第九章 5 相似三角形判定定理的证明(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年八年级下册数学课时通(鲁教版五四制)

年级下册·鲁教版 数 学 第九章　图形的相似 􀆽*5　相似三角形判定定理的证明 知识点　相似三角形的判定定理 1.如图所示，在四边形ABCD中，如果∠ADC＝∠BAC，那么下列条件不能判定△ADC和△BAC相似的是（　C　） A.∠DAC＝∠ABC B.AC是∠BCD的平分线 C.AC2＝BC·CD D.＝ 第1题图 C 2. 结论开放　如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是边AC上的一点，连接BD，若使△ABC与△BDC相似，只需添加一个条件： 　∠CBD＝∠A（答案不唯一）　⁠. 第2题图 ∠CBD＝∠A（答案 不唯一）　 3.如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB的延长线上一点，E是BC延长线上一点，且AB2＝DB·CE. （1）求证：△ADB∽△EAC. 解：（1）证明：∵ AB2＝DB·CE，∴ ＝. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，＝. ∴∠ABD＝∠ECA，∴ △ADB∽△EAC. （2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数. 解：（2）∵ AB＝AC，∠BAC＝40°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝70°. ∵ △ADB∽△EAC，∴∠DAB＝∠AEC. ∴ ∠DAB＋∠EAC＝∠AEC＋∠EAC＝∠ACB＝70°. ∴ ∠DAE＝∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝70°＋40°＝110°. 易错点　忽视对应顺序，判断两个三角形是否相似出错 4.新情境　如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，问：△AOB与△COD是否相似？ 有一名同学解答如下： 因为AD∥BC，所以∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO，所以△AOD∽△BOC，所以＝.又因为∠AOB＝∠DOC，所以△AOB∽△DOC. （1）请你判断这名同学的证明是否正确，说明理由. 解：（1）不正确，错误的原因是由∠ADO＝∠CBO， ∠DAO＝∠BCO，推不出△AOD∽△BOC. 正解是：∵∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO， ∴△AOD∽△COB， ∴＝，就不能进一步推出△AOB∽△DOC了. （2）若AB＝CD，△AOB与△COD相似吗？ 解：（2）若AB＝CD，△AOB∽△DOC.理由如下： ∵AB＝CD，∴四边形ABCD为等腰梯形， ∴∠ABO＝∠DCO， ∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△COD. 5.阅读理解　P是△ABC一边上的一点（点P不与点A，B，C重合），用过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，当P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有（　C　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 C 6.推理能力　如图所示，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC边上的一点.若∠APD＝60°，则CD的长为（　B　） A. B. C. D. 第6题图 B 7.如图所示，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，点F为边BC的四等分点，连接DE，DF，EF.则下列结论：①△ADE∽△BEF；②∠DEF＝90°；③＝；④△ADE∽△EDF，其中正确的个数是（　C　） A.1 B.2 C.3 D.4 第7题图 C 8.一题多解　如图所示，在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过 　2.5或1　⁠秒时，△PBQ与△ABC相似. 2.5或1　 9.如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE. （1）求证：DE⊥BE. 证明：（1）∵OB＝OE， ∴∠OEB＝∠OBE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.∴OD＝OE， ∴∠OED＝∠ODE. ∵∠OEB＋∠OBE＋∠OED＋∠ODE＝180°， ∴∠OEB＋∠OED＝90°，即∠BED＝90°. ∴DE⊥BE. （2）如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE. 证明：（2）设OE交CD于点H.∵OE⊥CD，∴∠CHE＝90°. ∴∠CEH＋∠HCE＝90°.∵∠CED＝90°， ∴∠CDE＋∠DCE＝90°.∴∠CDE＝∠CEH. ∵∠OEB＝∠OBE，∴∠OBE＝∠CDE. 又∵∠CED＝∠DEB，∴△CED∽△DEB. ∴＝.∴BD·CE＝CD·DE. 10.阅读理解　如图所示，P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA·OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角. （1）如图①所示，已知∠MON＝90°，P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°.求证：∠APB是∠MON的智慧角. 解：（1）证明：∵∠MON＝90°，P为∠MON的平分线上一点， ∴∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°. ∵∠AOP＋∠OAP＋∠APO＝180°， ∴∠OAP＋∠APO＝135°. ∵∠APB＝135°，∴∠APO＋∠OPB＝135°， ∴∠OAP＝∠OPB，∴△AOP∽△POB， ∴＝，∴OP2＝OA·OB， ∴∠APB是∠MON的智慧角. 解：（2）∵∠APB是∠MON的智慧角， ∴OA·OB＝OP2，∴＝. ∵P为∠MON的平分线上一点， ∴∠AOP＝∠BOP＝α， ∴△AOP∽△POB，∴∠OAP＝∠OPB， ∴∠APB＝∠OPB＋∠OPA＝∠OAP＋∠OPA＝180°－ α，即∠APB＝180°－α. （2）如图②所示，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝2，若∠APB是∠MON的智慧角，用含α的式子表示∠APB的度数. $$