专题31 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题31 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、y＝Asin(ωx＋φ)中的最值问题 3 题型二、y＝Asin(ωx＋φ)中的奇偶性 4 题型三、y＝Asin(ωx＋φ)中的对称性 4 题型四、y＝Asin(ωx＋φ)中的图像变换 5 题型五、根据图像求解析式 6 压轴能力测评（16题） 8 一、的图像与性质 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值（以下） （4）单调性 （5）对称轴与对称中心. 正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置. （6）平移与伸缩 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤 注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 【常用结论】 1.根据图像求解析式一般步骤 ①根据最高最低点求出A ②根据周期算出,题目一般会提供周期的一部分 ③通过带最高或最低点算出φ 2.对称与周期 (1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； (2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； (3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 3.函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 【题型一 y＝Asin(ωx＋φ)中的最值问题】 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2023·河南·三模）函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型二 y＝Asin(ωx＋φ)中的奇偶性】 一、单选题 1．（22-23高一上·山东济南·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或-1 D． 2．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022高一上·全国·专题练习）已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京·期中）已知既不是奇函数也不是偶函数，若为奇函数，为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则 . 6．（23-24高一下·江西萍乡·期中）已知函数与y轴交点的纵坐标为1，且恒成立，则函数是 （填“奇”或“偶”）函数；当时， . 【题型三 y＝Asin(ωx＋φ)中的对称性】 一、单选题 1．（23-24高一下·云南昆明·期末）若函数的图像过点，则下列说法正确的是（   ） A．点是的一个对称中心 B．点的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．函数的值域为 2．（23-24高一下·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若关于对称，则的一个单调递增区间可以是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为 ． 6．（23-24高一下·湖北·期中）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于 . 【题型四 y＝Asin(ωx＋φ)中的图像变换】 一、单选题 1．（2024高一下·上海·专题练习）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则曲线的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知函数，将函数的图象向右平移()个单位后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数（），将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若的图象关于原点对称，则函数的单调递增区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24高一下·北京西城·期末）已知函数和的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为（    ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【题型五 根据图像求解析式】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知，其中，.其部分图象如下图，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北保定·期中）已知，，函数的图象如图所示，，，是的图象与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点，，若在区间上，有2027个零点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上的值域为，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·四川自贡·三模）函数（，）的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点对称 C．函数在单调递增 D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数 5．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的单调增区间为 C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 一、单选题 1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数的最小正周期为T.若，且曲线关于点中心对称，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数的图象如下，则其解析式可能是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知，则下列选项中正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．关于直线对称 D．的值域为 6．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·湖南·阶段练习）函数在（）内没有最小值，且存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数和，下列说法中正确的有（   ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值点 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 9．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知，则（    ） A．为偶函数 B．是的最小正周期 C．在区间上单调递增 D．的值域为 10．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数，则（    ） A．的最大值为1 B．是曲线的对称中心 C．在上单调递减 D．的最小正周期为 11．（24-25高三上·广东汕头·阶段练习）已知函数，为的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是偶函数 D．的取值范围是 三、填空题 12．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）已知是函数的一条对称轴，则的最大值为 . 13．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 . 14．（2025·安徽·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，且，则 ． 15．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数，直线和点是的一组相邻的称轴和对称中心，且在区间上单调递减，则 ． 16．（24-25高三上·全国·自主招生）设函数，若成立的充分条件为，则实数m的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题31 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、y＝Asin(ωx＋φ)中的最值问题 3 题型二、y＝Asin(ωx＋φ)中的奇偶性 5 题型三、y＝Asin(ωx＋φ)中的对称性 9 题型四、y＝Asin(ωx＋φ)中的图像变换 13 题型五、根据图像求解析式 16 压轴能力测评（16题） 22 一、的图像与性质 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值（以下） （4）单调性 （5）对称轴与对称中心. 正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置. （6）平移与伸缩 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤 注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 【常用结论】 1.根据图像求解析式一般步骤 ①根据最高最低点求出A ②根据周期算出,题目一般会提供周期的一部分 ③通过带最高或最低点算出φ 2.对称与周期 (1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； (2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； (3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 3.函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 【题型一 y＝Asin(ωx＋φ)中的最值问题】 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由周期公式求得，结合换元法即可求得最大值. 【详解】由题意，解得，所以， 当时，， 所以在区间上的最大值为，当且仅当时等号成立. 故选：C. 2．（2023·河南·三模）函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据参数范围、对称轴求得，利用正弦型函数性质求最小值即可. 【详解】由题意，则，又， 所以，则， 在上，，故， 所以最小值为. 故选：A 3．（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质求得最大值. 【详解】 ， 设， 则的开口向下，对称轴， 所以函数在上单调递增， 所以， 也即的最大值为. 故选：A 4．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题可得，观察函数图象得出的最大值和最小值即可判断. 【详解】的定义域为，值域为， 则，则观察函数图象可得， 的最大值为，的最小值为， ，故可能是. 故选：ABC. 5．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定函数，结合周期性，在长为一个周期的区间内探讨使得的函数性质即可得解. 【详解】函数的周期为，由，得， 即，解得， 在长为一个周期的区间上，取，得，当时，， 显然函数在上单调递减，在上单调递增， 由在上的值域为，则当时，，于是， 当时，，于是， 所以的取值范围是. 故选：B 【题型二 y＝Asin(ωx＋φ)中的奇偶性】 一、单选题 1．（22-23高一上·山东济南·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或-1 D． 【答案】A 【分析】根据三角函数奇偶性可确定，再利用诱导公式即可求得的值. 【详解】由函数是偶函数可知， ，即； 所以，； 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义可得出关于、的等式组，解出函数的解析式，再利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可求得所求代数式的值. 【详解】因为函数的定义域为，是偶函数，是奇函数， 则，可得，① ，可得，② 联立①②可得， 所以，， 因此， . 故选：D. 3．（2022高一上·全国·专题练习）已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性结合的取值范围可得出的值，利用函数的对称轴可得出的表达式，结合函数的单调性可求得的取值范围，可得出的值，进而可确定的解析式，代值计算可得结果. 【详解】因为是上的奇函数，则， 所以，， 因为的图象关于直线对称，则，可得， 当时，， 因为函数在区间内是单调函数，则，解得， 所以，，，故，因此，. 故选：A. 4．（23-24高一下·北京·期中）已知既不是奇函数也不是偶函数，若为奇函数，为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性，结合诱导公式及五点作图法分析计算得解. 【详解】依题意，且，函数的最小正周期， 令满足, 且（）,则， 由，得五点作图法的最左边端点为， 由是奇函数，得， 由是偶函数，得, 当时，，，此时； 当时，，，此时, 所以的最小值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取 来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标. 二、填空题 5．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】2 【分析】构造函数利用其奇偶性计算即可. 【详解】易知， 令， 易知定义域为R，且， 即是奇函数， 显然，， 由奇函数的对称性质易知. 故答案为： 6．（23-24高一下·江西萍乡·期中）已知函数与y轴交点的纵坐标为1，且恒成立，则函数是 （填“奇”或“偶”）函数；当时， . 【答案】 奇 【分析】首先由函数过点，以及函数的最值，确定函数的解析式，再判断函数的奇偶性，再求方程的实数根，求的值. 【详解】由题意可知，，得，得， 由恒成立，得， 所以， 得，且， 所以， 所以，则， 所以是奇函数； ，得，得, 所以. 故答案为：奇； 【题型三 y＝Asin(ωx＋φ)中的对称性】 一、单选题 1．（23-24高一下·云南昆明·期末）若函数的图像过点，则下列说法正确的是（   ） A．点是的一个对称中心 B．点的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．函数的值域为 【答案】D 【分析】先结合诱导公式及二倍角公式进行化简，然后结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，所以，因为， 所以，则， 由于，结合余弦函数的图象与性质可得为的对称中心，故A，B不正确； 由，可得的最小正周期是，故C不正确； 根据余弦函数的性质可得：，则函数的值域为，故D正确； 故选：D 2．（23-24高一下·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记函数的最小正周期为，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得. 【详解】记函数的最小正周期为，则，可得． 又，且， 又，所以函数的一个对称中心为， 函数的一条对称轴为，又， ，解得． 故选：B． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若关于对称，则的一个单调递增区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦型函数的对称性计算可得，结合正弦型函数的单调性计算即可得解. 【详解】关于对称，则，， ，，又，， ∴， 由，， 得，， 当时，得， 即的一个单调递增区间可以是． 故选：D. 4．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的单调性与对称性，可得出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】当时，，由，可得， 由可得，由可得， 所以，函数在上递减，在上递增，且函数的图象关于直线对称， 因为，则，且、， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：D. 二、填空题 5．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】应用正弦函数及余弦函数的对称轴求参即可. 【详解】由题意，求函数，的对称轴，令，解得 函数，令，解得， 因为函数，与函数的对称轴完全相同,则周期也相同，故，，所以. 故答案为：. 6．（23-24高一下·湖北·期中）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于 . 【答案】2025 【分析】函数与的图象有公共的对称中心，作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果． 【详解】设， 当时，， 当时，显然， 所以关于中心对称， 设，则的周期为， 且， 所以关于中心对称， 在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象与函数的图象，如图所示：    观察图象可知两函数的一个交点的横坐标为， 除此以外，这两函数图象如下区间：内，各有两个交点， 且注意到这些区间均关于对称， 故所求为. 故答案为：2025. 【点睛】关键点点睛：关键在于通过对称性画出函数图象，通过图象得出它们交点的分布规律，由此即可顺利得解. 【题型四 y＝Asin(ωx＋φ)中的图像变换】 一、单选题 1．（2024高一下·上海·专题练习）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】根据诱导公式把函数化为同名函数，结合函数图象变换的性质即可判定. 【详解】由题意: 故要得到函数的图象， 只需将的图象向左平移个单位, 故选：B 2．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则曲线的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图像变换可得，结合对称轴与最值之间的关系分析判断. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 对于选项A：，不是最值， 所以不为对称轴，故A错误； 对于选项B：，是最大值， 所以为对称轴，故B正确； 对于选项C：，不是最值， 所以不为对称轴，故C错误； 对于选项D：，不是最值， 所以不为对称轴，故D错误； 故选：B. 3．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知函数，将函数的图象向右平移()个单位后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简，结合题意，列出关于的等量关系，再求其最小值即可. 【详解】，将其图象向右平移个单位后，得到， 又其与函数的图象重合，故，解得， 又，故当时，取得最小值. 故选：D. 4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数（），将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若的图象关于原点对称，则函数的单调递增区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用三角函数的图象的平移变换可得，结合正弦函数的对称性可知，再根据三角函数的单调性即可求解. 【详解】由题知， ∵的图象关于原点对称， ∴，，解得，， ∵，当时，， ∴． 由，，得，， ∴函数的单调递增区间为，. 故选:D． 5．（23-24高一下·北京西城·期末）已知函数和的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为（    ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据图象的平移及诱导公式求解即可. 【详解】经过时间， 平移后可得， 平移后可得， 由两函数图象重合知，， 所以，即，由，可知. 故选：B 【题型五 根据图像求解析式】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知，其中，.其部分图象如下图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知先求出函数的一条对称轴，结合对称性求出周期，进而可求，结合特殊点可求，从而可求，把代入即可求解. 【详解】由题意可得，函数图象关于对称， 故，所以，则， 又，，且，所以，所以， 所以. 故选：C 2．（24-25高一上·河北保定·期中）已知，，函数的图象如图所示，，，是的图象与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点，，若在区间上，有2027个零点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到和，得到函数解析式，得到相邻两个零点的距离有两种，可能为，数形结合得到当为个和1014个时，取得最大值，得到答案. 【详解】将原点坐标代入得，又，所以， 故， 的中点横坐标为， 故， 又对应的点为轴左侧第一个最低点，所以， 解得，解得， 所以， 令得， 则或， 解得或， 所以相邻两个零点的距离有两种，可能为， 在上，有2027个零点，要求的最大值， 则当为个和1014个时，取得最大值， 故最大值为. 故选：A 3．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上的值域为，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由图象求出函数，再由平移变换得函数，结合整体法求值域，从而求的取值范围. 【详解】设的最小正周期为，由图象可知， 所以，则，故， 又的图象过点，所以， 所以，又，所以， 则， 则. 当时，， 当或.即或时，， 当，即时，， 所以的取值范围为. 故选：C. 4．（2024·四川自贡·三模）函数（，）的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点对称 C．函数在单调递增 D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数 【答案】C 【分析】A选项，根据M、N关于点C对称得到点横坐标，从而得到最小正周期；B选项，根据的图象关于点对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出，将代入解析式求出，，从而利用整体法判断出在不单调；D选项，求出，得到其奇偶性. 【详解】A选项，点M、N关于点C对称，故， 设的最小正周期为，则，故，A正确； B选项，可以看出函数的图象关于点对称， 又的最小正周期， 故函数的图象关于点对称，B正确； C选项，又，故， ，故将代入解析式得， 解得， 又，故当且仅当时，满足要求，故， 又当时，，故， 则， 当时，， 由于在上不单调， 故在上不单调，C错误； D选项，，定义域为R， 又，为奇函数，D正确. 故选：C 5．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的单调增区间为 C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 【答案】C 【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质逐一分析选项即可. 【详解】， 由图可知，，可得，， ，，故正确； ， 解得， 所以函数在单调递增，故正确； 函数的图象向左平移个单位长度得， ，故错误； ，， 当时，，此时有两个零点， 即，可得，故正确. 故选：. 一、单选题 1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，再根据诱导公式即可得解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得， 则. 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得函数的一条对称轴，再由的最小正周期为，即可得到结果. 【详解】由题设有，且可知. 故，所以的一条对称轴为. 又的最小正周期为，故其一条对称轴为. 故选：B. 3．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数的最小正周期为T.若，且曲线关于点中心对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的周期公式以及对称中心，建立方程，可得答案. 【详解】由，则，由，则，解得， 由，则当时，函数取得对称中心， 由题意可得，化简可得， 当时，，显然当时，， 所以，则. 故选：B. 4．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数的图象如下，则其解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象可知，由此可判断BCD不可能，结合函数周期说明A中图象可能正确，即可得答案. 【详解】结合题意以及各选项可知A可为2， 结合图象可知， 则对于B，，由此可判断B中解析式不可能； 对于C，，由此可判断C中解析式不可能； 对于D，，由此可判断D中解析式不可能； 对于 A，由于，即可取2； 由，则，由于，可取， 此时，A可能， 故选：A 5．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知，则下列选项中正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．关于直线对称 D．的值域为 【答案】C 【分析】根据函数解析式，结合函数的周期性，奇偶性，对称性以及值域的求解方法，逐项求解即可. 【详解】对A：，故A错误； 对B：的定义域为，又， 故为偶函数，B错误； 对C：， 故关于直线对称，C正确； 对D：，令，故， 又在单调递增，在单调递减，又， 故，也即的值域为，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的位置特征，不妨令，，又，故，解得，在函数图象上，代入计算，求出，从而求出. 【详解】令，解得或， 是与曲线的两个相邻的交点， 且在单调递增区间上，在单调递减区间上，在左边， 不妨设，， 两式相减得， 又，故，所以，解得， 故， 又图象可知，在函数图象上， 故，解得， 所以. 故选：C 7．（24-25高三上·湖南·阶段练习）函数在（）内没有最小值，且存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过取特殊值排除验证即可. 【详解】当时，此时 ， ，，不满足存在，使得，故排除A,D 当时，此时， ，， ， ，，此时不满足题意，故排除C 综上所述B正确 故选：B 二、多选题 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数和，下列说法中正确的有（   ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值点 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】ACD 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】，. 令，则，；令，则，， 两个函数的零点是相同的，故选项A正确. 的最大值点是，，的最大值点是，， 两个函数的最大值虽然是相同的，但最大值点是不同的，故选项B不正确. 由正弦型函数的最小正周期为可知与有相同的最小正周期，故选项C正确. 曲线对称轴为，，曲线的对称轴为，， 两个函数的图象有相同的对称轴，故选项D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知，则（    ） A．为偶函数 B．是的最小正周期 C．在区间上单调递增 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】根据奇偶函数定义判断A，取特值判断B，根据符合函数单调性判断C，根据偶函数及在时的值域判断D. 【详解】由可知，，定义域为， 故定义域关于原点对称，又，所以函数为偶函数，故A正确； 取，则，，即，所以不是函数的周期，故B错误； 当时，，令且为减函数， 而在时单调递减，所以由复合函数的单调性知，单调递增，故C正确； 由为偶函数，只需研究时的值域，当时，， 因为，即时，是函数的一个周期，当时，，当且仅当，即时取等号，当时，， 令，则在上是增函数，所以， 当时，，所以，综上的值域为，故D正确. 故选：ACD 10．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数，则（    ） A．的最大值为1 B．是曲线的对称中心 C．在上单调递减 D．的最小正周期为 【答案】ABD 【分析】对于A：结合余弦函数的值域分析判断；对于B：根据对称性的定义分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据题意结合最小正周期的定义分析判断. 【详解】由题意可知：的定义域为， 对于选项A：因为，则， 且，所以的最大值为1，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以是曲线的对称中心，故B正确； 对于选项C：因为，且在上连续不断， 所以在上不单调，故C错误； 对于选项D：因为， 由选项B可知，可得，即， 则， 可知为的一个周期， 若，则，可得， 当，则，，此时， 可知对任意，，即， 所以不为的一个周期； 综上所述：的最小正周期为，故D正确； 故选：ABD. 11．（24-25高三上·广东汕头·阶段练习）已知函数，为的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是偶函数 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对A，将代入结合题目条件可得的值；对B，由函数的图象是中心对称图形，且即可得；对C，由无法判断奇偶性可得；对D，结合函数单调性即可得. 【详解】对于A选项，由是的零点，得， 所以，即， 因为，则， 因为，则，故A正确； 对于B选项，函数的图象是中心对称图形， 函数在上单调递减，由， 因为，则是函数的对称中心，所以，故B正确； 对于C选项，，奇偶性无法判断，故C错误； 对于D选项，由A选项得， 因为函数在上单调递减，所以， 解得，其中， 所以，，可得， 所以，当时，，当，不合乎题意， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 三、填空题 12．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）已知是函数的一条对称轴，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到方程，求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 当时，可得， 因为是函数的一条对称轴，可得， 两边平方，并整理得，解得， 即， 当时，即时，函数的最大值为. 故答案为：. 13．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 . 【答案】 【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可. 【详解】，故， 因为在区间上的值域为， 且，故必有 ， 如图所示，则故 故答案为： 14．（2025·安徽·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，且，则 ． 【答案】/ 【分析】从入手，得与，从而得到周期，进而得，再代入最值点求，最后代入求即可. 【详解】由，， 且的最大值为，最小值为， 由， 可知当且仅当且时等式成立. 又函数在区间上单调递增， 故与为两条相邻的对称轴， 所以周期， 从而，故， 故，， 由代入解析式可得 ， 则，则， 故. 故答案为：. 15．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数，直线和点是的一组相邻的称轴和对称中心，且在区间上单调递减，则 ． 【答案】 【分析】根据题意求出周期，从而求出，又因为且在区间上单调递减从而求出，再由，即可求解. 【详解】根据题意可得周期，所以，所以， 则时单调递减，即， 又因为在区间上单调递减，所以 则，解得：， 又因为，所以， 又因为，解得， 所以. 故答案为：. 16．（24-25高三上·全国·自主招生）设函数，若成立的充分条件为，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】化简函数，然后利用求解的范围，由得，即可根据充分条件列不等式求解. 【详解】利用倍角公式、诱导公式化简，利用其单调性可得的值域，再利用绝对值不等式的解法即可得出． 函数 ， ，，,． 成立的充分条件是, 故成立的充分条件为， 且，即． 则实数的取值范围为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$