河北省衡水市武强中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

试卷第 1页，共 4页 武强中学 2024--2025 学年度上学期期中考试 高三数学试题 出题人：吉岩岩 一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。) 1．已知全集U  R，集合  0,1,2,3A  ，  1 ln( 1) 2B x x    ，则 A B  （ ） A． 3 B． 1,2 C． 2,3 D． 1,2,3 2．若角 为第二象限角， 2tan 4    ，则cos（ ） A． 2 2 3 B． 2 2 3  C． 1 3 D． 1 3  3．已知1 i 是关于 x的方程 2 0x ax b   的一个根， RbRa  , ，则 a b （ ） A．0 B．2 C．1 D．4 4．若 1sin( ) 6    ，且 tan 2 tan  ，则 sin( )  （ ） A． 3 2 B． 2 2 C． 2 3 D． 1 2 5．已知函数    e 1xf x f x  ，则（ ） A．   e1 2 f   B．   e1 2 f    C．   22 e ef   D．   22 e ef    6．若 1 ,2 2 x      ，使得 23 1 0x x   成立是真命题，则实数的最大值为（ ） A． 7 2 B．2 3 C．4 D． 13 2 7．已知圆 2 2: 4 6 4 0C x y x y     关于直线  : 1 0 0l ax by ab    对称， 试卷第 2页，共 4页 则 1 1 2 3a b  的最小值是（ ） A．2 B．3 C．6 D．4 8．若函数  2log 1 , 1 3 ( ) , 3 x x f x ax x x          ，在 ( 1, )  上单调递增， 则 a 的取值范围是（ ） A． 3,9 B． 3,   C． 0,9 D．  ,9 二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分。) 9．设正实数 ,m n满足 1m n  ，则（ ） A． 1 2 m n  的最小值为3 2 2 B． m n 的最大值为 2 C． mn 的最大值为 1 4 D． 2 2m n 的最小值为 1 2 10．已知函数   sin 3cos ( 0)f x x x     的最小正周期为 π，则（ ） A．  f x 的最大值为 2 B．  f x 在 π π, 3 6      上单调递增 C．  f x 的图象关于点 π ,0 6      中心对称 D．  f x 的图象可由 2cos2y x 的图象向右平移 π 12 个单位得到 11．已知函数   3 21 4 2 f x x x x   ，则（ ） A． 2x  是  f x 的极小值点 B．  f x 有两个极值点 C．  f x 的极小值为1 D．  f x 在 0,2 上的最大值为 2 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。) 试卷第 3页，共 4页 12．已知曲线   2 ln xf x x a   在点   1, 1f 处的切线的倾斜角为 π 3 ， 则 a的值为 . 13．已知函数 π( ) sin ( 0) 3 f x x        图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π 2 ， 若 ( )f x 在 ( , )m m 上是增函数，则正数m 的取值范围是 . 14．已知 a、b、c分别为 ABC 的三个内角 A、B、C的对边， 2a  ， 且 ( )(sin sin ) ( )sina b A B c b C    ，则 ABC 面积的最大值为 ． 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15．(13分) 在 ABC 中，角 、 、A B C的对边分别为a b c、 、 ，面积为 S， 且  2 2 24 3S b a c   . (1)求 B； (2)若 2a  ， 2 7b  ，D为 AC边的中点，求 BD的长. 16．(15分) 设三角形 ABC的内角 、 、A B C的对边分别为a b c、 、 ， 且   2sin 2 3 sin 2 AB C  ． (1)求角A的大小； (2)若 3b  ， BC边上的高为 3 21 7 ，求三角形 ABC的周长． 17．(15分) 已知函数  2( ) exf x a x x   ． (1)若 ( )f x 在 R 上单调递减，求 a 的取值范围； (2)若 1a  ，判断 ( )f x 是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 18．(17分) 已知函数 2 )( ) (exf x x ax  . 试卷第 4页，共 4页 (1)若曲线 ( )y f x 在 = 1x  处的切线与 y 轴垂直，求 ( )y f x 的极值. (2)若 ( )f x 在 (0, ) 只有一个零点，求 a . 19．(17分) 基本不等式是高中数学的重要内容之一，我们可以应用其解决数学中的最值 问题． (1)已知 x， yR，证明 2 2 2x y xy  ； (2)已知 x， y ，a，bR，证明 2 2 2 2 2( )( ) ( )x y a b ax by    ，并指出等号成立 的条件； (3)已知 x， y ，a， 0b  ，证明： 2 2 2( )x y x y a b a b     ，并指出等号成立的条件. (4)应用（2）（3）两个结论解决以下两个问题： ①已知 2 24 2a b  ，证明： 2 2 2a b    ； ②已知 a， 0b  ，且 1a b  ，求 12 1 a a b   的最小值. 答案第 1页,共 7页 高三数学 期中 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D C B D A ABD ACD 题号 11 答案 BD 1.C【分析】由对数函数的性质求出集合 B,再集合交集的概念求解可得答案. 【详解】由题意得 2e 1 e 1B x x ,又因为 e 2.7 ,所以 24 e 9 , 所以 2,3A B ,故选:C. 2.B【分析】根据同角三角函数的基本关系得到方程组,解得即可. 【详解】因为 2 2sin cos 1 , sin 2tan cos 4 ,又角 为第二象限角, 解得 2 2cos 3 .故选:B 3.D【分析】根据实系数一元二次方程根的性质,结合一元二次方程根与系数的关系进行 求解即可.【详解】因为1 i 是关于 x的方程 2 0x ax b 的一个根, RbRa , , 所以1 i 是关于 x的方程 2 0x ax b 的一个根, 于是有 1 i 1 i 2 4 1 i 1 i 2 a a a b b b ,故选:D 4.D【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算 sin cos ,cos sin ,再根据和 角公式计算即可.【详解】因为 1sin( ) sin cos cos sin 6 , 又 tan 2 tan ,即 sin 2sin cos cos ,则 sin cos 2cos sin , 所以 1 1sin cos , cos sin 3 6 , 故 1 1 1sin( ) sin cos cos sin 3 6 2 .故选:D 5.C【分析】求导,通过赋值逐项判断即可. 【详解】因为 e 1xf x f x ,所以 e 1xf x f , 则 1 e 1f f ,所以 e1 2 f , 则 ee 2 xf x x ,所以 2 2e e1 , 2 e , 2 e e 2 2 f f f .故选:C 6.B【分析】依据题意先将问题等价转化成 13x x 在 1 ,2 2 x 上恒成立,接着将恒成立 答案第 2页,共 7页 问题转化成最值问题 min 1 13 , ,2 2 x x x ,再结合基本不等式即可求解. 【详解】 1 ,2 2 x ,使得 23 1 0x x 成立是真命题, 所以 1 , 2 2 x , 23 1 0x x 恒成立.所以 13x x 在 1 ,2 2 x 上恒成立, 所以 min 1 13 , ,2 2 x x x , 因为 1 13 2 3 2 3x x x x ,当且仅当 13x x 即 3 1 ,2 3 2 x 时等号成立, 所以 min 13 2 3x x ,所以 2 3 ,即实数 的最大值为 2 3 .故选:B. 7.D【分析】转化为直线 l过圆心即 2 3 1a b ,再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为圆 2 2: 2 3 9C x y 关于直线 : 1 0 0l ax by ab 对称, 所以直线 l过圆心 2,3 ,即 2 3 1a b , 则 1 1 1 1 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 a b a b a b a b a b 因为 0ab ,且 2 3 1a b ,所以 0, 0a b , 所以 1 1 2 2 2 4 2 3 2 3 3 3 2 2 3 2 a b b a b a b a b a ,当且仅当 3 2 3 2 a b a b 即 1 1, 4 6 a b 等号成立, 则 1 1 2 3a b 的最小值是 4.故选:D. 8.A【分析】根据对数函数性质判断 1 3x 上 ( )f x 的单调性和值域,结合其区间单调性 及分式型函数的性质,讨论参数确定参数范围. 【详解】当 1 3x 时, 2log ( 1)y x 单调递增且值域为 ( , 2] ,而 ( )f x 在 ( 1, ) 上单 调递增,则 ay x x 在 (3, ) 上单调递增,且3 2 3 3 a a , 当 3 0a 时, ay x x 在 (3, ) 上单调递增,满足题设; 当 0a 时, ay x x 在 ( , )a 上单调递增,此时只需 3a ,即0 9a ; 综上, 3 9a .故选:A 9.ABD【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于 A,因为正实数 ,m n,满足 1m n , 所以 1 2 1 2 23 3 2 2n mm n m n m n m n , 当且仅当 2n m m n 且 1m n ,即 2 1m , 2 2n 时等号成立,故 A正确; 答案第 3页,共 7页 对于 B, 2 2 2m n m n mn m n m n , 则 2m n ,当且仅当 1 2 m n 时等号成立,故 B正确; 对于 C,1 2m n mn , 1 2 mn ,当且仅当 1 2 m n 时等号成立, 所以 mn 的最大值为 1 2 ,故 C错误;对于 D,由 2 2 2 2 m n m n ,可得 2 2 2 1 2 2 m n m n , 当且仅当 1 2 m n 时等号成立,故 D正确.故选:ABD. 10.ACD【分析】利用辅助角公式及周期公式可得函数解析式,根据三角函数的值域、单 调性、对称性及图象变换一一判定选项即可. 【详解】易知 sin 3cos 2sin 3 f x x x x ,其最小正周期为 2 T , 所以 2 ,即 2sin 2 3 f x x ,显然 2f x ,故 A正确; 令 2 2 , 2 , Z 3 2 2 12 12 x k k x k k k , 显然区间 , 3 6 不是区间 , Z 12 12 k k k 的子区间,故 B错误; 令 2 0 6 3 x x ,则 ,0 6 是 f x 的一个对称中心,故 C正确; 将 2cos2y x 的图象向右平移 12 个单位得到 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 12 6 2 6 3 y x x x x f x , 故 D正确. 故选:ACD 11.BD【分析】对应 ( )f x 求导,根据其符号确定单调区间并判断极值点、求极值判断 ABC; 进而求函数在 0,2 上的最大值判断 D. 【详解】由题设 2( ) 3 4 (3 4)( 1)f x x x x x , 令 ( ) 0f x ,则 4 3 x 或 1x ,令 ( ) 0f x ,则 4 1 3 x , 所以 4( , ) 3 、 (1, ) 上 ( )f x 递增, 4( ,1) 3 上 ( )f x 递减, 故 4 104 3 27 f 为极大值, 5(1) 2 f 为极小值,A、C错误,B正确; 在 0,2 上, ( )f x 在[0,1)上递减,在 (1, 2]上递增,而 (0) 0 (2) 2f f , 答案第 4页,共 7页 所以 f x 在 0,2 上的最大值为 2,D正确.故选:BD 12. 3 1 /1 3 【分析】对原函数进行求导, 1x 代入得出切线斜率.曲线 f x 在 1x 处 的切线倾斜角为 3 可得出斜率.构造关于 a的方程,解方程即可. 【详解】曲线 2 ln xf x x a 的导数 1 2xf x x a , ∵曲线 f x 在 1x 处的切线的倾斜角为 3 ,∴ 21 1 3f a , ∴ 2 3 1 a ,∴ 3 1a 故答案为: 3 1 . 13. 0, 12 【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系,结合正弦型函数的单调性进行求 解即可.【详解】因为函数 ( ) sin ( 0) 3 f x x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 , 所以 2 1 2 2 ,解得 2 ,即 sin 2 3 f x x , 因为 ( )f x 在 ( , )m m 上是增函数,则 0m ,所以函数 sin 2 3 f x x 的增区间包含0, 令 2 2 3 2 x ,得 5 12 12 x , 所以 5 , , 12 12 m m ,所以 5 , 12 , 12 m m 故m的取值范围为 0, 12 .故答案为: 0, 12 14. 3【分析】先求出角A的大小,由 1 sin 2 S bc A ,考虑余弦定理建立 ,b c的方程,再由 基本不等式求bc的最大值.【详解】解析:因为 ( )(sin sin ) ( )sina b A B c b C , 根据正弦定理可知 (a b)( ) (c b)a b c ,即 2 2 2b c a bc , 由余弦定理可知 1cos 2 A ,又 (0, )A ,故 3 A ,又因为 2a ,所以 2 2 4b c bc , 2 24 2b c bc bc bc bc (当且仅当b c 时取等号),即 4bc 所以 1 1 3sin 4 3 2 2 2 S bc A ,即 ABCV 面积的最大值为 3,故答案为: 3 . 15.(1) 2 3 (2) 3【分析】(1)利用三角形面积公式及余弦定理计算即可; (2)利用余弦定理先求 c,结合平面向量数量积公式及其运算律计算即可. 【详解】(1)由三角形面积公式及条件可知: 2 2 24 3 2 sinS b a c ac B , 由余弦定理知 2 2 2 2 cosb a c ac B ,所以 3 cos sin tan 3B B B , 答案第 5页,共 7页 因为 0, B ,所以 2 3 B ; (2)结合(1)的结论,根据余弦定理有 2 2 2 22 cos 2 24 0a c b ac B c c , 所以 4c ,易知 2BD BA BC uuur uur uuur , 所以 2 2 2 14 2 16 4 2 2 4 12 2 BD BA BC BA BC , 即 3BD . 16.(1) 3 A (2)5 7 【分析】(1)利用内角和为180 化简 sin sinB C A ,利用二倍角 公式化简 2 1 cossin 2 2 A A ,再利用辅助角公式化简即可求得 3 A ; (2)由面积公式和余弦定理,联立方程组求解三角形即可. 【详解】(1)因为A, B,C为 ABCV 的内角,所以 sin sinB C A , 因为 2 1 cossin 2 2 A A ,所以 2sin 2 3 sin 2 AB C 可化为: sin 3 1 cosA A , 即 sin 3 cos 3A A ,即 3sin 3 2 A ,因为 4 , 3 3 3 A ,解得: 2 + 3 3 A ,即 3 A . (2)由三角形面积公式得 1 1 3 21sin 2 2 7 b c A a , 3b 代入得:1 1 3 213 sin 2 3 2 7 c a , 所以 7 2 a c ,由余弦定理 2 2 2 2 72 cos 4 a b c bc A c 得: 2 4 12 0c c , 解得: 2c 或 6c 舍去,即 7a ,所以 ABCV 的周长为5 7 . 17.(1) 5, 4 (2) ( )f x 有最大值,最大值为 e 【分析】(1)求导,得到 2 1 0x x a 恒成立,根据根的判别式得到不等式,求出 a的 取值范围; (2)求导,得到函数单调性,从而求出函数的最大值. 【详解】(1)因为 2( ) exf x a x x ,所以 2( ) 1 exf x x x a , 因为 ( )f x 在 R 上单调递减,所以 2 1 0x x a 恒成立, 所以 2( 1) 4( 1) 0a , 5 4 a ,所以 a的取值范围是 5, 4 . (2)当 1a 时, 2( ) 1 exf x x x , 2( ) 2 e ( 1)( 2)ex xf x x x x x , 令 ( ) 0f x ,解得 ( 2,1)x ,令 ( ) 0f x ,解得 1, , 2x , 答案第 6页,共 7页 所以当 ( 2,1)x 时, ( )f x 单调递增,当 (1, )x , , 2x 时, ( )f x 单调递减, 当 , 2x 时, ( ) (1) ef x f ,又 , 2x 时, 2( ) 1 e 0 exf x x x , 所以 ( )f x 有最大值,最大值为 e. 18.(1)极小值 1 e ,无极大值;(2) 2e 4 a . 【分析】(1)求出函数 ( )f x 的导数,结合几何意义求出 a,再分析单调性求出极值. (2)由函数零点的意义,等价变形得 2 exa x 在 (0, ) 只有一解,转化为直线与函数图象只 有一个交点求解. 【详解】(1)函数 2 )( ) (exf x x ax 的定义域为 R,求导得 2( ) ( 1) e 3xf x x ax , ( 1) 3f a , 依题意, ( 1) 0f ,则 0a , ( ) e , ( ) (1 )ex xf x x f x x , 当 1x 时, ( ) 0f x ,当 1x 时, ( ) 0f x , 因此函数 ( )f x 在 ( , 1) 上单调递减,在 ( 1, ) 上单调递增, 所以函数 ( )f x 在 = 1x 处取得极小值 1( 1)f e ,无极大值. (2)函数 2 )( ) (exf x x ax 在 (0, ) 只有一个零点,等价于 2exy ax 在 (0, ) 只有一个 零点,设 2( ) exg x ax ,则函数 ( )g x 在 (0, ) 只有一个零点,当且仅当 ( ) 0g x 在 (0, ) 只 有一解,即 2 exa x 在 (0, ) 只有一解,于是曲线 2 e ( 0) x y x x 与直线 y a 只有一个公共点, 令 2 e( ) ( 0) x x x x ,求导得 3 e ( 2)( ) x xx x ,当 2x 时, ( ) 0x ,当 2x 时, ( ) 0x , 因此函数 ( ) x 在 (0,2)上单调递减,在 (2, ) 上单调递增, 函数 ( ) x 在 2x 取得极小值同时也是最小值 2e(2) 4 , 当 0x 时, ( )x ;当 x 时, ( )x , 画山 2( ) xex x 大致的图象,如图, ( )g x 在 (0, ) 只有一个零点时, 2e(2) 4 a , 答案第 7页,共 7页 所以 ( )f x 在 (0, ) 只有一个零点吋, 2e 4 a . 19.【详解】(1)由 2( ) 0x y 可知, 2 2 2 0x y xy ,当且仅当 x y 时取“ ” , 所以 2 2 2x y xy . (2)因为 2 2 2 2 2 2 2 2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y a b ax by ay bx , 由(1)可得 2 2( ) ( ) 2ay bx axby ,当且仅当 ay bx 时取“ ”, 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )x y a b ax by ay bx ax by axby ax by , 所以 2 2 2 2 2( )( ) ( )x y a b ax by ,当且仅当 ay bx 时取“ ”. (3)当 x, y, a, 0b 时, 因为 2 2 2 2 2 2( )x y bx aya b x y a b a b , 由(1)可得 2 2 2bx ay xy a b ,当且仅当 ay bx 时取“ ” 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( )x y bx aya b x y x y xy x y a b a b , 所以 2 2 2( )x y x y a b a b ,当且仅当 ay bx 时取“ ”. (4)①由(2)可知 2 2 2 2 2(2 ) (1 1 ) ( 2 )a b a b ,当且仅当 2a b 时取“ ”, 即 24 ( 2 )a b ,所以 2 2 2a b ②因为 1 1 2 2 1 2 1 41 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 a a a b a a a a a a , 由(3)可得: 21 21 1 4 51 1 2 1 2 4 2 2 4 2 4 a a b a a a a , 当且仅当 4 2 4a a ,即 2 1, 3 3 a b 时,等号成立, 故 1 2 1 a a b 的最小值为 5 4 .一、 单项选择题 (40分) 二、 多项选择题 (18分) 三、 填空题 (15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 第1页（共6页） 缺考填涂标记 武强中学2024--2025学年度上学期期中考试高三数学答题卡 姓名：　　　　　　　　　　     考号：　　　　　　　　　　 1、主观题必须使用0.5毫米黑色签 字笔填写。 2、不得使用涂改液、修正带。 3、不得在打分框内书写、涂抹。 4、保持卡面清洁，不要折叠，不 要弄破。 贴条形码区 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 12.　　　　　　　　　　　 13.　　　　　　　　　　　 14.　　　　　　　　　　　 四、 解答题 (77分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 第2页（共6页） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 第3页（共6页） 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 第4页（共6页） 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 第5页（共6页） 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 第6页（共6页） 19.(17分)