2025届高考数学一轮复习-第4讲基本不等式专项训练

2025高考数学一轮复习-第4讲-基本不等式-专项训练 【A级　基础巩固】 1．若x<0，则关于x＋，下列结论正确的是(　　) A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为－2 D.有最大值，且最大值为－2 2．已知x＞2，则＋x的最小值是(　　) A.2　　　　　　　 B．3 C.4 D．6 3．下列不等式恒成立的是(　　) A.a2＋b2≤2ab B．a2＋b2≥－2ab C.a＋b≥2 D．a2＋b2≤－2ab 4．设f(x)＝ln x，0<a<b，若p＝f()，q＝f，r＝[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是(　　) A.q＝r<p B．p＝r<q C.q＝r>p D．p＝r>q 5．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　) A.2 B．3 C.4 D．5 6．(多选)设a＝log23，b＝log2，则下列关系正确的是(　　) A.ab> B．ab< C.> D．ab> 7．(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　) A.ab有最大值 B.＋有最大值 C.＋有最小值2 D.a2＋b2有最小值 8．(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则(　　) A.a2＋b2≥ B．2a－b＞ C.log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ 9．函数y＝(x>－1)的最小值为________． 10．已知0＜x＜，则x的最大值为________． 11．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________． 12．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润为________万元． 【B级　能力提升】 1．当x＞a时，2x＋的最小值为10，则a＝(　　) A.1 B． C.2 D．4 2．已知m>0，n>0，条件p：2m＋n＝mn，条件q：m＋n≥3＋2，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　) A.6＋2 B．7＋2 C.6＋4 D．7＋4 4．(多选)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A.0<≤ B．＋≥1 C.log2a＋log2b<2 D．≤ 5．(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有(　　) A.(a＋2b)2≥8ab B.＋≥2 C.ab有最大值4 D.＋有最小值9 6．(多选)下列说法正确的是(　　) A.若x，y∈R且x＋y＞4，则x，y至少有一个大于2 B.∀x∈R，＝x C.若1＜a＜3，2＜b＜4，则－2＜2a－b＜4 D.＋的最小值为2 7．已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________． 8．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________． 9．已知a＞0，b＞0，＋＝1，则满足“m＜a＋2b”恒成立的正实数m的一个取值范围是________(用区间表示). 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________． 参考答案 【A级　基础巩固】 1．解析：因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2. 答案：D 2．解析：由x＞2知x－2＞0，则＋x＝＋(x－2)＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝x－2，即x＝4时取“＝”，所以＋x的最小值是6. 答案：D 3．解析：A.显然当a＜0，b＞0时，不等式a2＋b2≤2ab不成立，故A错误； B.∵(a＋b)2≥0，∴a2＋b2＋2ab≥0，∴a2＋b2≥－2ab，故B正确； C.显然当a＜0，b＜0时，不等式a＋b≥2不成立，故C错误； D.显然当a＞0，b＞0时，不等式a2＋b2≤－2ab不成立，故D错误． 答案：B 4．解析：因为0<a<b，所以>. 又因为f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， 所以f>f()，即p<q. 而r＝[f(a)＋f(b)]＝(ln a＋ln b) ＝ln (ab)＝ln ， 所以r＝p，故p＝r<q. 答案：B 5．解析：∵直线＋＝1过点(1，1)，∴＋＝1. 又a，b均大于0，∴a＋b＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立． 答案：C 6．解析：易知a>0，b>0，＝1，a≠b，ab<＝1，ab>⇔a>1，显然成立． 所以>ab>. 答案：BCD 7．解析：正实数a，b满足a＋b＝1，由基本不等式可得ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号，所以ab有最大值，故选项A正确；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋有最大值，故选项B正确；＋＝＝≥4，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋有最小值4，故选项C错误；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥，当且仅当a＝b＝时取等号，所以a2＋b2有最小值，故选项D正确． 答案：ABD 8．解析：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤. 对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确； 对于B，2a－b＝22a-1＝×22a， 因为a＞0，所以22a＞1，即2a－b＞，故B正确； 对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，故C错误；对于D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，得＋≤，故D正确． 综上可知，正确的选项为A，B，D. 答案：ABD 9．解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)， 所以y≥2－2＝0， 当且仅当x＝0时，等号成立． 所以y＝(x>－1)的最小值为0. 答案：0 10．解析：∵0＜x＜，∴1－2x2＞0， x＝·≤·＝， 当且仅当2x2＝1－2x2， 即x＝时等号成立． 答案： 11．解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6， ∴2a＋＝2a＋2-3b≥2 ＝2＝2＝2×2-3＝， 当且仅当即时等号成立． 答案： 12．解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝万元．由于x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元． 答案：8 【B级　能力提升】 1．解析：2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝8＋2a，即8＋2a＝10，故a＝1. 答案：A 2．解析：因为m>0，n>0，由2m＋n＝mn，得＋＝1，则m＋n＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当即m＝＋1，n＝2＋时取等号，因此p⇒q； 因为m>0，n>0，由m＋n≥3＋2，可取m＝1，n＝10， 则2m＋n＝12，mn＝10，此时2m＋n≠mn，因此q⇒/p， 所以p是q的充分不必要条件． 答案：A 3．解析：由log4(3a＋4b)＝log2，得log2(3a＋4b)＝log2(ab)，所以3a＋4b＝ab，即＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥4＋7，当且仅当＝，即a＝2＋4，b＝3＋2时取等号． 答案：D 4．解析：因为a>0，b>0，所以ab≤≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则ab≤＝4或≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则≥，a2＋b2≥8，≤， 当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则log2a＋log2b＝log2ab≤log24＝2， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立； 对于B选项，＋＝＝≥4×＝1， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立． 答案：BD 5．解析：A选项，(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4ab≥2·a·2b＋4ab＝8ab，A正确；B选项，找反例，当a＝b＝2时，＋＝，2＝4，＋＜2，B不正确； C选项，∵a＋b＝4≥2，∴ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，C正确；D选项，＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当a＝，b＝时等号成立，D不正确． 答案：AC 6．解析：对于A，若x，y均不大于2，则x≤2，y≤2，则x＋y≤4，所以x＋y＞4，则x，y至少有一个大于2为真命题，故A正确；对于B，∀x∈R，＝|x|＝故B错误；对于C，由1＜a＜3得2＜2a＜6，由2＜b＜4得－4＜－b＜－2，所以－2＜2a－b＜4，故C正确；对于D，由于≥，函数y＝x＋在[，＋∞)上单调递增，故＋≥＋＝，D错误． 答案：AC 7．解析：因为a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＝2＋，b＝2－或a＝2－，b＝2＋取等号． 答案：4 8．解析：法一：由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝， 由x2≥0，可得y2∈(0，1]， 则x2＋y2＝＋y2＝＝≥·2＝，当且仅当y2＝，x2＝时等号成立， 可得x2＋y2的最小值为. 法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2， 故x2＋y2≥， 当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号， 可得x2＋y2的最小值为. 答案： 9．解析：由题意可知a＋2b＝(a＋2b)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当b＝a＝时取得等号，所以a＋2b≥恒成立，故正实数m的一个范围可以为(0，4). 答案：(0，4) 10．解析：由题意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得ac sin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，＋＝1.因此4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a＝3时取等号，故4a＋c的最小值为9. 答案：9 学科网（北京）股份有限公司 $$