精品解析：广东省湛江市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

2025届湛江市普通高中毕业班调研测试 数学试卷 共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直可得数量积为0，求解即可. 【详解】因为，所以，可得，解得. 故选：A. 2. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先解指数函数不等式求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以，则中有2个元素. 故选：B. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B 4. 将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. 68 B. 70 C. 72 D. 74 【答案】C 【解析】 【分析】根据小矩形面积和为1解得的值，再根据频率分布直方图计算平均数即可. 【详解】依题意，，解得， 则平均分为. 故选：C. 5. 已知均为锐角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】思路一：由已知依次求出，，进一步由两角和的余弦公式即可求解；思路二：结合锐角三角函数以及余弦定理即可求解. 【详解】解法一：依题意，，解得， 又，故， 故. 解法二：作出图形如下所示，其中，不妨设， 则，， 故. 故选：C. 6. 中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据浇铸前后体积不变列方程，求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的母线与底面所成角的正切值. 【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，圆锥的底面半径为，高为， 则圆柱的侧面积为，解得，故， 又，则，而，得， 故所求正切值为. 故选:D 7. 已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，从而求得准点到站的概率. 【详解】设事件为“准点到站”，事件为“准点到站”， 依题意，， 而，解得， 而， 则，而，解得. 故选：B 8. 已知，若关于的方程有两个不同的正根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简方程，利用换元法、构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】依题意，，，则， 令，显然在上单调递减， 故有两个不同的正根， 令，则，故当时，， 当时，， 故， 又时，时，， 故，解得. 故选：C 【点睛】方法点睛：换元法与构造函数法：通过换元将原方程转换为新的变量形式，再构造适当的函数进行分析，结合导数来判断函数的单调性和取值范围.换元法和构造函数法是处理复杂方程和不等式问题的有效方法. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，可能有，故A错误； B选项，若，则，而，则，所以B正确. C选项，若，可能，则未必有，故C错误. D选项，若，则，而，则，所以D正确. 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为的图象的一个对称中心 C. 在上单调递增 D. 将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角函数的周期性、对称性、单调性、图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数，最小正周期，故A正确； ，则为的图象的一个对称中心，故B正确； 时，，易知在上先减后增， 故在上先减后增，故C错误； ， 在同一直角坐标系中分别作出与的大致图象如下所示， 观察可知，它们有3个交点，故D错误. 故选：AB 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（ ） A. B. 若，则直线倾斜角的正弦值为 C. 若的面积为6，则直线的斜率为 D. 过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义、弦长、面积、圆的切线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，则，则，故，故A正确； 设直线，联立则， 设，则， 故.， 解得，则直线倾斜角的正弦值为，故B错误； ，解得， 则直线的斜率为，故C正确； 由上述分析可知，， 圆可化为，圆心，半径， 易知为其中一条切线，切点为，且两切点连线与垂直， ，两切点连线的斜率为， 故两切点连线为， 即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛： 联立方程法求交点：通过设定直线方程并联立抛物线方程，得到交点的坐标表达式．这是求解涉及两条曲线交点时的基本方法． 面积与斜率的关系：在C选项的分析中，利用三角形面积公式推导出直线的斜率，通过面积与几何图形特性的关系有效求解参数． 圆的切线与切点方程：在D选项的分析中，使用圆的标准方程，通过作切线与圆心的垂直关系，找到切点并确定切线方程． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】解法一：. 解法二：. 故答案为： 13. 已知，若函数存在最小值，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，首先由二次函数性质确定上的单调性和最值，再讨论参数a，结合的单调性及存在最小值，求参数范围. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 若，在上单调递增，其值域为， 此时不存在最小值，不符合； 若，则在上，此时存在最小值，满足； 若，在上单调递减，其值域为， 此时，要使函数存在最小值，只需，即，故； 综上，实数a的取值范围. 故答案为：. 14. 已知双曲线的焦距为，直线与的交点为，若点到的左焦点的距离不小于点到的右焦点的距离的5倍，则C的离心率最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和几何性质，结合题意，列出不等式，解出离心率的最大值即可. 【详解】记的左焦点和右焦点分别为，，因为直线过点，所以①， ②，联立①②，解得 ，，故， 解得，则的离心率的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面四边形为矩形，平面，为等腰直角三角形，为棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:因为平面平面，所以， 因为平面平面， 所以平面. 因为平面，所以； 而为等腰直角三角形，且为棱的中点，故. 而平面平面，所以平面. 而平面，故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设平面的法向量为， 所以 令，得，故平面的一个法向量为. 设直线与平面的夹角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间. （2）先求得，然后根据既有极大值，又有极小值，结合一元二次方程根的分布列不等式，由此求得实数的取值范围. 【小问1详解】 时，， ， 令，解得（负值舍去）， 故当时，单调递减， 当时，单调递增， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 依题意，， 令，则问题转化为有两个不同的正根， 故解得， 故实数的取值范围为. 17. 已知椭圆过点. （1）求的方程； （2）已知过点的直线与交于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线斜率不存在时，通过两点的坐标来进行判断，当直线斜率存在时，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根于系数，求得，结合来求得直线的方程. 【小问1详解】 依题意， 解得，故的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，， 代入椭圆方程得， 此时，不合题意舍去； 当的斜率存在时，设直线的方程为， 由得， 则， ， ， 则， 解得，故直线的方程为或. 【点睛】方法点睛： 代入法求椭圆方程：通过将已知点代入椭圆的标准方程，求得具体的参数值，这是求解椭圆方程的基本方法. 联立方程法求交点：在小问2中，通过设定直线方程并与椭圆方程联立，求得交点坐标，这是求解直线与椭圆关系的常用方法. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求的大小； （2）若，求的最大值； （3）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，正弦定理，两角和的正弦公式，即可求解； （2）利用正弦定理边化角，结合三角函数的性质，即可求解； （3）利用正弦定理角化边，结合余弦定理，三角形面积公式，即可求解. 【小问1详解】 依题意，， 而，故， 则，则， 由正弦定理，得， 而，则， 因为，故，则. 【小问2详解】 由正弦定理，， 故，， 则 ，其中， 故的最大值为. 【小问3详解】 依题意，，由正弦定理，得， 设，， 由余弦定理，，得， 而，得，故，， 则. 19. 若数列满足：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，，则称数列具有“收缩性质”.已知数列具有“收缩性质”. （1）若，求的值构成的集合； （2）若，使得，证明：为整数； （3）若，求的值构成的集合. 【答案】（1） （2）证明：依题意，为3的倍数（）， 当为奇数时，； 当为偶数时，则为偶数，， 故是3的倍数， 以此类推，，都是3的倍数； 另一方面，当时，由于 当为3的倍数时，可知也是3的倍数， 以此类推，，都是3的倍数， 综上所述，为整数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“收缩性质”逐步求得. （2）根据“收缩性质”，先判断出，都是3的倍数，然后判断出，都是3的倍数，从而得到为整数. （3）先判断出数列具有周期性，判断出数列有最小值，判断出数列的最小值为或，由此进一步确定的值构成的集合. 【小问1详解】 当为奇数时，为偶数；， 当为偶数时，， 因为，则为偶数，则， 若为奇数，则，不符合题意， 所以为偶数，则. 若为奇数，则； 若为偶数，则； 所以的值构成的集合为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，故数列具有周期性， 由条件（1）可知，数列一定有最小值，设为，下证或3. 当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾，所以是奇数； 不妨设，则是偶数，， 假设，则，与是最小值矛盾， 综上，只能是小于5的正奇数，即1或3； 当数列中出现1时，后面的项为循环； 当数列中出现3时，后面的项为循环； 所以数列具有周期性时，只能为中某一个数. 经检验，当时，. 【点睛】方法点睛： 解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届湛江市普通高中毕业班调研测试 数学试卷 共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. （ ） A. B. C. D. 4. 将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. 68 B. 70 C. 72 D. 74 5. 已知均为锐角，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若关于的方程有两个不同的正根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为的图象的一个对称中心 C. 在上单调递增 D. 将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（ ） A. B. 若，则直线倾斜角的正弦值为 C. 若的面积为6，则直线的斜率为 D. 过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 13. 已知，若函数存在最小值，则实数a的取值范围为__________. 14. 已知双曲线的焦距为，直线与的交点为，若点到的左焦点的距离不小于点到的右焦点的距离的5倍，则C的离心率最大值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面四边形为矩形，平面，为等腰直角三角形，为棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围. 17. 已知椭圆过点. （1）求的方程； （2）已知过点的直线与交于两点，若，求直线的方程. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求的大小； （2）若，求的最大值； （3）若，且，求的面积. 19. 若数列满足：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，，则称数列具有“收缩性质”.已知数列具有“收缩性质”. （1）若，求的值构成的集合； （2）若，使得，证明：为整数； （3）若，求的值构成的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $