专题5.2 二元一次方程组的实际应用（十大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题5.2 二元一次方程组的实际应用（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 数字问题】 【题型2 年龄问题】 【题型3 配套问题】 【题型4 鸡兔同笼问题】 【题型5 牛羊值金问题】 【题型6 几何问题】 【题型7 球赛积分问题】 【题型8 盈不足问题】 【题型9 销售问题】 【题型10 方案问题】 【题型1 数字问题】 【典例1】一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【变式1-1】已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，则这首歌的歌词的字数是 ． 【变式1-2】一个三位数，十位数字比个位数字大1，百位数字是个位数字的2倍，把百位数字与个位数字对调，得到的三位数比原来的三位数小297，则原三位数为 ． 【变式1-3】一个两位数，十位数字比个位数字大3，若将十位数字和个位数交换位置，所得的新两位数比原两位数的多15，求这个两位数． 【题型2 年龄问题】 【典例2】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【变式2-1】一天，小杨问数学老师有多少岁了，老师想了想，说：“我像你这么大时，你才4岁；你到我这么大时，我就40岁了．”根据语境，若设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】小芳与妈妈的年龄和是50岁，5年后，妈妈的年龄是小芳年龄的3倍，求小芳和妈妈的年龄各是多少．若设小芳岁，妈妈岁，则可列方程组为 ． 【变式2-4】南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一，因疫情原因停办了好几年，今年正月又重新举行，吸引了众多的海内外游客参与．其中一位34岁的男子带着他的两个孩子参与了拔拔灯活动，下面是记者与两个孩子的对话： 记者：两位小朋友，你们几岁了？这么小就来拔拔灯了． 妹妹：我比哥哥少4岁； 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加．恰好等于爸爸的年龄； 根据对话内容，请你用方程（组）的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄． 【题型3 配套问题】 【典例3】2023年杭州亚运会期间，吉祥物琮琮、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套．求所购进的玩偶和钥匙扣的个数． 【变式3-1】一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】服装车间有70名工人，缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条，设名工人缝制上衣，名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了25块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式．A方式：裁剪成9个圆形底面和1个侧面．B方式：裁剪成4个侧面．C方式：裁剪成12个圆形底面，如下图．已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有4块金属板材按C方式裁剪．    (1)设有x块金属板材按A方式裁剪，y块金属板材按B方式裁剪．则可以裁剪出圆形底面共 　 　个（用含x的代数式表示），侧面共 　 个（用含x，y的代数式表示）； (2)这批金属板材最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？ 【题型4 鸡兔同笼问题】 【典例4】“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？ 【变式4-1】第一道鸡兔同笼问题收录于《孙子算经》：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是现在笼子里既有鸡又有兔，有35个头，94只脚，设有鸡、兔各为x，y只，那么下列选项中，方程组列正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】某校组织学生参加数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 于潇 王晓林 李毅 (1)观察、分析表格提供的数据可知：答对题得______分，答错题扣______分； (2)若设答对题数是，得分为，请用含的代数式表示； (3)参赛者李小萌得了分，求他答对了几道题； (4)参赛者马小虎说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【题型5 牛羊值金问题】 【典例5】我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 【变式5-1】在数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛五，羊二，值金十九两；牛二羊五，值金十六两，问牛羊各值金几何？”译文：“五头牛和两只羊共值金19两，两头牛和五只羊共值金16两，问牛和羊各值金多少两？”请你解决这个问题． 【变式5-2】我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【变式5-3】我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，求每头牛、每只羊各值多少两银子？ 【题型6 几何问题】 【典例6】如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【变式6-1】如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为，求每块小长方形墙砖的长和宽．    【变式6-2】如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和一块正方形无缝隙拼合而成，则图中阴影部分的面积为多少？ 【变式6-3】在大长方形中，放入九个相同的小长方形，数据如图所示，请求出小长方形的长和宽． 【变式6-3】刘爷爷计划在一块长为，宽为的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形来种植番茄（阴影部分），其余部分种植辣椒．已知正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积． 【题型7 球赛积分问题】 【典例7】篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜场得分，负场得分．小组积分赛中，每个队伍要进行场比赛． (1)队胜了场，那么他们负了 场，积分是 分． (2)队总积分为分，那么队胜负场数分别是多少？ 【变式7-1】．“篮球赛场见真章，明德学子展风采”．第七届“明德杯”篮球赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜1场得2分，负1场得1分．小组积分赛中，每个队伍要进行24场比赛． (1)“卧龙队”胜了16场，负了______场，积分是______分． (2)“雄鹰队”总积分为43分，那么“雄鹰队”胜负场数分别是多少？ 【变式7-2】“篮球赛场见真章，明德学子展风采”．在第七届“明德杯”篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．在小组积分赛中，每个队伍要进行18场比赛． (1)若“卧龙队”共胜了12场，求该队获得的总积分． (2)若“雄鹰队”总积分为32分，则该队胜、负场数分别是多少？ 【变式7-3】问题：在篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ (1)若设该队胜x场，负y场，用含有x，y的式子表示下面的量： ①该队一共比赛的场数是___________场； ②该队共获得积分是________分； (2)根据（1），列出问题中的等量关系，得到方程组为_____________. (3)求解（2）中的方程组． 【题型8 盈不足问题】 【典例8】《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【变式8-1】我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．”大意为：今有若干户人家共同买牛，若每7家共出190个钱，则少330个钱：若每9家共出270个钱，则多30个钱．问共同买牛的家数和牛价各是多少？请你解决上述问题． 【变式8-2】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”请解答上述问题． 【变式8-3】《孙子算经》是中国古代的数学著作，成书大约一千五百年前．卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，其中“物不知数”的问题．在西方的数学史里被称为“中国的剩余定理”．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，向木条长多少尺？” 【题型9 销售问题】 【典例9】2024“全民健身活力中国”汉方普惠杯——聊城莘县赛区海选，参赛者为了购买服装，在某商厦购买商品，共三次，只有一次购买时，商品，同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品，的数量和费用如下表： 购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 9 8 1062 (1)参赛者按打折扣价购买商品A，是第______次购买； (2)求商品A，的标价； (3)若商品A，的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？ 【变式9-1】今年春季，蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元．请解答下列问题： (1)求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩？ (2)如果茄子和西红柿每亩地的利润分别为1.4万元和1.6万元，那么种植场在这一季共获利多少万元？ 【变式9-2】小明在某商店购买商品共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品的数量和费用如表： 购买商品 的数量（个） 购买商品 的数量（个） 购买总费用/元 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 9 8 1062 (1)求商品的标价； (2)若商品的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【变式9-3】为减少库存，某商店举行了促销优惠活动．打折前，购买6个A商品和5个B商品，总费用为114元；3个A商品和7个B商品，总费用为111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品，总费用为141.6元． (1)求打折前A商品和B商品的单价； (2)若A商品和B商品的折扣相同，则该商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？ 【题型10 方案问题】 【典例10】“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【变式10-1】蔬菜大王小明牛年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨，用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜40吨，计划同时租用A型车x辆，B型车y辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【变式10-2】我县某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用2辆A型车和1辆B型车载满萝卜，一次可运走10吨；若租用1辆A型车和2辆B型车载满萝卜，一次可运走11吨，现有萝卜31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜．根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？请你直接写出所有的租车方案． 【变式10-3】杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进、两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） 种大米 20 30 种大米 30 45 (1)该超市在3月份购进、两种大米共70袋，进货款恰好为1800元． ①求这两种大米各购进多少袋； ②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． (2)超市决定在4月份销售、两种大米共盈利100元（，两种品种都有购进），请你帮助设计一下进货方案，并写出来． 【变式10-4】某网购平台决定将进价共500元的甲、乙两款老年手机同时上架销售，其中将甲款手机按的利润定价，乙款手机按的利润定价．在实际销售过程中，平台将两款手机均按九折出售，这样仍可获利157元，求甲、乙两款手机的进价各分别为多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 二元一次方程组的实际应用（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 数字问题】 【题型2 年龄问题】 【题型3 配套问题】 【题型4 鸡兔同笼问题】 【题型5 牛羊值金问题】 【题型6 几何问题】 【题型7 球赛积分问题】 【题型8 盈不足问题】 【题型9 销售问题】 【题型10 方案问题】 【题型1 数字问题】 【典例1】一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位数字比个位数字大2得到方程，根据将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66可得方程，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为． 【变式1-1】已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，则这首歌的歌词的字数是 ． 【答案】84 【分析】设这首歌的歌词的字数的十位数字为x，个位数字为y，由题意：十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设这首歌的歌词的字数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得：， 解得：， 即这首歌的歌词的字数为84， 故答案为：84． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式1-2】一个三位数，十位数字比个位数字大1，百位数字是个位数字的2倍，把百位数字与个位数字对调，得到的三位数比原来的三位数小297，则原三位数为 ． 【答案】643 【分析】设原三位数的个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为，由题意：十位数字比个位数字大1，把百位数字与个位数字对调，得到的三位数比原来的三位数小297，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设原三位数的个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为， 由题意得：， 解得：， ∴， 即原三位数为643， 故答案为：643． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式1-3】一个两位数，十位数字比个位数字大3，若将十位数字和个位数交换位置，所得的新两位数比原两位数的多15，求这个两位数． 【答案】63 【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意列二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意得， 解得：， ∴这个两位数为63． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 【题型2 年龄问题】 【典例2】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【变式2-1】一天，小杨问数学老师有多少岁了，老师想了想，说：“我像你这么大时，你才4岁；你到我这么大时，我就40岁了．”根据语境，若设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁，根据“我像你这么大时，你才4岁；你到我这么大时，我就40岁了”列方程组即可． 【详解】解：设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁， 由题意得：， 故选：D． 【变式2-3】小芳与妈妈的年龄和是50岁，5年后，妈妈的年龄是小芳年龄的3倍，求小芳和妈妈的年龄各是多少．若设小芳岁，妈妈岁，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握方程组的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ． 故答案为：． 【变式2-4】南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一，因疫情原因停办了好几年，今年正月又重新举行，吸引了众多的海内外游客参与．其中一位34岁的男子带着他的两个孩子参与了拔拔灯活动，下面是记者与两个孩子的对话： 记者：两位小朋友，你们几岁了？这么小就来拔拔灯了． 妹妹：我比哥哥少4岁； 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加．恰好等于爸爸的年龄； 根据对话内容，请你用方程（组）的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄． 【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁． 【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁， 根据题意得：， 解得：， 答：今年妹妹6岁，哥哥10岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型3 配套问题】 【典例3】2023年杭州亚运会期间，吉祥物琮琮、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套．求所购进的玩偶和钥匙扣的个数． 【答案】购进50个玩偶，100个钥匙扣 【分析】设购进x个玩偶，y个钥匙扣， 利用总价=单价×数量，结合购进玩偶和钥匙扣数量间的关系，即可列出关于的二元一次方程组，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设购进x个玩偶，y个钥匙扣， ∵一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣， ∴购进钥匙扣的数量是购进宸宸玩偶数量的2倍， ∴； ∵一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，且店家共花费5000元， ∴． ∴根据题意可列出方程组 ． 解得 ∴购进50个玩偶，100个钥匙扣 【变式3-1】一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设用x 张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意得：， 故选：B． 【变式3-2】服装车间有70名工人，缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条，设名工人缝制上衣，名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“服装车间有70名工人，缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条”，可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】服装车间有70名工人， ∴； ∵缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条， ∴． 根据题意可列二元一次方程组． 故选：D． 【变式3-3】某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了25块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式．A方式：裁剪成9个圆形底面和1个侧面．B方式：裁剪成4个侧面．C方式：裁剪成12个圆形底面，如下图．已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有4块金属板材按C方式裁剪．    (1)设有x块金属板材按A方式裁剪，y块金属板材按B方式裁剪．则可以裁剪出圆形底面共 　 　个（用含x的代数式表示），侧面共 　 个（用含x，y的代数式表示）； (2)这批金属板材最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？ 【答案】(1)； (2)60个 【分析】由题意，明确等量关系，建立二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：由题意，可以裁剪出圆形底面共个，侧面共个； （2）依题意得：，解得：， ∴． 答：最多能加工60个圆柱形茶叶盒． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意明确等量关系是解题的关键． 【题型4 鸡兔同笼问题】 【典例4】“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？ 【答案】笼中有12只鸡，13只兔 【分析】根据“上有二十五头，下有七十六足”，得出关于，的二元一次方程组，解之即得． 【详解】设笼中有只鸡，只兔． 由题意得： 解得： 答：笼中有12只鸡，13只兔． 【点睛】本题考查二元一次方程组的鸡兔同笼问题，找出等量关系并根据生活常识列出方程组是解题关键． 【变式4-1】第一道鸡兔同笼问题收录于《孙子算经》：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是现在笼子里既有鸡又有兔，有35个头，94只脚，设有鸡、兔各为x，y只，那么下列选项中，方程组列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目的等量关系．根据“鸡的数量兔的数量，鸡的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组． 【详解】解：设有鸡、兔各为x，y只， 根据题意，可列方程组为， 故选：D． 【变式4-2】某校组织学生参加数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 于潇 王晓林 李毅 (1)观察、分析表格提供的数据可知：答对题得______分，答错题扣______分； (2)若设答对题数是，得分为，请用含的代数式表示； (3)参赛者李小萌得了分，求他答对了几道题； (4)参赛者马小虎说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5；1 (2) (3)答对了道题 (4)不可能，见解析 【分析】（1）设答对一题得分，答错一题扣分，根据题意得：，进行计算即可得； （2）若答对道题，得分为分，则答错道题，依题意得：； （3）根据（2）中的所得y与x的关系式，将代入计算即可得； （4）令，即，进行计算即可得． 【详解】（1）解：设答对一题得分，答错一题扣分，根据题意得： ， 解得：， 即答对一题得分，答错一题得分， 故答案为：；； （2）解：若答对道题，得分为分，则答错道题，依题意得： ； （3）解：依题意得： ， 解得：， 即他答对了道题； （4）不可能，理由如下： 解：依题意，得： ， 解得：， 不为整数， 参赛者马小虎不可能得0分． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找出等量关系列出方程． 【题型5 牛羊值金问题】 【典例5】我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 【答案】(1)每头牛3两银子，每只羊2两银子； (2)方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用11两银子买牛和羊，列出二元一次方程，然后求出满足条件的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得： ， 解得：， 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子； （2）解：设购买m头牛，n只羊， 依题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ∴商人有2种购买方法：方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．． 【变式5-1】在数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛五，羊二，值金十九两；牛二羊五，值金十六两，问牛羊各值金几何？”译文：“五头牛和两只羊共值金19两，两头牛和五只羊共值金16两，问牛和羊各值金多少两？”请你解决这个问题． 【答案】牛和羊各值金3两、2两 【分析】设牛和羊各值金x、y两，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】设牛和羊各值金x、y两， 根据题意有：， 解得：， 答：牛和羊各值金3两、2两． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出方程组，是解答本题的关键． 【变式5-2】我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【答案】(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子 (2)购买头牛，只羊；购买头牛，只羊． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买头牛，只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的倍，得，然后求出满足条件的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值两银子，每只羊值两银子； （2）设购买头牛，只羊， 依题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 为的倍数， 羊的数量不少于牛数量的倍， ， 或， 商人有种购买方法： 购买头牛，只羊； 购买头牛，只羊． 【变式5-3】我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，求每头牛、每只羊各值多少两银子？ 【答案】每头牛值两银子，每只羊值两银子 【分析】设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 【详解】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 依题意得：， 解得：． 答：每头牛值两银子，每只羊值两银子． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以，解题的关键是找准数量关系． 【题型6 几何问题】 【典例6】如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【答案】可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【变式6-1】如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为，求每块小长方形墙砖的长和宽．    【答案】长为，宽为 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，由图可知，小长方形墙砖的长是宽的4倍，小长方形墙砖的长加宽为，设每块小长方形墙砖的长为，宽为，列出方程组求解即可． 【详解】解：设每块小长方形墙砖的长为，宽为． 由题意得， 解得 ， 答：小长方形墙砖的长为，宽为． 【变式6-2】如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和一块正方形无缝隙拼合而成，则图中阴影部分的面积为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可知长加上宽的两倍等于15，长为宽的三倍，据此列出方程组求解即可． 【详解】解；设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得，， 解得， ∴阴影部分的正方形边长为， ∴阴影部分的面积为：． 【变式6-3】在大长方形中，放入九个相同的小长方形，数据如图所示，请求出小长方形的长和宽． 【答案】小长方形长为8，宽为3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设小长方形长为x，宽为y，根据长加宽的3倍等于17，长加宽的4倍等于20列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形长为x，宽为y， 由题意得，， 解得：， 答：小长方形长为8，宽为3． 【变式6-3】刘爷爷计划在一块长为，宽为的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形来种植番茄（阴影部分），其余部分种植辣椒．已知正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积． 【答案】种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点，设小长方形的宽为，长为，再结合图形可得方程组，然后解方程组求出的值，进而即可得解，结合图形找出等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】设小长方形的宽为，长为， 根据题图，得， 解得， 种植番茄的面积为， 种植辣椒的面积为， 答：种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为． 【题型7 球赛积分问题】 【典例7】篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜场得分，负场得分．小组积分赛中，每个队伍要进行场比赛． (1)队胜了场，那么他们负了 场，积分是 分． (2)队总积分为分，那么队胜负场数分别是多少？ 【答案】(1)，； (2)队胜了场，负了场． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题． （1）由题意知队负了场，再由积分规则计算即可得到队积分为分； （2）设队胜了场，负了场，由等量关系列方程组求解即可解得答案． 【详解】（1）解：每个队伍要进行场比赛， 队胜了场，负了（场）， （分）， 队积分为分， 故答案为：，； （2）解：设队胜了场，负了场， 由题意可得，解得， 答：队胜了场，负了场． 【变式7-1】．“篮球赛场见真章，明德学子展风采”．第七届“明德杯”篮球赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜1场得2分，负1场得1分．小组积分赛中，每个队伍要进行24场比赛． (1)“卧龙队”胜了16场，负了______场，积分是______分． (2)“雄鹰队”总积分为43分，那么“雄鹰队”胜负场数分别是多少？ 【答案】(1)8，40 (2)“雄鹰队”胜了19场，负了5场 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题． （1）由题意知“卧龙队”负了（场，再由积分规则计算即可得到“卧龙队”积分为40分； （2）设“雄鹰队”胜了场，负了场，由等量关系列方程组求解即可解得答案． 【详解】（1）解：每个队伍要进行24场比赛， “卧龙队”胜了16场，负了（场）， （分）， “卧龙队”积分为40分， 故答案为：8，40； （2）解：设“雄鹰队”胜了场，负了场， 由题意可得，解得， 答：“雄鹰队”胜了19场，负了5场． 【变式7-2】“篮球赛场见真章，明德学子展风采”．在第七届“明德杯”篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．在小组积分赛中，每个队伍要进行18场比赛． (1)若“卧龙队”共胜了12场，求该队获得的总积分． (2)若“雄鹰队”总积分为32分，则该队胜、负场数分别是多少？ 【答案】(1)“卧龙队”获得总积分为30分 (2)“雄鹰队”胜了14场，负了4场 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，二元一次方程组的实际应用： （1）根据得分规则，列出算式进行计算即可； （2）设“雄鹰队”胜了场，负了场，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：∵每个队伍要进行18场比赛，“卧龙队”胜了12场， ∴负了场， 分， ∴“卧龙队”获得总积分为30分． （2）设“雄鹰队”胜了场，负了场． 由题意，得 解得 答：“雄鹰队”胜了14场，负了4场． 【变式7-3】问题：在篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ (1)若设该队胜x场，负y场，用含有x，y的式子表示下面的量： ①该队一共比赛的场数是___________场； ②该队共获得积分是________分； (2)根据（1），列出问题中的等量关系，得到方程组为_____________. (3)求解（2）中的方程组． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据某队在10场比赛中得到16分，列出方程组即可； （3）用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：①该队一共比赛的场数是场； ②该队共获得积分是分． 故答案为：①；②． （2）解：∵某队在10场比赛中得到16分， ∴； 故答案为：． （3）解：， 得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列方程组． 【题型8 盈不足问题】 【典例8】《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【答案】(1) (2)共有7人；物品的价格为53元 【分析】本题考查一元一次方程以及二元一次方程的实际应用． （1）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组； （2）根据总钱数不变列式求解即可得到答案． 【详解】（1） 解：表示的方程是； （2）解：设有人，则物品的价格为钱，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：共有7人；物品的价格为53元． 【变式8-1】我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．”大意为：今有若干户人家共同买牛，若每7家共出190个钱，则少330个钱：若每9家共出270个钱，则多30个钱．问共同买牛的家数和牛价各是多少？请你解决上述问题． 【答案】共有126家共同买牛，牛价为3750个钱 【分析】设有x家，牛价为y个钱，然后根据题意可列二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设有x家，牛价为y个钱，根据题意，得： ， 解得：， 答：共有126家共同买牛，牛价为3750个钱． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意． 【变式8-2】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”请解答上述问题． 【答案】共7人合伙购物，物价是53钱 【详解】设物价为x钱，人数为y人，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又会差4钱，”列出方程组，即可求解． 解：设共人合伙购物，物价是钱， 依题意得：， 解得：． 答：共7人合伙购物，物价是53钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式8-3】《孙子算经》是中国古代的数学著作，成书大约一千五百年前．卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，其中“物不知数”的问题．在西方的数学史里被称为“中国的剩余定理”．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，向木条长多少尺？” 【答案】木条长6.5尺． 【分析】设绳子长x尺，木条长y尺，根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设绳子长x尺，木条长y尺， 依题意得：， 解得：． 答：木条长6.5尺． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型9 销售问题】 【典例9】2024“全民健身活力中国”汉方普惠杯——聊城莘县赛区海选，参赛者为了购买服装，在某商厦购买商品，共三次，只有一次购买时，商品，同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品，的数量和费用如下表： 购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 9 8 1062 (1)参赛者按打折扣价购买商品A，是第______次购买； (2)求商品A，的标价； (3)若商品A，的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)三 (2)商品A的标价为90元/个，商品的标价为120元/个 (3)商店是打6折出售这两种商品的. 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）根据图表可得第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以以折扣价购买商品A、B是第三次购物； （2）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，列出方程组求出x和y的值； （3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费1062元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：参赛者按打折扣价购买商品A，是第三次购买； （2）解：设商品A的标价为元/个，商品的标价为元/个， 根据题意得：， 解得， 经检验，方程组的解符合题意. 答：商品A的标价为90元/个，商品的标价为120元/个； （3）解：设商店是打折出售这两种商品的， 由题意得， 解得， 答：商店是打6折出售这两种商品的． 【变式9-1】今年春季，蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元．请解答下列问题： (1)求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩？ (2)如果茄子和西红柿每亩地的利润分别为1.4万元和1.6万元，那么种植场在这一季共获利多少万元？ 【答案】(1)茄子和西红柿的种植面积各为11亩，4亩； (2)21.8万元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设茄子和西红柿的种植面积各为x亩，y亩，根据蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元列出方程组求解即可； （2）根据（1）所求，列式计算即可． 【详解】（1）设茄子和西红柿的种植面积各为亩，亩，得： ，     解得：，     答：茄子和西红柿的种植面积各为11亩，4亩； （2）（万元），     答：种植场在这一季共获利21.8万元． 【变式9-2】小明在某商店购买商品共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品的数量和费用如表： 购买商品 的数量（个） 购买商品 的数量（个） 购买总费用/元 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 9 8 1062 (1)求商品的标价； (2)若商品的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)商品的标价为90元，商品的标价为120元 (2)商店是打6折出售这两种商品的 【分析】（1）设商品的标价元，商品的标价为元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设商店是打折出售这两种商品的，由打折之后购买9个商品和8个商品共花费1062元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）由表中数据可知，小明以折扣价购买商品是第三次购物． 设商品的标价为元，商品的标价为元， 由题意得：， 解得：， 答：商品的标价为90元，商品的标价为120元； （2）解：设商店是打折出售这两种商品的， 由题意得：， 解得：， 答：商店是打6折出售这两种商品的． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式9-3】为减少库存，某商店举行了促销优惠活动．打折前，购买6个A商品和5个B商品，总费用为114元；3个A商品和7个B商品，总费用为111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品，总费用为141.6元． (1)求打折前A商品和B商品的单价； (2)若A商品和B商品的折扣相同，则该商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？ 【答案】(1)商品的单价为9元，商品的单价为12元； (2)八折；35.4元的优惠． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，根据“打折前，购买6个A商品和5个B商品，总费用为114元；3个A商品和7个B商品，总费用为111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设商店打m折出售这两种商品，根据“打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元”，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用获得的优惠＝不打折时购买这些商品所需费用﹣打折后购买这些商品所需费用，即可求出结论． 【详解】（1）解：设打折前商品的单价为元，商品的单价为元． 依题意，得，解得 故打折前商品的单价为9元，商品的单价为12元． （2）设该商店打折出售这两种商品． 依题意，得，解得． （元）． 故该商店打八折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠． 【题型10 方案问题】 【典例10】“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送 (2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆 (3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车7辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车4辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元． 【变式10-1】蔬菜大王小明牛年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨，用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜40吨，计划同时租用A型车x辆，B型车y辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送4吨 (2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用4辆A型车，7辆B型车；方案2：租用8辆A型车，4辆B型车；方案3：租用12辆A型车，1辆B型车． (3)费用最少的租车方案为：租用4辆A型车，7辆B型车，最少租车费为1240元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设1辆A型车载满蔬菜一次可运送a吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送b吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨，用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据一次运送40吨蔬菜，即可得出关于的二元一次方程，根据均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆车的租金租车数量，可分别求出三种租车方案的租车费，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满蔬菜一次可运送a吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送b吨， 依题意得：， 解得：． 答：1辆A型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送4吨． （2）解：依题意得：， ． x，y均为正整数，且x是4的倍数， 或或， 该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用4辆A型车，7辆B型车； 方案2：租用8辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用12辆A型车，1辆B型车． （3）解：方案1所需租车费为（元）； 方案2所需租车费为（元）； 方案3所需租车费为（元）． ， 费用最少的租车方案为：租用4辆A型车，7辆B型车，最少租车费为1240元． 【变式10-2】我县某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用2辆A型车和1辆B型车载满萝卜，一次可运走10吨；若租用1辆A型车和2辆B型车载满萝卜，一次可运走11吨，现有萝卜31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜．根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？请你直接写出所有的租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满萝卜一次可运送3吨，1辆B型车载满萝卜一次可运送4吨 (2)该物流公司共有3种租车方案，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设1辆A型车载满萝卜一次可运送x吨，1辆B型车载满萝卜一次可运送y吨，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得到，然后由a，b都是正整数求解即可． 【详解】（1）设1辆A型车载满萝卜一次可运送x吨，1辆B型车载满萝卜一次可运送y吨， 依题意得： ，    解得． 答：1辆A型车载满萝卜一次可运送3吨，1辆B型车载满萝卜一次可运送4吨． （2）∵现有萝卜31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆， ∴， ∵a，b都是正整数， ∴当时，；当时，；当时，； ∴该物流公司共有3种租车方案： 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【变式10-3】杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进、两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） 种大米 20 30 种大米 30 45 (1)该超市在3月份购进、两种大米共70袋，进货款恰好为1800元． ①求这两种大米各购进多少袋； ②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． (2)超市决定在4月份销售、两种大米共盈利100元（，两种品种都有购进），请你帮助设计一下进货方案，并写出来． 【答案】(1)①购进A种大米30袋，B种大米40袋；②600元 (2)方案一：购进A种大米1袋，B种大米6袋；方案二：购进A种大米4袋，B种大米4袋；方案三：购进A种大米7袋，B种大米2袋 【分析】（1）①：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，根据题意，列出方程组，即可求解；②设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据“两种大米的销售总额为900元，”可得，即可求解； （2）设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据“销售、两种大米共盈利100元”得到关于x，y的方程，再根据x，y均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解①：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，根据题意得： ， 解得： 答：购进A种大米30袋，B种大米40袋； ②设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据题意得： ， 即， ∴超市3月份已售出大米的进货款为元； （2）解：设购进A种大米x袋，B种大米y袋，根据题意得： ， 整理得：，即， ∴是3的倍数， ∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴方案一：购进A种大米1袋，B种大米6袋； 方案二：购进A种大米4袋，B种大米4袋； 方案三：购进A种大米7袋，B种大米2袋． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式10-4】某网购平台决定将进价共500元的甲、乙两款老年手机同时上架销售，其中将甲款手机按的利润定价，乙款手机按的利润定价．在实际销售过程中，平台将两款手机均按九折出售，这样仍可获利157元，求甲、乙两款手机的进价各分别为多少元？ 【答案】甲、乙两款手机的进价分别为300元和200元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲、乙两款手机的进价分别为x元，y元，根据进价共为500元且共获利157元列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲、乙两款手机的进价分别为x元，y元． 根据题意，得， 解得． 答：甲、乙两款手机的进价分别为300元和200元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$