的实数解且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】画出的大致图象，根据图象对选项进行分析，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】画出的大致图象如图所示. 若方程有三个不等的实数解，根据图象可得，且. 令，得；令，得， 则，， ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以. 所以BCD选项正确，A选项错误. 故选：BCD 【点睛】求解函数的零点、方程的根等问题，可以考虑利用图象法来进行求解.分段函数的性质的研究，可以通过函数的图象来进行.画出函数的图象后，可以结合函数的对称性、基本不等式等知识来对问题进行求解. 6．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数是上的减函数求出的范围，再在同一直角坐标系中，画出函数和函数的图象，根据方程的根的个数数形结合，从而可得出答案. 【详解】因为函数是上的减函数， 则，解得， 函数恰好有两个零点，即方程恰好有两个根， 如图，在上方程恰好有一解， 所以在上，方程有且仅有一解， 当即时，由， 即，，则， 解得或1（舍去）， 当时，经检验符合题意； 当即时，由图象知符合题意. 综上，的取值范围是. 故选：A.    【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是函数的零点问题转化为函数图象得交点，数形结合解决. 一、单选题 1．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】首先得出“函数在上存在零点”的充要条件是的取值范围是，进一步结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】设方程即方程在上存在零点， 令，显然在上单调递减， 而，所以的值域为， 所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是， 所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件. 故选：C. 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出的取值范围． 【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且， 由，得，则， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减， 在上单调递增，且，， ， 所以的取值范围是． 故选：B． 3．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）记为不超过x的最大整数，如，，则函数的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，令，得到在上为单调递减函数，且，得出函数在上无零点，进而结合对数函数的性质，列出方程求得函数的零点，即可求解. 【详解】由为不超过x的最大整数，可得， 令，可得在上为单调递减函数， 且，所以函数在上无零点， 只需考虑，，，， 可得函数的三个零点分别为，所以所有零点之和为. 故选：B. 4．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）若函数存在两个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的条件，探讨函数在与的性质，再利用函数零点的情况列出不等式求解即可. 【详解】在上，与都单调递减， 函数在上单调递减，函数值集合为； 在上，与都单调递增， 函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数有两个零点，得，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：C 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知a，b，c，d都是常数，，，若的零点为c，d，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出二次函数的图象即可判断、、、的大小关系﹒ 【详解】， 由解析式知，对称轴为， 因为为函数的零点，且，， 所以可在平面直角坐标系中作出函数的大致图象，    由图可知. 故选：D. 二、多选题 6．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）已知函数，下列有关方程的实数解个数说法正确的是（    ） A．当实数解的个数为1时， B．当实数解的个数为2时， C．当实数解的个数为3时， D．当实数解的个数为3时， 【答案】AC 【分析】把方程看作两个函数：和，在同一直角坐标系中画出图象分析即可判断选项. 【详解】根据题意，函数的图象且，如图所示： 当时，方程有一个解，故正确； 当或时，方程有两个解，故错误； 当时，方程有三个解，故正确，不正确. 故选：. 7．（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，所以A正确； 对于B中，因为， 且函数关于对称， 由图象得，且， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 所以，所以B正确； 对于C中，是的两个根， 所以，即，所以， 由是的两个根，所以， 所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得， 令，可得函数在上单调递增， 所以，即，，所以D正确. 故选：ABD.      【点睛】知识方法点拨：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略： 1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象； 2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”. 3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）. 三、填空题 8．（23-24高一上·上海·期末）方程的根，，则 ． 【答案】2020 【分析】将方程的根问题转化函数的零点所在区间求解，由，利用零点存在性定理可得. 【详解】设，. 因为， 且， 所以，又在单调递减， 由零点存在性定理可得，在有唯一零点. 即方程的根，即. 故答案为：. 9．（2024高三·北京·专题练习）已知函数．若关于x的方程有解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，得，令，换元得出二次函数由二次方程的根的性质可求得a的取值范围. 【详解】因为， 令，则． ∵有解，∴在上有解， ∴且,解得， ∴a的取值范围为 ． 故答案为：. 10．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，，令得，符合题意； 当时，是二次函数，对于方程， 只需，即，解得，且， 当时，，此时，得或，符合题意， 当时，，此时，得或，符合题意， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查函数零点分布. 讨论和两种情况，当时，可判断判别式大于零，结合零点存在性定理运算求解. 11．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）．设分别为的零点，则 ． 【答案】5 【分析】利用，结合的单调性求解即可. 【详解】分别为的零点， 故， 因为，所以， 因为函数为增函数，且， 故，所以. 故答案为：. 12．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，得到，构造函数，，根据条件，数形结合得到，从而有，通过换元，得到，再求出在的取值范围，即可求解. 【详解】易知函数的定义域为，令，得到， 令，，图象如图所示， 因为函数有两个零点，由图易知，， 且，得到， 所以，令， 则，又易知在区间上单调递减， 所以，即的取值范围为， 故答案为：. 13．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，，则当时，函数所有零点组成的集合是 ． 【答案】 【分析】确定出在上的最大值和最小值，根据函数的定义得出所以时，，因此只要求出时的函数解析式，解方程即可得，为此利用函数定义分段求解：和． 【详解】当时，函数的零点，即方程的根， 由可知，函数的图象每向右平移2个单位长度，函数值变为原来的3倍， 函数的图象每向左平移2个单位长度，函数值变为原来的倍， 当时，，因此， ，则最小值是，最大值是0， 所以时，， 因此时，无实数解， 又即为， 所以时，，， 由解得， 当时，则， ， 由，解得或， 当时，函数的零点是． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$