9.5　相似三角形判定定理的证明 课件2023-2024学年鲁教版（五四制）八年级 数学下册

﹡5　相似三角形判定 定理的证明 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 ‹#› 【小题快练】 1.下列说法中,错误的是 ( ) A.两个全等三角形一定相似 B.两个等腰三角形一定相似 C.两个等边三角形一定相似 D.两个等腰直角三角形一定相似 B ‹#› 2.如图,已知∠ACB=∠CDB=90°,若添加一个条件,使得△BDC与△ABC相似, 则下列条件中不符合要求的是 ( ) A.∠ABC=∠BCD B.∠ABC=∠CBD C.= D.AB∥CD C ‹#› 3.如图,AC⊥OB于点C,BD⊥OA于点D,则图中相似三角形共有_______对.  　6　 ‹#› 4.如图,在△ABC中,E,F分别是AB,AC上的点,且满足AE=AB,AF=AC,BC=4, 则EF的值为_______.  　1　 ‹#› 重点1 利用相似三角形的判定定理证明三角形相似 【典例1】如图,在△ABC和△A'B'C'中,D,D'分别是AB,A'B'上一点, =,==. 求证:△ABC∽ △ A'B'C'. 重点·典例研析 ‹#› [自主解答]∵=, ∴=, 又∵==, ∴==, ∴△ADC∽ △ A'D'C', ∴∠A=∠A', 又∵=, ∴△ABC∽ △ A'B'C'. ‹#› 【一题多变】 1.如图,在△ABC和△A'B'C'中,D,D'分别是AB,A'B'上一点,若△ ADC∽ △ A'D'C', =,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由. ‹#› 【解析】相似.△ABC∽ △ A'B'C'. ∵△ADC∽ △ A'D'C',∴∠A=∠A', 又∵=, ∴△ABC∽ △ A'B'C'. ‹#› 2.如图,在△ABC和△A'B'C'中,CD,C'D'分别是AB,A'B'上的高,当△ABC∽△ A'B'C'时,判断△ADC与△A'D'C'是否相似,并说明理由. ‹#› 【解析】相似.△ADC∽ △ A'D'C'. ∵△ABC∽ △ A'B'C', ∴∠A=∠A', 又∵CD,C'D'分别是AB,A'B'上的高, ∴∠ADC=∠A'D'C'=90°, ∴△ADC∽ △ A'D'C'. ‹#› 【技法点拨】三角形相似判定方法的选择 已知 判定方法 一组角 相等 推出角相等的条件 利用两角判定 推出夹角的两边比值相等的条件 利用边角判定 只有推出边比值相等的条件 利用三边判定 ‹#› 重点2 利用相似三角形的判定与性质解决问题 【典例2】(2022·潍坊期末)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC 边上,DE∥AC,EF∥AB. (1)求证:△BDE∽ △ EFC. (2)若FC=3AF,BC=12,求线段BE的长. ‹#› [自主解答](1)∵DE∥AC, ∴∠BED=∠C, 又∵EF∥AB, ∴∠FEC=∠B, ∴△BDE∽ △ EFC; (2)∵EF∥AB, ∴==, ∵BC=12, ∴=, ∴BE=3. ‹#› 【举一反三】 1.(2023·上海中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点F,E分别在线段BC,AC上, 且∠FAC=∠ADE,AC=AD. (1)求证:DE=AF; (2)若∠ABC=∠CDE,求证:AF2=BF·CE. ‹#› 【证明】(1)∵AD∥BC, ∴∠ACF=∠DAC, ∵∠FAC=∠ADE,AC=AD, ∴△ACF≌ △ DAE(ASA), ∴AF=DE; (2)∵△ACF≌ △ DAE, ∴∠AFC=∠DEA, ∴∠AFB=∠DEC, ∵∠ABC=∠CDE, ∴△ABF∽ △ CDE, ∴=, ∴AF·DE=BF·CE, ∵AF=DE,∴AF2=BF·CE. ‹#› 2.(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4. (1)证明:△ABC∽ △ DEB. (2)求线段BD的长. ‹#› 【解析】(1)∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE, ∴∠A=∠CBE=∠D=90°, ∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°, ∴∠C=∠DBE, ∴△ABC∽ △ DEB; (2)∵△ABC∽ △ DEB, ∴=,∴=, ∴BD=3. ‹#› 【技法点拨】 　　根据两个三角形的边角关系可得到两三角形相似,反之两三角形相似能证明它们的边角关系. ‹#› 素养·思维赋能 【一题多解】如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点, 求证:△DEF∽ △ CAB(用三种方法证明). ‹#› 【证明】方法一:利用两角相等证明相似 ∵D,E分别是△ABC的边AB,BC的中点, ∴DE∥AC, 同理,EF∥AB,DF∥BC, ∴四边形ADEF是平行四边形, 四边形BDFE是平行四边形, ∴∠A=∠DEF,∠B=∠DFE, ∴△DEF∽ △ CAB. ‹#› 方法二:利用两边成比例且夹角相等证明相似 ∵D,E分别是△ABC的边AB,BC的中点, ∴DE∥AC,DE=AC, 同理,EF∥AB,EF=AB, ∴四边形ADEF是平行四边形,=, ∴∠A=∠DEF,∴△DEF∽ △ CAB. ‹#› 方法三:利用三边成比例证明相似 ∵D,E分别是△ABC的边AB,BC的中点, ∴DE=AC, 同理,EF=AB,DF=BC, ∴=,=,=, ∴==,∴△DEF∽ △ CAB. ‹#› 本课结束 $$