2024-2025学年人教版数学八年级上册专题训练07 压轴题 平面直角坐标系结合几何图形

专题07 压轴题 平面直角坐标系结合几何图形 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒． （1）OA＝________，OB＝_________． （2）连接PB，若△POB的面积为3，求t的值； （3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样点P，使△EOP≌△AOB，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，以线段为边在第一象限内作等边，点D为x轴正半轴上一动点且在点C的右侧，连结，以线段为边在第一象限内作等边，直线与y轴交于点A，，求点C的坐标； 3．如图1，点、分别在轴负半轴和轴正半轴上，点，，且．    (1)求点的坐标； (2)、分别交坐标轴于、，求证：； (3)连接，如图2，求证：． 4．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为、、，过点A作交于D点，交y轴正半轴于点E． (1)如图，当时，求E点的坐标； (2)如图，连接OD，求的度数； (3)如图，已知点，若，，直接写出Q的坐标（用含t的式子表示）． 5．如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上． (1)如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为______； (2)如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围． 6．已知：平面直角坐标系中，点的坐标满足． (1)如图1，求证：是第一象限的角平分线； (2)如图2，过作的垂线，交轴正半轴于点，点分别从两点同时出发，在线段上以相同的速度相向运动(不包括点和点)，过作交轴于点，连，猜想与之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，是轴正半轴上一个动点，连接，过点作交轴正半轴于点，连接，过点点作的角平分线交于点，过点作轴于点，求的值． 7．如图，的和的外角平分线相交于点G．    (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取点H，使得，若的周长等于16，求的长度． 8．中，，过点A作．连接，M为平面内一动点．    (1)如图1，若，则　 　． (2)如图2，点M在上，且于M，过点A作于F，D为中点，连接并延长，交于点；求证： (3)如图3，连接，过点B作于点B，且满足，连接，过点B作于点G，若，求线段的长度的取值范围． 9．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 10．已知直线交x轴于点A（a，o），交y轴下点B（0，b），且a、b满足． （1）求∠ABO的度数； （2）如图1，若点在第一象限，且于点E，延长BE至点D，使得，连、、，试判断△COD的形状，并说明理由； （3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC=CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值． 11．如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于点D，连接OB，OC． （1）可以判断AOD的形状为　　三角形（直接写答案）； （2）若OE平分∠AOB且∠B＝2∠BAO，证明：AO＝BE+OB； （3）如图2，若点B，C关于y轴对称，AO⊥BO，点M为OA上一点，且∠ACM＝45°，点B的坐标为(3，1)，求点M的坐标． 12．如图，直线与x轴交于点，交y轴于点，且满足，C的坐标为，且于点H，交于点P．    (1)如图1，写出点A、B的坐标，并证明； (2)如图2，连接，求证：． 13．如图，E是的外角平分线上一点，且．    (1)求证：； (2)试判断三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)若点P，Q分别在线段上运动（不含端点），的周长是否有最小值？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 14．如图，在中，，，点，点C在y轴正半轴上．    (1)若点，求点B的坐标； (2)若x轴恰好平分，BC交x轴于点D，过点B作轴于点E，，，求的值． 15．如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上载取BF=AC，延长CE至点G使CG=AB，连接AF，AG． (1)如图1，求证：AG=AF；求∠GAF的度数； (2)如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H．直接写出：①图中与AD相等的线段；②图中DH、DF、GH之间的数量关系． 16．如图所示，长方形中，．点P从点A出发沿边向做往返运动，每秒移动，动直线a与边重合，交于点M、于点N．直线a与点P同时出发，沿方向移动，每秒移动，移动t秒，当直线a与边重合时，移动全部停止． (1)用含t的代数式表示的长度： (2)当t为何值时，点P在直线a上； (3)连接，直接写出当t为何值时，与全等． 17．如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．    (1)求证：； (2)如图2，点的坐标为，点为上一点，且，求的长；    (3)在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图，当在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）6，3；（2）t＝4或8；（3）当t＝3或9时，△POQ与△AOB全等 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出m、n； （2）分点P在线段AO上、点P在线段AO的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点P在线段AO上、点P在线段AO的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，|m﹣n﹣3|≥0，（2n﹣6）2≥0， ∴|m﹣n﹣3|＝0，（2n﹣6）2＝0， ∴m﹣n﹣3＝0，2n﹣6＝0， 解得，m＝6，n＝3， ∴OA＝6，OB＝3， 故答案为：6；3； （2）当点P在线段AO上时，OP＝6﹣t， 则×（6﹣t）×3＝3， 解得，t＝4， 当点P在线段AO的延长线上时，OP＝t﹣6， 则×（t﹣6）×3＝3， 解得，t＝8， ∴当t＝4或8时，△POB的面积等于3； （3）如图1，当点P在线段AO上时， ∵△POE≌△BOA， ∴OP＝OB，即6﹣t＝3， 解得，t＝3， 如图2，当点P在线段AO的延长线上时， ∵△POE≌△BOA， ∴OP＝OB，即t﹣6＝3， 解得，t＝9， ∴当t＝3或9时，△POQ与△AOB全等． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质、绝对值的非负性，准确计算是解题的关键． 2． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的特征，根据等边三角形的性质得到，，，进而求得，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平角的定义求出，根据含30度直角三角形特征求解即可． 【详解】解：为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 即点坐标为：． 3．(1) (2)见解析 (3)见解析． 【分析】（1）作轴，轴，通过证明，求解即可； （2）求得，根据三角形面积公式，即可求证； （3）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质，求证即可． 【详解】（1）作轴，轴，如下图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴    （2）证明：如图1，由（1）可得 又∵ ∴ （3）证明：在上截取，连接，如下图：    由题意可得：为等腰直角三角形， 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积，坐标与图形性质的应用，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 4．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据得即可求出点坐标． （2）如图，先过点作于点，作于点，根据，得到，底边，得出，根据角平分线的逆定理进而得到平分，可得； （3）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，可得，，又知在第二象限，从而得． 【详解】（1）解：如图， 当时，点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点坐标． （2）解：如图，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分； ； （3）解：如图，过作轴，过作于，过作于，交轴于， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的逆定理等知识，解题的关键是寻找全等三角形． 5．(1)； (2)，理由见解析； (3)不会变化，． 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过点作轴于，由可证，可得，可求解； （2）延长，交于点，由可证，可得，由可证，可得，可得结论； （3）作轴于，由可证，可得，，由可证，可得，可得，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于， 点的横坐标为， 在和中， ， 故答案为：； （2）， 如图②，延长，交于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）与的面积比不会变化， 理由∶如图③，作轴于， ， 在和中， ， 在和中， ， ． 6．(1)见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据非负性得出，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为进而利用角平分线的性质解答即可； （2）过作平分，交于点，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （3）过作，于，根据全等三角形的判定和性质解答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 如图1，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，则 ∴平分 即是第一象限的角平分线． （2）解：如图2，过作平分，交于点 ∴ ∵ ∴ 在与中 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 设与交于 ∴ ∴ （3）如图3，过作，于，连接 ∵点是的角平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， 在和中， ∴ ∴ 过作轴于轴于， ∵为角平分线， ∴， ∵ ∴， ， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是全等三角形性质和判定的运用． 7．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）过点G作于点H，过点G作于点M，过点G作于点N，根据角平分线的性质得出，，求出，即可证明平分； （3）在上截取，，，证明，得出，，同理证明，，得出，，，，证明，根据，得出，根据，求出，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：过点G作于点H，过点G作于点M，过点G作于点N，如图所示：    ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分； （3）解：在上截取，，，如图所示：    ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定，证明，，． 8．(1)8 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由平行线的性质可得，即可求解； （2）由“”可证，利用全等三角形的性质可得，由“”可证，利用全等三角形的性质可得，可得结论； （3）由“”可证，可得，由三角形的三边关系定理可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：8； （2）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，如图，   ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴当点E，点M，点，三点共线时，最大值为12，最小值为6， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 9．(1)见解析 (2)4 (3)7 【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE； （2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度； （3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，BC=AD=8， ∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点， ∴BQ=CQ=4，CE=2， ∴AB=CQ， ∵PQ=2， ∴BP=2， ∴BP=CE， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP≌△QCE（SAS）， ∴AP=QE； （2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴∠CEQ=45°， 设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x， 在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°， ∴CQ=EC， ∴6-x=2， 解得x=4， ∴BP=4； （3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T， ∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH， ∴PF=8，PH=8， ∴PF=PH， 又∵∠FPH=90°， ∴∠F=∠H=45°， ∵PF⊥AD，CD⊥QH， ∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°， ∴FT=TM=4，CN=CH=3， ∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键． 10．（1）∠ABO的度数为45°；（2）△COD为等腰直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）利用非负数的性质先求解的值，再证明 从而可得答案； （2）先证明∠EBF=∠OAF，再证明：△AOC≌△BOD，可得OC=OD，∠AOC=∠BOD，从而可得：△COD为等腰直角三角形 （3）如图，过作 交的延长线于证明 可得 再证明 可得 再利用两平行线间距离处处相等可得 从而可得 于是可得答案. 【详解】解：（1） 解得： ∠ABO的度数为45° （2）是等腰直角三角形，理由如下：如图所示： ∵， ∴∠EFB+∠EBF=∠OFA+∠OAF 又∵∠OFA=∠EFB ∴∠EBF=∠OAF 在△AOC与△BOD中 ∴△AOC≌△BOD（SAS） ∴OC=OD，∠AOC=∠BOD ∴∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠DOC ∴∠DOC=∠AOB=90° ∴△COD为等腰直角三角形 （3）如图，过作 交的延长线于 是等腰直角三角形， ， 利用两平行线间距离处处相等可得： 【点睛】本题考查的是非负数的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练的运用以上知识解题是解题的关键. 11．（1）等腰；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用已知条件可证明，结合角平分线的定义可得，即可求证； （2）延长到，使,连接，通过证明，即可求解； （3）连接交轴于，作轴于，通过证明，得到，，从而得出结论． 【详解】解：（1）∵AO平分∠BAC， ∴， ∵AC∥y轴， ∴， ∴， ∴， ∴AOD为等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）∵轴， ∴, ∵AO平分∠BAC， ∴， ∴， ∵， 延长到，使,连接， ∴，, ∵, ∴， ∵， ∴， ∴, ∵OE平分∠AOB， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接交轴于，作轴于， ∵点B，C关于y轴对称， ∴轴，轴，，， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴平分 又∵平分 ∴平分 ∴ 又∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ 【点睛】此题考查了几何图形与坐标的综合应用，涉及了轴对称、全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，根据题意构造出合适的全等三角形． 12．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先依据非负数的性质求得、的值从而可得到，然后再，，最后，依据可证明； （2）要证，只需证明平分，过分别作于点，作于点，只需证到，只需证明即可； 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， ∴，， 则． ∵即，， ∴， ∴． 在与中， ， ∴． （2）证明：过分别作于点，作于点．    在四边形中，， ． ， ， 在与中， ， ， ． ，， 平分， ； 【点睛】本题是坐标与图形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义、二次根式及完全平方式的非负性等知识，运用全等三角形的性质则是解决本题的关键． 13．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的周长有最小值，此时的度数为 【分析】（1）由角平分线求得，如图1，在上截取使，则是等边三角形，证明，则； （2）由（1）知，，根据，作答即可； （3）证明是等边三角形，则，如图2，作关于的对称点，关于的对称点，连接交、分别于、，由轴对称的性质可求，的周长为，当四点共线时，的周长最小，然后根据三角形内角和定理，等边对等角，直角三角形两锐角互余角等，计算求解角度即可． 【详解】（1）证明：∵E是的外角平分线上一点，且， ∴， 如图1，在上截取使，则是等边三角形，        ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 如图2，作关于的对称点，关于的对称点，连接交、分别于、，      ∴，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴的周长为， ∴当四点共线时，的周长最小， ∵， ∴， ∴的周长有最小值，此时的度数为． 【点睛】本题考查了角平分线，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，等边对等角．有时构造等边三角形，根据轴对称的性质求解两动点一定点的三角形的周长问题是解题的关键． 14．(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质： （1）过点作轴于，利用证得，进而可得，，进而可求解； （2）延长交的延长线于，根据角平分线的性质及利用证得，进而可得，再利用证得，进而可得，则可得，进而可求解； 熟练掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作轴于，如图：    ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． （2）延长交的延长线于，如图：    ， ， 轴平分 ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即：， ． 15．(1)见解析； (2)①CD，GH；②DH=DF+GH 【分析】（1）先根据余角的性质证明∠ABF=∠ACG，再根据“SAS”证明，从而得出AG=AF，，然后结合三角形外角的性质可得，即可求解； （2）①先根据“ASA”证明，可得AD=CD，根据余角的性质可得∠ABD=∠ECA，再根据“AAS”证明，可得AD=GH，从而得解； ②由①可得BD=CH，然后结合BF=CA得出DF=HA，再结合HD=HA+AD，AD=GH即可得出结论． 【详解】（1）解：∵BD，CE分别是AC，AB边上的高， ∴， ∴，， ∴∠ABD=∠ACE，即∠ABF=∠ACG， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，AG=AF， 又，， ∴， 又BD是高， ∴， ∴； （2）解：①∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵BD是高， ∴∠ADB=∠CDB=， 又BD=BD， ∴（ASA）， ∴AD=CD， ∵BD、CE是高，GH⊥AC， ∴∠ADB=∠AEC=∠H=， ∴∠ABD+∠BAD=，∠ACE+∠BAD=， ∴∠ABD=∠ECA， 又∠ADB=∠H，AB=GC， ∴（AAS）， ∴AD=GH， ∴与AD相等的相等有CD和GH； ②由①知：， ∴BD=CH， 又BF=CA， ∴DF=HA， 又HD=HA+AD，AD=GH， ∴DH=DF+GH． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，正确的识别图形是解题的关键． 16．(1)或； (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意，分两种情况讨论即可求解； （2）由题意可知，当点在直线上时，点与点重合，即，分两种情况讨论，列一元一次方程求解即可； （3）由题意可知，当时，与全等，分两种情况讨论，分别表示出的长，再列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，点每秒运动， 当点沿方向运动时，； 当点沿方向运动时，； 综上可知，的长度为或； （2）解：由题意可知，动直线交于点，沿方向运动，每秒运动， ， 当点在直线上时，点与点重合，即， 当时，此时点沿方向运动，， 则，解得；； 当时，此时点沿方向运动，， 则，解得：， 综上可知，当为或时，点在直线上； （3）解：由题意可知，，， 当时，与全等， 当时，此时点沿方向运动，， ， ， 解得：； 当时，此时点沿方向运动，， ， ， 解得：，此时与不存在，不符合题意， 当为时，与全等． 【点睛】本题考查了动点问题，一元一次方程的应用，全等三角形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 17．(1)见解析 (2)； (3)，证明见解析 【分析】（1）根据角平分线得出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点作于，根据角平分线得出，进而判断出，得出，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）平分， ， 在和中， ， ， ； （2）如图2，    过点作于， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）； 证明：如图3，    在的延长线上取一点，使， 平分，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理，等腰三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$