专题5.1 解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组（八大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题5.1 解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】 【题型5遮挡问题】 【题型6 相同的解】 【题型7 错解】 【题型8 二元一次方程组新定义问题】 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 【典例1】解方程组： (1)； (2)． 【变式1-1】解下列方程组： (1) ； (2)． 【变式1-2】解方程组： (1) (2) 【变式1-3】解二元一次方程组： (1) (2)． 【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】 【典例2】先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为； 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 【变式2-1】阅读材料：善于思考的小军在解方程时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即， 把方程①代入③得：， 得， 将，代入①得， 方程组的解为， 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程； (2)已知，满足方程组，求的值． 【变式2-2】阅读下列文字，体会其中的数学思想方法：善于思考的小高同学在解关于m，n的方程组时，把，分别看成一个整体，令，，原方程组化为解得∴解得∴原方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”． (1)应用：已知方程组的解是则关于m，n的二元一次方程组 的解是______． (2)迁移：请用换元法解方程组：； (3)拓展：若关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的方程组 的解． 【变式2-3】阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________； (2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； (3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______． 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】 【典例3】换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元）．则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可． (1)请用换元法解方程组． (2)某食堂红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份．位同学一起去食堂吃饭，若位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；若位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元．如果小肖同学和小洁同学两人共打了两份红烧肉，一份辣椒炒肉，两份土豆丝，那么两人共需要付多少元？ 【变式3-1】阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代的它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，则方程组的解为 ． 【变式3-2】阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【变式3-3】阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】 【典例4】已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式4-1】已知方程组的解满足方程，则的值等于（ ） A．3 B． C． D．4 【变式4-2】关于，的方程组的解满足，则的值为 【变式4-3】若关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为 ． 【题型5遮挡问题】 【典例5】如果方程组的解为，则被“○”和“■”遮挡的两个数分别是（    ） A．7，9 B．9，7 C．1，－1 D．－1，1 【变式5-1】亮亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和☆，请你帮他找回这两个数，“●”“☆”表示的数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】方程组的解为则被遮盖的两个数Δ,□分别为（     ） A．1，2 B．1，3 C．2，4 D．1，5 【变式5-3】已知方程组的解为由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，则 ． 【题型6 相同的解】 【典例6】已知关于，的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求，的值． 【变式6-1】已知关于x、y的方程组和的解相同，则代数式值为 ． 【变式6-2】已知方程组与方程组解相同． (1)求a，b的值 (2)求的值． 【变式6-3】已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【题型7 错解】 【典例7】小明和小文同解一个二元一次方程组，小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． (1)求原方程组中a，b的值； (2)求原方程组的解． 【变式7-1】两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为． (1)求m和n的值； (2)求方程组的正确的解． 【变式7-3】一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得解为，小文把方程②抄错，求得的解为，求的值． 【题型8 二元一次方程组新定义问题】 【典例8】对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，． (1)求、的值； (2)若，，求的值． 【变式8-1】对于有理数定义一种新运算“※”：规定．例如：． (1)若，，求的值； (2)在（）的条件下，试说明：． 【变式8-2】对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若关于的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解 【变式8-3】对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】 【题型5遮挡问题】 【题型6 相同的解】 【题型7 错解】 【题型8 二元一次方程组新定义问题】 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 【典例1】解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法或加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）先化简方程组为，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 解得：， 把代入，①得 解得：， ∴； （2）解：化简整理，得， 由，得， 解得：， 把代入①，得， ∴． 【变式1-1】解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴； （2）， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴． 【变式1-2】解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法进行计算即可； （2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得． 【详解】（1）解：， ，， 解得， 把代入①，， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 化简方程组可得，， 得，， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为． 【变式1-3】解二元一次方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）按照的方法消元解方程组即可； （2）先整理原方程组得到，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】 【典例2】先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为； 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先根据题意由①得到③，再把③代入②得到，据此求出，再把代入①求出x即可得到答案． 【详解】解： 由①得③， 把③代入②得：，即，解得， 把代入③得：，解得， ∴方程组的解为． 【变式2-1】阅读材料：善于思考的小军在解方程时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即， 把方程①代入③得：， 得， 将，代入①得， 方程组的解为， 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求出的值即可． 【详解】（1）解：将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：由①得：， ， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：，即． 【变式2-2】阅读下列文字，体会其中的数学思想方法：善于思考的小高同学在解关于m，n的方程组时，把，分别看成一个整体，令，，原方程组化为解得∴解得∴原方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”． (1)应用：已知方程组的解是则关于m，n的二元一次方程组 的解是______． (2)迁移：请用换元法解方程组：； (3)拓展：若关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的方程组 的解． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组．理解题目中阅读材料：代入法解一元二次方程是解题的关键． （1）由题意，得，解得∶ 即可． （2）先将原方程变形为，再设， ，得到，解得：，则有，银之即可． （3）先将方程组，变形为 则，解之即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得∶ ， 故答案为：． （2）解：变形，得， 设， ， 则， 解得： ∴ 解得∶ ． ∴原方程组的解为． （3）解：先将方程组，变形为 ∵二元一次方程组的解是， ∴， ∴． ∴关于m，n的方程组的解为：． 【变式2-3】阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________； (2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； (3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，会利用题中换元方法解方程组是解答的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可； （2）根据（1）中的解得到，进而求解即可； （3）根据（1）中的解得到，进而解方程组即可求解． 【详解】（1）解：， 得，则， 得，则， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）解：设，， 则原方程组化为，解得， ∴，解得， ∴原方程组的解为； （3）解：原方程组可化为 设，， 则原方程组化为，解得， ∴，即 得，则， 得，则， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】 【典例3】换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元）．则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可． (1)请用换元法解方程组． (2)某食堂红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份．位同学一起去食堂吃饭，若位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；若位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元．如果小肖同学和小洁同学两人共打了两份红烧肉，一份辣椒炒肉，两份土豆丝，那么两人共需要付多少元？ 【答案】(1) (2)两人共需要付元 【分析】（1）根据材料提示，设，，解关于的二元一次方程组，求出的值，再代入，，即可求解； （2）根据题意中的数量关系列方程组，再运用换元法求解即可． 【详解】（1）解：， 设，， ∴原方程组可化为，解得， ∴，解得， ∴原方程组的解为． （2）解：红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份，位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元， ∴， 设，， ∴原方程组可化为，解得， ∴， ∴（元）， ∴两人共需要付元． 【点睛】本题主要考查换元法解复杂的二元一次方程组，理解题目中换元法，掌握解方程的计算方法是解题的关键． 【变式3-1】阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代的它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，则方程组的解为 ． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案. 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：∵关于x，y二元一次方程组的解为， ，解得：. 【点睛】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便，快捷. 【变式3-2】阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. 【变式3-3】阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组： （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，则可化为，且解为则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， ， 解得：， ∴原方程组的解为 ； （2）解：在中，令，， 则可化为， ∵方程组解为， ∴， ， 故答案为：． 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】 【典例4】已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数性质，即互为相反数的两个数相加等于0；二元一次方程组的解，方程组的解即能使方程组中两方程成立的未知数的值．将k看作已知数，表示出，利用列出方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵ ∴得：，即， ∵x，y互为相反数， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 【变式4-1】已知方程组的解满足方程，则的值等于（ ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是二元一次方程组含参数问题，利用整体思想解决问题是解题的关键． 先把两个方程相加得到：，得到，结合已知条件，消去x，y，从而可得答案． 【详解】解： 得： ∵ ∴ 故选：D． 【变式4-2】关于，的方程组的解满足，则的值为 【答案】3 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解本题的关键．由可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：3 【变式4-3】若关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据已知方程组的解可得所求方程组的解为，求解即可． 【详解】由题意得：方程组的解为， 解得： 故答案为：． 【题型5遮挡问题】 【典例5】如果方程组的解为，则被“○”和“■”遮挡的两个数分别是（    ） A．7，9 B．9，7 C．1，－1 D．－1，1 【答案】A 【分析】将x=-2代入方程2x+y=5中，求出■=9，将x=-2，y=9代入方程x+y=○中，求出○=-2+9=7． 【详解】解：将x=-2代入方程2x+y=5中，得-4+y=5， 解得y=9，即■=9， 将x=-2，y=9代入方程x+y=○中，得○=-2+9=7， 故选：A． 【点睛】此题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． 【变式5-1】亮亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和☆，请你帮他找回这两个数，“●”“☆”表示的数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解满足方程组，将代入②时，求出y，再代入①式即可得到答案 【详解】解：∵方程组的解为， ∴，解得：， 将，代入①式得， ， 故选：A． 【变式5-2】方程组的解为则被遮盖的两个数Δ,□分别为（     ） A．1，2 B．1，3 C．2，4 D．1，5 【答案】D 【详解】把 代入 得， ，所以Δ的值 为1； 把代入 得， 的值为5. 故选案选D. 【变式5-3】已知方程组的解为由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组的解的定义得到满足方程，于是把代入得到，可解出y的值，再将代入，求得●为6，即可求解．使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的未知数的值叫二元一次方程组的解． 【详解】解：把代入得，解得， ∴▲为． 再把代入，得， ∴●为6， ∴ 故答案为：4． 【题型6 相同的解】 【典例6】已知关于，的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求，的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是同解方程组的含义与解法，熟练的建立新的方程组是解本题的关键； （1）由题意可得方程组，再整理为，再利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入方程和中，再建立方程组解题即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的公共解为：； （2）解：将代入方程和中， 得， 得：， 把代入④得：， 解得． 【变式6-1】已知关于x、y的方程组和的解相同，则代数式值为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，根据方程组解的定义得到解相同得新方程组和，先求解方程组得x、y的值，再代入方程组中求出a、b，最后代入得结论． 【详解】 解：关于x、y的方程组和的解相同， ∴方程组和的解也相同． 解方程组，得． 把代入方程组， 得． 解这个方程组，得． ∴ ． 故答案为：24． 【变式6-2】已知方程组与方程组解相同． (1)求a，b的值 (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题考查同解方程组问题，以及代数式求值，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值． （1）因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可； （2）根据（1）的结论代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 将代入， 得：， 解得：， （2）解： 【变式6-3】已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含有a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 把代入得：， ∴ ． 【题型7 错解】 【典例7】小明和小文同解一个二元一次方程组，小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． (1)求原方程组中a，b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1) (2)原方程组的解为 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与看错方程问题，将错解代入未看错的方程求出a、b的值是解决此题的关键． （1）把代入②得，把代入①得，③、④联立成方程组，求出a、b的值即可； （2）把代入原方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：把代入②得， 把代入①得， ③、④联立成方程组， 解得： ． （2）解：把代入原方程组得， ，得： ， 解得： 把代入①得 所以原方程组的解为． 【变式7-1】两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a， b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 【变式7-2】嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为． (1)求m和n的值； (2)求方程组的正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键． （1）由于嘉嘉把方程①抄错，求得解满足方程②，淇淇把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值， （2）将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案． 【详解】（1）嘉嘉把方程①抄错，求得解为， 满足方程②， 即； 又淇淇把方程②抄错，求得的解为， 满足方程①， 即； 因此有， 解得； （2）所以原方程组可变为， 即， ①②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， 原方程组的正确的解为． 【变式7-3】一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得解为，小文把方程②抄错，求得的解为，求的值． 【答案】29 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，根据一个方程抄错则另一个方程没有抄错，得到关于的二元一次方程组，计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， 把代入， 可得， 故的值是29． 【题型8 二元一次方程组新定义问题】 【典例8】对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，． (1)求、的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组： （1）根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据新定义的法则，结合，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 得，， 整理得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴； （2）根据题意得， ， 解得． 【变式8-1】对于有理数定义一种新运算“※”：规定．例如：． (1)若，，求的值； (2)在（）的条件下，试说明：． 【答案】(1)，； (2)说明见解析． 【分析】（）根据有理数的新定义运算列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解； （）由（）可得，进而根据新定义运算求出，即可求证； 本题考查了有理数的新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， 即，； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若关于的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由题意得：的解为， 由方程组得：， ∴，即， 解得：． 【变式8-3】对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：（1）由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由题意得：的解为， 由方程组得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$