第二章 图形的轴对称基础知识归纳-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

第二章：图形的轴对称 基本知识归纳 一、轴对称 把一个图形沿某条直线折叠后,得到另一个与它全等的图形,图形的这种变化叫轴对称 二、两个图形关于某条直线成轴对称 1.定义 一个图形以某条直线为对称轴,经过轴对称后,能与另一个图形重合.就说这两个图形成轴对称，重合的点叫对应点. 2.注意点 （1）成轴对称指的是两个图形的一种特殊位置关系 (2)成轴对称的两个图形一定全等,但全等的两个图形不一定成轴对称 (3)运用条件"成轴对称"的格式 ∵△ABC与△A´B´C´成轴对称 ∴△ABC≌△A´B´C´ 三、轴对称的基本性质 1.性质 成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分 符号语言： ∵△ABC与△A´B´C´关于直线L成轴对称 ∴直线L垂直平分AA´ 2.使用范围 该性质不仅适用于成轴对称的两个图形中, 还适用于一个轴对称图形中. 3.根据轴对称的性质作一个已知图形的轴对称图形的步骤 （1）确定已知图形的关键点 （2）画出这些关键点的对称点 （3）依次连接这些对称点 四、在平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特征 1.坐标特征 （1）关于x轴对称的两个点，横坐标不变，纵坐标相反 （2）关于y轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标相反 2.在平面直角坐标系中，作一个图形关于坐标轴的轴对称图形的步骤 (1)求出已知图形的关键点关于坐标轴的对称点坐标 (2)描出这些对称点 (3)依次连接这些对称点 五、轴对称图形 1.定义 一个图形的一部分，以一条直线为对称轴，经过轴对称后能与另一部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 2.两个图形成轴对称与轴对称图形的区别与联系 区别： （1）两个图形成轴对称是指两个图形之间的一种特殊的位置关系；而轴对称图形是指一种具有特殊形状的图形 （2）成轴对称的两个图形只有一条对称轴，而轴对称图形可有多条对称轴 联系： （1）沿对称轴折叠，对称轴两旁的部分能完全重合. （2）若把成对轴对称的两个图形看作一个整体，则它是一个轴对称图形，反之若把一个轴对称图形沿对称轴分开，则这两个图形一定关于某条直线成轴对称 六、线段的垂直平分线 1.定义 垂直并平分一条线段的直线叫这条线段的垂直平分线 2.性质 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ∵直线L是线段AB的垂直平分线 ∴MA=MB 3.判定方法 （1）根据定义判断 （2）到线段两端距离相等的点一定在此线段的垂直平分线上 符号语言： ∵CA=CB ∴C点在AB的垂直平分线上 ∵DA=DB ∴D点在AB的垂直平分线上 ∴直线CD点是AB的垂直平分线 4.题目中“垂直平分线”这个条件的使用 （1）∵CD┴AB ∴∠COA=90° （2）∵CD平分AB ∴OA=OB （3）∵CD垂直平分AB ∴CA=CB 5.尺规作图 （1）作一条线段的垂直平分线 已知:线段AB 求作:线段AB的垂直平分线CD 作法: ①分别以点A，点B为圆心， 以大于 AB为半径作弧，两弧交于C,D两点. ②过C,D两点作直线CD 则CD就是所求作的直线 （2）过直线上一点作已知直线的垂线 已知:直线L及直线上一点P 求作：过点P作直线L的垂线CD 作法： ①以点P为圆心，任意长为半径作弧，与直线L交于点A,B. ②作线段AB的垂直平分线 则CD就是所要求作的直线 （3）过直线上一点作已知直线的垂线 已知:直线L及直线外一点P 求作：过点P作直线L的垂线CD 作法： ①以点P为圆心，大于P点到L的距离为半径作弧，与直线L交于点A,B. ②作线段AB的垂直平分线 则CD就是所要求作的直线 七、“将军饮马”数学模型 1.模型条件 已知直线L与直线L同侧两点A与B, 在直线L上求作一点P，使AP+BP的值最小. 2.作法 (1)作点A关于直线L的对称点A´ (2)连接A´B,与直线L交于点P, 则P点就是所求作的点. 八、角的平分线 1. 性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 ∵OM是∠AOB的平分线, PE┴OA,PF┴OB, ∴PE=PF 2. 判定方法 到角两边距离相等的点一定在该角的平分线上. ∵PE┴OA,PF┴OB，PE=PF ∴OP是∠AOB的平分线 3. 尺规作图（作角的平分线） 已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线OP 作法： （1）以点A为圆心，以适当的长为半径， 交角的两边于E,F两点. (2）分别以点E,F为圆心，以大于EF 为半径作弧，两弧交于点P. （3）作射线OP 则射线OP就是所求作的图形. A C B 九、等腰三角形 1.性质 （1）等腰三角形是轴对称图形 （2）等边对等角 ∵AB=AC ∴∠B=∠C （3）“三线合一”的性质D A C B 等腰三角形底边上的高，中线以及 顶角平分线相互重合. ① ∵AB=AC,AD┴BC ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD ②∵AB=AC,AD是中线 ∴AD┴BC,∠BAD=∠CAD ③∵AB=AC,AD是角平分线 ∴BD=CD,AD┴BCA C B 2.判定方法 （1）两边相等的形三角是等腰三角形 ∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 （2）等角对等边 ∵∠B=∠C ∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 3.在等腰三角形中常作的辅助线 （1）作等腰三角形底边上的高 （2）过一腰上一点作另一腰的平行线 (3)延长BA至点D，使AD=AB,连接CD D A C B D A C B (1) (2) (3) 十、等边三角形 1.性质 （1）等边三角形是轴对称图形 （2）“三线合一”的性质 等边三角形每边上的高，中线以及该边所对角 的平分线相互重合.D A C B ① ∵AB=AC,AD┴BC ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD ②∵AB=AC,AD是中线 ∴AD┴BC,∠BAD=∠CAD ③∵AB=AC,AD是角平分线A C B ∴BD=CD,AD┴BC （3）等边三角形三个角都等于60° ∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60° 2.判定方法 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形A C B ∵∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形 （2）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 ∵∠A=60°，△ABC是等腰三角形 ∴△ABC是等边三角形 （3）有两个角为60°的三角形是等边三角形 ∵∠A=∠B=60° ∴△ABC是等边三角形 十一、等腰直角三角形 1.性质 等腰直角三角形两底角都为45° ┐ A C B 2. 对题目中“等腰直角三角形”条件的运用 （1）∵△ABC是直角三角形 ∴∠C=90° (2) ∵CA=CB ∴∠A=∠B (3） ∵△ABC是等腰直角三角形 ∴∠A=∠B=45° 12、 拓展知识 1. 关于坐标轴夹角平分线对称的点的坐标特征 (1)点P（a,b）关于一、三象限夹角平分线的对称点坐标为（b,a） (2)点P（a,b）关于二、四象限夹角平分线的对称点坐标为（-b,-a） 2.坐标轴夹角平分线上的点的坐标特点 （1）一、三象限夹角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同 （2）二、四象限夹角平分线上的点的横坐标与纵坐标相反 3.直角三角形的性质 在直角三角形中，30°的角所对直角边等于斜边的一半. ∵△ABC是Rt△，∠B=30°┐ A C B ∴AC= AB 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$