第二章 图形的轴对称（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

第二章：图形的轴对称 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．首先根据题意及折叠的性质解得，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（    ） A． B．线段，，被直线垂直平分 C． D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、和关于直线对称， ， ，原说法正确，不符合题意； B、和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，原说法正确，不符合题意； C、和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， ∴，原说法正确，不符合题意； D、和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 4．如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（    ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是证明等腰三角形； 根据角平分线的性质和平行线的性质证明和为等腰三角形即可求解． 【详解】∵的平分线，与的外角的平分线相交于点F， ， ∵， ， ， ， 和为等腰三角形， ， ， 故选：C． 5．如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，若的周长为27，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得，再根据三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于， ∴， ∵的周长为27， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．已知点和关于轴对称，则值为（     ） A．0 B． C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据点和关于轴对称，可得，，求出和的值，进一步计算即可． 【详解】解：点和关于轴对称， ，， 解得，， ， 故选：B 7．木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个铅锤如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（    ） A．垂线段最短 B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一，作答即可． 【详解】解：能解释这一现象的数学知识是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合； 故选B． 8．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若点到的距离是，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 过点作，根据平行线的性质可得，又根据角平分线的性质可得，进而可求解． 【详解】解：过点作，如图： 点P到的距离是4， ， ，， ， 和分别平分和， ，， ， 故选：A． 9．如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用轴对称解决线段最短问题， 垂线段最短． 作N关于的对称点，连结，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，最后由的面积求出，即可求解． 【详解】解：如图，作N关于的对称点，连结，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 10 ∴ ∴ 故选B． 10．如图，，均为等边三角形，点A，B，C在同一条直线上，连接，，与相交于点M，与相交于点N，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是可先证明 ． 可先证明可判断①； 再证明≌可判断②；可证明为等边三角形，可判断③；利用等边三角形的三线合一可判断④，最后根据全等的性质得到. 再利用角平分线的判定可求得答案． 【详解】解：∵均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∴， 又由上可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故②正确； 为等边三角形， ， 故③正确； 若则平分， 则，而由条件无法得出这一条件，故④不正确； ， ， ∴点到、的距离相等， ∴点在的平分线上， 即平分，⑤正确； 综上可知正确的有①②③⑤，共个， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11．如图，正六边形和正方形有公共边，连接交于点，则的度数为 ． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正六边形和正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正六边形和正方形的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 根据正六边形的性质得，，再根据正方形性质得，，则，，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：六边形为正六边形， ，， 四边形为正方形， ，， ， 又， ， ． 故选：． 12．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为 ． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用． 当是锐角三角形时，然后证明出，得到，证明出是等边三角形，得到，然后利用三角形内角和定理和等边对等角求解即可，当钝角三角形时，同理求解即可． 【详解】解：如图①：是等腰三角形，，，延长使， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 如图②：是等腰三角形，，，延长使， 同理可得，是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，这个三角形的底角为或． 故选：D． 13．如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为 ．    【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质．利用轴对称的性质得到，，证明的周长，可得结论 【详解】解： P点关于的对称点， ，， 周长， 故答案为：． 14．如图，在中，，，以为圆心，为半径画弧交于，分别以A，D为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质及等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点F作于M，交的延长线于N，根据全等三角形的判定和性质得出，再由角平分线的性质得出，根据三角形等面积法得出，再由各角之间的关系及等角对等边得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作于M，交的延长线于N，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 15．如图，是等边的边上一点，是延长线上一点，连接交于点，，过点作于点，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质与判定，并利用中点构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，证明是等边三角形，得出，再证即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论：，，，，其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，根据全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴可知所在直线垂直平分， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， 由上可知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故正确； 综上：正确， 三．解答题：本小题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，在中，，点D，E在边上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质． （1）由可得到，从而得到，进而根据“”可证得； （2）由，，得到是等边三角形，从而，进而即可解答． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 18．（10分）如图，在中，，点是的中点，且与交于点． (1)证明：； (2)证明：平分． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定； （1）先证明，可得，进一步可得结论； （2）先证明，即，结合，进一步可得结论； 【详解】（1）证明：在与中， ， ， 又， ，即． （2）证明：，点是的中点， ，即， 由（1）知：， ，即， 又， 平分． 19．（12分）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出关于轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于轴对称的； (3)在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标______． 【答案】(1)点，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求解即可； （2）根据轴对称的性质，画出； （3）画出，连接，与轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：与关于轴对称， 点，，． （2）如图，即为所求． （3）如图，点即为所求， 点的坐标为． 故答案为：． 20．（8分）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，求的长. 【答案】6.5cm 【分析】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等以及求得是解题的关键． 根据垂直平分线得到、，结合的周长为得到，再根据的周长为即可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ∴、， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 故选A． 21．（8分）如图，在中，． (1)尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等． (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为3． 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）步骤：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，大于为半径作弧，相交于点；③作射线，交于点，即为所求的平分线，则点D到的距离相等； （2）过点作于点，则，设，根据，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）解：如图所示，过点作于点， 是的角平分线，，， ， 设， 在中，，，， ， ， 解得：， 即的长为3． 22．（12分）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）在上取点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，，由此即可得； （3）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵对角线平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， 由（2）已证：， ∴， ∵对角线平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴． 23．（12分）【探究思考】（1）通过添加辅助线构造“全等三角形”证明线段相等或角相等，是我们常用的方法．已知，如图1，是等边三角形，是的外角的平分线，点D为射线上一点，且，与相交于点E．我们可以过点D作的平行线，交于点G，构造得到________（填两个全等三角形），来证明．请根据以上提示在图1中作出相应的图形．     【问题解决】（2）如图2，在中，，在边上取一点D，以D为顶点，为一条边在的右侧作，点F在延长线上，． 求证：①； ②如图3，当点D在的延长线上时，是否依然成立？请说明理由 【答案】（1） （2）①证明见解析；②依然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． （1）按照要求作图，根据等边三角形的性质，并用证明即可． （2）①过点D作的平行线，交于点，同（1）问，根据等腰三角形的性质，平行线的性质得出与中，有，用证即可得出结论． ②过点D作的平行线，交于点，同（2）问，根据等腰三角形的性质，平行线的性质得出与中，有，用证即可得出结论． 【详解】（1）如图所示，过点D作的平行线，交于点G， ，证明即可． 为等边三角形， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 是的外角的平分线， 又， ，， ， 在与中， ， ， ．    （2）①如图所示，过点D作的平行线，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ， ．    ②依然成立，如图所示，过点D作的平行线，交于点， ， ， ， ， ∴， ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ， ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章：图形的轴对称 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（   ） A． B． C． D． 2．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置．若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（    ） A． B．线段，，被直线垂直平分 C． D．线段所在直线的交点不一定在直线上 4．如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（    ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 5．如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，若的周长为27，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．已知点和关于轴对称，则值为（     ） A．0 B． C．1 D．无法确定 7．木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个铅锤如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（    ） A．垂线段最短 B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 8．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若点到的距离是，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 9．如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．4.5 D．6 10．如图，，均为等边三角形，点A，B，C在同一条直线上，连接，，与相交于点M，与相交于点N，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11．如图，正六边形和正方形有公共边，连接交于点，则的度数为 ． 12．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为 ． 13．如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为 ．    14．如图，在中，，，以为圆心，为半径画弧交于，分别以A，D为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于，，则的长为 ． 15．如图，是等边的边上一点，是延长线上一点，连接交于点，，过点作于点，，则线段的长度为 ． 16．如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论：，，，，其中正确的有（   ） A． B． C． D． 三．解答题：本小题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，在中，，点D，E在边上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 18．（10分）如图，在中，，点是的中点，且与交于点． (1)证明：； (2)证明：平分． 19．（12分）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出关于轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于轴对称的； (3)在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标______． 20．（8分）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，求的长. 21．（8分）如图，在中，． (1)尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等． (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 22．（12分）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 23．（12分）【探究思考】（1）通过添加辅助线构造“全等三角形”证明线段相等或角相等，是我们常用的方法．已知，如图1，是等边三角形，是的外角的平分线，点D为射线上一点，且，与相交于点E．我们可以过点D作的平行线，交于点G，构造得到________（填两个全等三角形），来证明．请根据以上提示在图1中作出相应的图形．     【问题解决】（2）如图2，在中，，在边上取一点D，以D为顶点，为一条边在的右侧作，点F在延长线上，． 求证：①； ②如图3，当点D在的延长线上时，是否依然成立？请说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$