9.6黄金分割 课件 2023—2024学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

6　黄金分割 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 黄金分割 ‹#› 【小题快练】 点B把线段AC分成两部分,如果==k,那么k的值为________.   　 ‹#› 重点 黄金分割的应用 【典例】(教材再开发·P111议一议拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,若AE=BC,则点E是线段AB的黄金分割点吗?说明你的理由. 重点·典例研析 ‹#› 【自主解答】点E是线段AB的黄金分割点. 证明如下:连接EC, ∵DE是AC的垂直平分线, ∴EA=EC, 又∵AE=BC,∴EC=BC, ∴∠BEC=∠B, ∵AB=AC,∴∠ACB=∠B, ∴∠BEC=∠ACB,又∠B=∠B, ∴△CEB∽ △ ACB, ∴=,即BC2=BE·AB, 又∵AE=BC, ∴AE2=BE·AB,即点E是线段 AB的黄金分割点. ‹#› 【举一反三】 1.(教材再开发·P113习题9.9T1题改编)主持人在舞台上主持节目时,站在舞台的 黄金分割点处最自然得体.若舞台AB长20米,主持人从舞台一侧进入,设主持人 至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点P上(BP长为x),则x满足的方程是 ( )　　 A.(20-x)2=20x B.x2=20(20-x) C.x(20-x)=202 D.以上都不对 A ‹#› 2.定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC·AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D. (1)求证:点D是线段AC的黄金分割点; (2)求出线段AD的长. ‹#› 【解析】(1)∵AB=AC=1, ∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=(180°-36°)=72°,∵BD平分∠ABC交AC于点D, ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°, ∴∠BDC=180°-36°-72°=72°, ∴DA=DB,BD=BC,∴AD=BD=BC, 易得△BDC∽ △ ABC, ∴BC∶AC=CD∶BC,即BC2=CD·AC, ∴AD2=CD·AC, ∴点D是线段AC的黄金分割点; ‹#› (2)设AD=x,则CD=AC-AD=1-x, ∵AD2=CD·AC,∴x2=1-x,解得x1=,x2=(舍),即AD的长为. ‹#› 3.如果一个矩形的宽与长的比值为,则称这个矩形为黄金矩形,如图,将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后,剩余的矩形BCFE(BC>BE)是黄金矩形,则原矩形ABCD是否为黄金矩形?请说明理由. ‹#› 【解析】原矩形ABCD是黄金矩形. 理由如下:设矩形BCFE的长BC为x, ∵四边形BCFE为黄金矩形,∴宽FC为x,∵四边形AEFD是正方形, ∴AB=x+x=x, 则==, ∴原矩形ABCD是黄金矩形. ‹#› 【技法点拨】 判断黄金分割的两种方法 1.利用关系式判断: 看所求线段中被该点分割后的三条线段是否满足:=或较长线段的平方=较短线段×整段线段. 2.利用比值判断: 看较短线段与较长线段的比或较长线段与整段线段的比是否是. ‹#› 特别提醒:一个黄金分割点把线段分成两段,要指明较长的线段,不要忽略这一条件. ‹#› 素养·思维赋能 【涨知识了】 从“点”到“线”的黄金分割 项目 定义 模型 黄金分割点 点C将线段AB分成两部分,若满足=,则称点C为线段AB的黄金分割点 黄金分割线 直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果=,那么称直线l为该图形的黄金分割线 ‹#› 【开放探索】 如图2,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠C的平分线交AB于点D. 证明直线CD是△ABC的黄金分割线. ‹#› 【证明】设△ABC的边AB上的高为h,则S△ADC=AD·h,S△DBC=DB·h,S△ABC=AB·h, ∴=,=. ∵D是AB的黄金分割点, ∴=, ∴=, ∴直线CD是△ABC的黄金分割线. ‹#› 本课结束 $$