第四章《图形的相似》课后综合练习（1） 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第四章《图形的相似》 课后综合练习题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列各组线段中是成比例线段的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，4cm C．3cm，5cm，9cm，13cm D．1cm，2cm，2cm，3cm 2．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（　　） A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似 4．如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（　　） A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB C．AB•CD＝BD•BC D．BC2＝AC•CD 5．如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F，若，AB＝3，则AF的长为（　　） A．1 B． C． D．2 6．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 7．将一个三角形的各边扩大为原来的2倍，则这个三角形的面积扩大为原来的（　　） A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形．若OB＝2OD，△OCD的周长为3，则△OAB的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．30 9．如图，点C在线段AB上，AC＝2CB，分别以AC，CB为边向上作正方形ACDE和正方形CBFG．取AC中点M，以ME，MF为邻边作▱EMFN，点N恰好在CD的延长线上．连结MD，延长FD交EN于点P，则（　　） A． B． C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABP，连接AC，PD，PC，则下列结论：①∠BCP＝75°；②△ADP≌△BCP；③△ADP和△ABC的面积比为1：2；④S△CDPCP2．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．若，则的值为 　 　． 12．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度AB＝1.6m，淇淇与镜子的水平距离BO＝2m，镜子与旗杆的水平距离DO＝10m．旗杆高度CD为　 　m． 13．如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB＝6，则△DEF移动的距离AD＝　 　． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿着DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，如果AC＝8，BC＝6，那么CD的长为 　 　． 15．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△Bn∁nMn的面积为，则n＝　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．（1）已知：，求的值． （2）已知a：b：c＝2：3：4，a+b﹣c＝6，求a+b+c的值． 17．如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B，AC＝6，AD＝4．求AB的长． 18．如图，AB∥CD∥EF，，BF＝20，求DF的长． 19．西安地处陕西肥沃的关中平原中部，古称长安，是十三朝古都，中华文明的重要发祥地之一，北濒渭河，南依秦岭，山水相连，素有“八水绕长安”的美称．如图，为了测量渭河支流上某段的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，试求该段河的大致宽度PQ． 20．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，并求出：的值． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝∠B． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若AC＝12，BC＝11，CE＝2，求BD的长． 22．8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米； 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，PD＝22.5米．（以上数据均为近似值） （1）嘉嘉发现当BD＝60米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB的高度． （2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB． 23．如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°． （1）求证：△ACD∽△BCE； （2）若AC＝3，AE＝8，求AD． 24．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直． （1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN； （2）当M为BC中点时，求△ADN的面积． 25．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 角平分线分线段成比例定理： 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点E． 任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB＝11，AC＝15，直接写出线段FC的长． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．BCACC． 6-10．BBACD． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．﹣2． 12．8． 13．2． 14．． 15．128． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）设， 则a＝2k，b＝3k，c＝4k， 则； （2）设a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴2k+3k﹣4k＝6， ∴k＝6， ∴a+b+c＝2k+3k+4k＝9k＝9×6＝54． 17．解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵AC＝6，AD＝4， ∴， ∴AB＝9． 18．解：∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵BF＝20，， ∴， 解得：DF＝12.5， 经检验，DF＝12.5是所列方程的解，且符合题意， ∴DF的长为12.5． 19．解：根据题意可知，QR⊥PS，ST⊥PS， ∴QR∥ST， ∴△PQR∽△PST， ∴， ∵QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m， ∴， ∴PQ＝120， ∴该段河的大致宽度PQ为120m． 20．解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1如下： △A1B1C1即为所求； （2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，如图： △A2B2C2，即为所求； ∵△ABC与△A2B2C2是位似图形， ∴△ABC∽△A2B2C2，且相似比位1：2， ∴S△ABC：1：4， ∵△ABC≌△A1B1C1， ∴S△ABC， ∴：1：4． 21．（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE， ∵∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△CDE； （2）解：∵AB＝AC，AC＝12， ∴AB＝12， 由（1）知，△ABD∽△CDE， ∴即， ∴BD＝3或8． 22．解：（1）∵∠CDQ＝∠B＝90°，∠CQD＝∠AQB， ∴△CDQ∽△ABQ， ∴， ∵CD＝2m，QD＝3m，QB＝63m， ∴， 解得：AB＝42m， 答：飞虹塔AB的高度是42米； （2）设BD＝x m，依据题意得： QB＝（3+x）m，PB＝（22.5+x）m， ∵∠EFP＝∠B＝90°，∠P＝∠P， ∴△EFP∽△ABP， ∴， ∵EF＝CD＝2m，PF＝4m， ∴， ∴， ∵△CDQ∽△ABQ， ∴， ∴， 解得：x＝55.5， 经检验：x＝55.5是原方程的解， ∴AB＝39m； 答：飞虹塔的大致高度为39m． 23．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°， ∴，∠BAC＝60°，∠BAE＝90°， ∴， ∴， ∵∠ACB＝∠ECD， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE． （2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝3，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝6， 在Rt△ABE中，∵∠BAE＝90°，AB＝6，AE＝8， ∴BE10， ∵△ACD∽△BCE， ∴， ∴AD． 24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∵AM⊥MN， ∴∠AMN＝90°， ∴∠CMN+∠AMB＝90°， ∵∠MAB+∠AMB＝90°， ∴∠CMN＝∠MAB， ∴Rt△ABM∽Rt△MCN； （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∵M为BC中点时， ∴BM＝CM＝2， ∵Rt△ABM∽Rt△MCN， ∴， ∴， ∴CN＝1， ∴DN＝3， ∴△ADN的面积为． 25．任务一、证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E， ∵CE∥AD， ∴BD：CD＝AB：AE，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴； 任务二、解：∵AD是△ABC的平分线， ∴， ∵AB＝11，AC＝15， ∴； 设BD＝11a，则CD＝15a， ∴BC＝26a， ∵点E是BC的中点， ∴CEBC＝13a， ∵EF∥AD， ∴FC：AC＝EC：CD，即FC：15＝13a：（15a）， 解得FC＝13。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$