9.7利用相似三角形测高（教学课件）数学鲁教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦“利用相似三角形测高”，通过校园旗杆测高的实际问题导入，衔接相似三角形定义、判定及比例性质等旧知，以“问题情境—模型构建—原理推导”为支架，引导学生掌握影子法、标杆法、镜子反射法三种测高方法。 其亮点在于立足真实情境（如旗杆、古城墙测高），通过多元方法探究与优缺点对比，培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维推理相似关系、用数学语言表达模型的核心素养。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助结构化流程与丰富案例优化教学。

9.7利用相似三角形测高 第九章 图形的相似 学 习 目 标 1.理解并掌握利用相似三角形比例关系测量高度的原理与方法；同时能够根据实际问题建立相似三角形模型并进行准确计算；（重点） 2.在实际情境中识别或构造相似三角形，并将其转化为可操作的数学模型.（难点） 知识回顾 1.什么是相似三角形？ 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 2.相似三角形的判定方法有哪些？ ①AA相似定理（两角对应相等） ②SAS相似定理（两边成比例且夹角相等） ③SSS相似定理（三边成比例） 3.比例的基本性质 若 ，则 （交叉相乘） 情境引入 每天走进校园，都会看到操场旁那根高高的旗杆吧？昨天我接到后勤老师的通知，因为旗杆使用年限较久，学校计划下周更换一根新的旗杆，但更换前需要先知道现有旗杆的准确高度 —— 大家想想，咱们能直接爬上去量吗？那用梯子搭上去量呢？ 既然直接测量的方法行不通，咱们能不能用数学知识来 “间接” 算出旗杆高度呀？还记得上节课咱们刚学过相似三角形的定义与判定，知道 “相似三角形对应边成比例”—— 那这一知识能不能帮咱们解决测旗杆高度的问题呢？ 新知探究 探究一：利用相似三角形测量旗杆高度的多元方法探究 任务一：利用阳光下的影子 1. 操作步骤 ①选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，用皮尺测量该同学的身高和影长 ②同时测量同一时刻旗杆的影长，记录数据 2.几何建模 画出示意图： ①构建 以同学为直角边的直角三角形，直角边为身高和影长 ②旗杆为直角边直角三角形，直角边为旗杆高H、影长 新知探究 3.原理推导 （1）因为太阳光线平行，所以两个直角三角形的同位角相等，且均为直角三角形（直角相等） （2）根据 “两角分别相等的两个三角形相似”，可得两个三角形相似 （3）由相似三角形对应边成比例，得，进而推导H= 一定要注意，测旗杆和同学的影子时，要保证测量的时间接近，最好是同时测量 新知探究 任务二：利用标杆 1. 操作步骤 2.几何建模 ①观测者站在旗杆与标杆之间，调整位置使 “旗杆顶端、标杆顶端、观测者眼睛” 在同一直线上 ②用皮尺测量：观测者脚到旗杆底端的距离a、观测者脚到标杆底端的距离b、标杆高度、观测者眼睛到地面的高度，记录数据 过观测者眼睛作水平线，分别交标杆、旗杆于点，构建 “观测者视线” 形成的A 型相似三角形 标注各线段长度a、b、、.大致建模如图所示. 新知探究 3.原理推导 （1）由 “旗杆顶端、标杆顶端、观测者眼睛共线” 和 “水平线平行于地面”，可得两组同位角相等 （2）证明两个三角形相似后，根据对应边成比例，推导旗杆高度： 旗杆顶端、标杆顶端、观测者眼睛都必须保持在同一直线上，这个过程中观察者要逐渐调整角度 新知探究 任务三：利用镜子的反射 1. 操作步骤 2.几何建模 ①在观测者与旗杆之间平放一面镜子，做标记；观测者移动位置，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与标记重合 ②测量：观测者脚到镜子的距离m、旗杆底端到镜子的距离n、观测者眼睛到地面的高度，记录数据 根据 “光的反射定律（入射角 = 反射角）”，构建 “观测者 - 镜子 - 脚” 与 “旗杆 - 镜子 - 底端” 的直角三角形，标注角的关系与线段m、n、 新知探究 3.原理推导 （1）由 “入射角 = 反射角” 和 “直角相等”，证明两个直角三角形相似 （2）由相似三角形对应边成比例，得，进而推导： 在选取镜子的时候，要尽可能选平整的镜子 4.你认为还有哪些测量旗杆高度的方法？ 新知探究 利用相似三角形测高的本质： 知识归纳 三种方法均以相似三角形的判定为核心，将 “测旗杆高度” 转化为 “测可操作的线段长度”，体现 “转化思想” 在建模的过程中，注意每种方法的建模原理有所差异，但最终得到的结果应当一致 新知探究 1.如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是（  ） A． B． C． D． D 新知探究 2.彭老师身高，在某一时刻测得她站在阳光下的影子长为，紧接着她把手臂竖直举起，测得影子长为，那么彭老师举起的手臂超出头顶的长度为（ ） A． B． C． D． A 新知探究 探究一：利用相似三角形测高方法的优缺点对比分析 任务一：利用阳光下的影子测高的优缺点 1. 优点 2.缺点 操作流程简单，仅需测量 “人高、人影长、旗杆影长”，工具仅需皮尺，易上手；原理直观，基于 “平行光线 + 直角三角形” 的相似模型，逻辑清晰 严重依赖天气条件（阴天、雨天无影子或影子不清晰）；测量需在同一时刻完成，时间把控要求高；若场地不平整，影长测量易出现误差 新知探究 任务二：利用标杆测高的优缺点 1. 优点 2.缺点 不受天气限制（晴天、阴天均可操作）；对场地长度要求较灵活，可通过调整观测者与标杆的位置适配不同场地；能直观构建 “A 型相似模型”，原理易推导 操作中需精准实现 “旗杆顶端、标杆顶端、观测者眼睛三点共线”，位置调整难度大，若观测者视觉误差大，易导致模型失真；需测量的线段较多（观测者脚到旗杆、标杆的距离，标杆高、观测者身高），数据记录与计算易出错 新知探究 任务三：利用镜子的反射测高的优缺点 1. 优点 2.缺点 不受光照方向限制；无需观测者与被测物体直接对齐，可在有障碍物的场景下使用；测量线段少（观测者到镜子距离、物体到镜子距离、观测者身高），计算简便 依赖镜子的平整度和 “观测者视觉的精准度”，若镜子标记不准确或观测者视线偏差，会导致相似模型失效；需理解 “光的反射定律”，对物理知识的关联性要求较高，部分学生易因物理知识薄弱而理解困难 新知探究 利用相似三角形测高的不同方法适用场景： 知识归纳 （1）“影子法”：操作简单，适用于天气良好的条件 （2）“标杆法”：不受天气限制，可用于大多数场地 （3）“镜子反射法”：不受地形和光照影响，可用于较复杂的环境 新知探究 学校计划测量图书馆旁大树的高度，以下哪种天气场景最适合采用 “利用阳光下的影子” 法？ A. 晴天上午 B. 阴天下午 C. 雨天中午 请选择并说明理由。 解答：选 A 理由：“利用阳光下的影子” 法依赖清晰的影子进行测量，晴天上午有充足阳光，能形成清晰且可测量的影子，满足该方法 “同一时刻测量人高、人影长、树影长” 的操作条件；而阴天下午影子不清晰，雨天中午无影子，均无法有效使用该方法 新知探究 例1 如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为多少？ 【分析】解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题 【解答】解：根据题意，,, ． 即 故； 那么该古城墙的高度是， 巩固练习 基础巩固题 D 1．如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，那么窗户的高为（ ）m A． B． C． D． 2．如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（ ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 巩固练习 基础巩固题 3． “给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（ ） A． B． C． D． C 巩固练习 基础巩固题 4．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A． B． C． D． C 巩固练习 基础巩固题 5．如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为 ____ 12m 6．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ____cm ． 4 巩固练习 基础巩固题 7．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 _____ mm 24 8．如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高 解：由题意得：， ∴ ∴ ∵，，， ∴， ∴． 课堂小结 利用相似三角形测高 利用阳光下的影子 平行光线→直角相似三角形 利用标杆 三点共线→A 型相似三角形 利用镜子的反射 光的反射→直角相似三角形 感谢聆听! $