专题05等边三角形和最短路径（3基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（海南专用）

专题05 等边三角形和最短路径 等边三角形的性质 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）试用学过的知识判断，下列说法正确的是（　） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D．一个等边三角形一定不是钝角三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类、等边三角形的性质、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形，掌握等腰三角形，锐角三角形，钝角三角形的定义是解题的关键． 由等腰三角形，锐角三角形，钝角三角形的定义，即可判断． 【详解】解：A、一个直角三角形有可能是等腰三角形，故A不符合题意； B、一个等腰三角形有可能是锐角三角形，故B不符合题意； C、一个钝角三角形可能是等腰三角形，故C不符合题意； D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，正确，故D符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在等边中，是边上的高，点E在的延长线上，，则的长为（    ） A．4.5 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，由等边三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，因此，即可求出． 【详解】∵是等边三角形，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（23-24八年级上·海南儋州·期末）下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念、等边三角形的性质、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查的是命题的真假判断，等边三角形的定义，全等三角形的概念等知识点，先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、等边三角形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题 B、逆命题：同位角相等，两直线平行 由平行线的判定可知，此逆命题是真命题 C、逆命题：如果一个三角形是锐角三角形，则这两个三角形是等边三角形 由等边三角形的定义可知，此逆命题是假命题 D、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形 由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题 故选：B． 4．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，D是AC的中点，DE⊥BC于E，延长BC到点F，连接DF，若∠F=30°，则EF的长为(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质 【分析】由等边三角形的性质得出∠ACB=∠ABC=60°，AC=BC=4，由直角三角形的性质即可得出CE，则可求出答案． 【详解】在等边△ABC中，有AC=BC=4，∠ACD=60°， ∵∠F=30°， ∴∠CDF=∠ACB-∠F=60°-30°=30°， ∴∠CDF=∠F=30°， ∴CD=CF， 由∵D为AC中点， ∴AD=DC=AC=2， ∴CF=2， 在Rt△DEC中，∠DCE=60°，DC=2， ∴EC=DC=1， ∴EF=EC+CF=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定和解含特殊角的直角三角形等知识，灵活运用定理进行推理是解答本题的关键． 5．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A=20°，则∠1度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．60° 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC=60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ∵△BCD是等边三角形， ∴∠BDC=60°， ∵a∥b， ∴∠2=∠BDC=60°， 由三角形的外角性质和对顶角相等可知，∠1=∠2-∠A=40°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°是解题的关键． 6．（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图，在等边三角形ABC中，延长BA到E，CB到D，让BD＝AE，AD延长线交CE于点F，则∠DFC的度数（    ）． A．45° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、全等三角形综合问题 【分析】根据等边三角形性质，证△ABD≌△CAE，得出∠BAD=∠ACE，利用三角形内角和可求∠DFC的度数． 【详解】解：在等边三角形ABC中， AB=AC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°， ∴∠ABD=∠CAE=120°， ∵BD＝AE， ∴△ABD≌△CAE， ∴∠BAD=∠ACE， ∵∠BAD+∠FAC=120°， ∴∠ACE+∠FAC=120°， ∴∠DFC=60°， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是找到全等三角形，应用全等三角形的性质求角． 7．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知等边，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是 ． 【答案】/15度 【知识点】等边三角形的性质、折叠问题 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，先得出，再求出，由折叠得出，，求出，再得出，求出，进而得出答案． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，点O是等边内一点，连接作等边，连接、、，，． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，得出，即可推出，即可求证； （2）根据全等的性质得出，则，即可得出结论； （3）根据题意得出由图可知，，，．然后进行分类讨论：①当时，，②当时，，③当时，，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （3）解：由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ①当时，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：； ③当时，， ∴， 解得：； 综上：或或． 9．（23-24八年级上·海南·期末）如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接 (1)求证：； 当时，试判断的形状，并说明理由； (2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)见解析，直角三角形，见解析 (2)或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】（1）①根据已知条件即可证明；②然后利用全等三角形的性质可以求出的度数，由此即可判定的形状； （2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解，注意分类讨论． 【详解】（1）解：①证明：和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中，， ； ②是直角三角形．理由如下： ， ， ，， ， 是直角三角形； （2）解：当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， 由（1）①可得， ， ， 又， ； ②当时， 是等边三角形 ， ， 点O在等边三角形的边的中垂线上， ， ， ； ③当时， ，， ， 点O在等边三角形的边的中垂线上， ； 综上所述，为或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在等边中，D、E分别是上的点，且，求的和为多少度？ 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形的性质，得出各角相等各边相等，已知，利用判定，从而得出，所以． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 11．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图1，在四边形ABCD中，，，，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE//AB． (1)判断△DEF的形状，并说明理由； (2)如图2，连接AC交BD于点O． ①求证：； ②若，，求CF的长． 【答案】(1)△DEF是等边三角形，理由见解析 (2)①证明见解析；②CF＝2． 【知识点】等边三角形的判定和性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）先证AABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝∠A＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，进而得到∠CED＝∠ADB＝∠DFE，即可证明结论； （2）①先说明.AC是BD的垂直平分线，进而得到∠BAC＝∠DAC＝30°，再由CE∥AB， 可得∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，最后根据等边对等角即可解答；②先根据题意求得AE、DE、EF的长，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：△DEF是等边三角形，理由如下： ∵AB＝AD，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠A＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°， ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE， ∴△DEF是等边三角形． （2）解：①∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD， ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴AE＝CE ②∵CE＝4 ∴AE＝CE＝4， ∵AD＝6， ∴DE＝AD－AE＝6－4＝2， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝2， ∴CF＝CE－EF＝4－2＝2． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、垂直平分线的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 12．（23-24八年级上·海南三亚·期末）是边长为4的等边三角形，是等腰三角形，，，以F为顶点作一个60°的角，角的两边分别交射线CA，BC于点D、E两点，连接DE． (1)如图1，若D、E两点在线段CA，BC的延长线上． ①求证：； ②试写出线段AD、BE、DE之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若D、E两点在线段CA，BC上，求的周长． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)的周长为 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①首先根据等腰三角形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，据此即可证得； ②在BE上截取，连接FG，可证得，求出，进而可证得，据此即可求得线段AD、BE、DE之间的数量关系； (2)延长EB至点H，使，连接FH，可证得，进而证得，，可得，据此即可求得周长． 【详解】（1）①证明：∵是等腰三角形，，， ∴， ∵是等边三角形 ， ∴， ∴， ∴； ②， 理由：如图，在BE上截取，连接FG． 由①可知：， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， 即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图：延长EB至点H，使，连接FH， 由（1）可知：， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴的周长． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的和差与线段的和差，作出辅助线是解决本题的关键． 13．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是高线，延长BC到E，使CE=AD．证明：BD=DE． 【答案】见解析 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】利用等边三角形的性质得∠ABD=∠CBD=30°，由CE=AD得，CE=CD，从而求出∠E=30°，则∠E=∠CBD，可得BD=DE． 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=∠ABC=60°， ∴∠E+∠CDE=60°， 又∵BD是高线， ∴AD=CD，∠CBD=∠ABC=30°， ∵CE=AD， ∴CD=CE， ∴∠E=∠CDE， ∴∠E=30°， ∴∠E=∠CBD， ∴BD=DE． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 14．（21-22八年级上·海南·期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC=α, 以OC为边作等边三角形OCD，连接AD． (1)①求证：△BOC≌△ADC； ②当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (2)探究：当∠1为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 【答案】(1)①见解析；②△ADO是直角三角形，理由见解析 (2)当∠1为35°或40°或30°时，△AOD是等腰三角形 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）①根据已知条件即可证明△BOC≌△ADC； ②然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状； （2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）①证明：∵△ABC和△ODC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°， BC＝AC，CO＝CD， ∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO， ∴∠ACD＝∠BCO， 在△BOC和△ADC中， ， ∴△BOC≌△ADC（SAS）； ②解：△ADO是直角三角形． 理由如下：∵△BOC≌△ADC， ∴∠BOC＝∠ADC， ∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°， ∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°， ∴△ADO是直角三角形； （2）解：由题意可得：∠COB＝∠CDA＝α，∠AOD＝190°﹣α，∠OAD＝50°， 当OA＝AD时， ∵AO＝AD，CO＝CD， ∴AC垂直平分OD， ∵AO＝AD， ∴∠OAC＝∠OAD＝25°， ∴∠7＝35°； 当AO＝OD时， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∴α﹣60°＝50°， ∴α＝110°， ∴∠AOD＝80°， ∴∠AOC＝140°， ∵AO＝OD＝OC， ∴∠OAC＝20°＝∠ACO， ∴∠1＝40°， 当OD＝AD时， ∵OD＝AD， ∴∠OAD＝∠AOD， ∴190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ∴∠ADC＝140°， ∵AD＝CD， ∴∠DAC＝DCA＝20°， ∴∠OAC＝30°， ∴∠1＝30°， 综上所述，∠1为35°或40°或30°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 15．（21-22八年级上海南直辖县级单位·期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，三边上分别有点E、D、F，使得AE＝BD＝CF，过点E作EP⊥DF，垂足为点P （1）求证：△BDE≌△CFD； （2）求∠DEP的度数； （3）当点E、D、F分别在三边BA、CB及AC的延长线上时，过点E作EP⊥DF，垂足为点P，若AE＝BD＝CF＝2，若△BDE的周长为19，求DP的长． 【答案】（1）见解析；（2）30°；（3）4.5 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）直接根据SAS证明△BDE≌△CFD即可； （2）由（1）得△BDE≌△CFD，则∠BED=∠CDF，即可推出∠ EDP=∠B=60°，再由EP⊥DF，即可得到∠ DEP=30° ； （2）根据△ABC边长为6,  AE=BD =2，得到BE=AB+AE=8，由△BDE的周长为19，求出DE=19-BD-BE=9，然后证明△BDE≌△CFD得到∠DEB=∠FDC，推出∠EDP=60°，即可利用含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC， ∵AE=BD=CF， ∴AB-AE=BC-BD，即BE=CD， ∴△BDE≌△CFD（SAS）； （2）由（1）得△BDE≌△CFD， ∴∠BED=∠CDF， 又∵∠EDC=∠B+∠BED， ∴∠ EDP+∠CDF=∠B+∠BED， ∴∠ EDP=∠B=60°， ∵EP⊥DF， ∴∠EPD=90°， ∴∠ DEP=30° ； （2）∵△ABC边长为6,  AE=BD =2， ∴BE=AB+AE=8， 又∵△BDE的周长为19， ∴ DE=19-BD-BE=9， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=CB， ∴∠EBD=180°-∠ABC=180°-∠ACB=∠DCF=120°， 又∵BD=AE， ∴BA+AE=CB+BD，即BE=CD， ∴△BDE≌△CFD（SAS）， ∴∠DEB=∠FDC， ∵∠EBC=∠EDB+∠DEB=60°， ∴∠EDB+∠FDC=60°，即∠EDP=60°， 又∵EP⊥DF ， ∴∠EPD=90°， ∴∠ DEP=30°， ∴DE=2DP， ∴DP= 4.5． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 16．（23-24八年级上·海南海口·期末）(1)问题发现:如图1, 和均为等边三角形，点在同一直线上，连接 ①求证:; ②求的度数. (2)拓展探究:如图2, 和均为等腰直角三角形，,点在同一直线上为中边上的高，连接 ①求的度数: ②判断线段之间的数量关系(直接写出结果即可). 解决问题:如图3，和均为等腰三角形，,点在同一直线上，连接.求的度数(用含的代数式表示，直接写出结果即可). 【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE=CE+2AF；（3）∠AEC=90°+. 【知识点】等腰三角形的定义、等边三角形的性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS进一步证明△BAD≌△CAE,依据其性质可得，再根据对应角相等求出的度数； （2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS进一步证明△BAD≌△CAE，根据对应角相等求出的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论； （3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n°，根据SAS进一步证明△BAD≌△CAE，根据对应角相等求出得出∠ADB=的度数,结合内角和用n表示∠ADE的度数，即可得出结论. 【详解】（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1)， ∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， ∴ ∠BAD=∠CAE. ∴ △BAD≌△CAE（SAS） ∴ BD=CE.                                              ② 由△CAE≌△BAD， ∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°. ∴ ∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.                     （2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)， ∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°， ∵ ∠BAC=∠DAE=90°， ∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， ∴ ∠BAD=∠CAE. ∴ △BAD≌△CAE（SAS）.                             ∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°. ∴ ∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.                 ② BE=CE+2AF.                                         （3）如图3：∠AEC=90°+，理由如下， ∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形， ∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°， ∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， ∴ ∠BAD=∠CAE. ∴ △BAD≌△CAE（SAS）.                             ∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°- . ∴∠AEC=90°+.                                【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键. 17．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，△ ABC 和△ADE都是等边三角形，点 B 在 ED 的延长线上． （1）求证：△ABD≌△ACE． （2）求证：AE＋CE=BE． （3）求∠BEC 的度数． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)∠BEC=60°. 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】(1)由等边三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，继而可得∠BAD=∠CAE，利用SAS即可证得△ABD≌△ACE； (2)由全等三角形的性质可得BD=CE，再由DE=AE即可证得结论； (3)由等边三角形的性质可得∠ADE=∠AED=60°，从而可得∠ADB=120°，由△ABD≌△ACE ，可得∠AEC=∠ADB=120°，由此即可求得答案. 【详解】(1)∵△ ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE； (2)∵△ABD≌△ACE， ∴BD=CE， ∵△ADE 是等边三角形， ∴DE=AE， ∵DE＋BD=BE， ∴AE＋CE=BE； (3)∵△ADE 是等边三角形，∴∠ADE=∠AED=60°， ∴∠ADB=180°－∠ADE=180°－60°=120°， ∵△ABD≌△ACE ， ∴∠AEC=∠ADB=120°， ∴∠BEC=∠AEC－∠AED=120°－60°=60°. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键. 等边三角形的判定 18．（23-24八年级上·海南三亚·期末）下列四个说法中，①三个角都相等的三角形是等边三角形，②有两个角等于的三角形是等边三角形，③有一个角是的等腰三角形是等边三角形，④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．正确的有（ ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．由等边三角形的判定可知①②③正确，由等腰三角形的性质可知④不正确，可得出答案． 【详解】解：①三个角都相等的三角形是等边三角形，故①正确，符合题意； ②有两个角为的三角形是等边三角形，故②正确，符合题意； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故③正确，符合题意； ④所有等腰三角形中都有两个角相等， ∴④不正确． 综上：正确的有①②③，共3个， 故选：D． 19．（22-23八年级上·海南·期末）如图，中，，，在直线或上取一点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】等腰三角形的定义、等边三角形的判定 【分析】分别以A为顶点、B为顶点、P为顶点讨论即可． 【详解】以点A为圆心，AB为半径作圆，交AC于P1，P2，交BC与P3，此时满足条件的等腰△PAB有3个； 以点B为圆心，AB为半径作圆，交AC于P5，交BC与P4，P6，此时满足条件的等腰△PAB有3个； 作AB的垂直平分线，交BC于P7，此时满足条件的等腰△PAB有1个； ∵，∴∠ABP3=60°， ∵AB=AP3， ∴△ABP3是等边三角形； 同理可证△ABP6，△ABP6是等边三角形，即△ABP3，△ABP6，△ABP7重合， 综上可知，满足条件的等腰△PAB有5个． 故选B．    【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键． 20．（21-22八年级上·海南儋州·期末）下列命题中，属于假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．同位角相等，两直线平行 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【答案】B 【知识点】判断命题真假、等边三角形的判定、两直线平行同位角相等、同位角相等两直线平行 【分析】利用余角的定义、对顶角的性质、平行线的判定及等边三角形的判定分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，正确，为真命题； B、相等的角不一定是对顶角，错误，为假命题； C、同位角相等，两直线平行，正确，为真命题； D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确，为真命题， 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解余角的定义、对顶角的性质、平行线的判定及等边三角形的判定方法，难度不大． 30°角的直角三角形 21．（23-24八年级上·海南海口·期末）下列命题中，属于真命题的是(    ) A．相等的角是对顶角 B．有两个角是60°的三角形是等边三角形 C．三角形的外角大于任意一个内角 D．有三个角分别对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】根据对顶角的性质、等边三角形的判定、三角形外角的性质和全等三角形的判定逐一分析即可． 【详解】A． 相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分成的两个角，故本选项是假命题；     B． 有两个角是60°的三角形是等边三角形，故本选项是真命题； C． 三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，缺少条件，故本选项是假命题；     D． 有三个角分别对应相等的两个三角形不一定全等，例如边长为1和边长为2的两个等边三角形，故本选项是假命题． 故选B． 【点睛】此题考查的是真、假命题的判断，掌握对顶角的性质、等边三角形的判定、三角形外角的性质、全等三角形的判定定理和举反例说明假命题是解决此题的关键． 22．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点，若，则的长为（    ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题考查了等边对等角，含30度角的直角三角形，三角形外角的性质，和线段垂直平分线的性质，解题的关键是垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质将的长度转化为的长度，在中，利用含30度角的直角三角形来求的长度． 【详解】解：∵是的垂直平分线 ，是等腰三角形 ∴ ∴ ． 故选：C． 23．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，是高．若，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7.5 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，求出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出，，求出即可．关键是求出，． 【详解】解：是高，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 24．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，，，则的长为（    ）    A．1.5 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】根据直角三角形根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 【详解】解：∵，，，， ，, ∴, ． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理． 25．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，中，的垂直平分线交于D，交于E，，则等于（    ） A．3 B．2 C．1 D．6 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】先由直角三角形的性质求出的度数，由的垂直平分线交于D，交于E，可得，由可知，故可得出，即可得到． 【详解】连接， 在中，， ∴． ∵的垂直平分线交于D，交于E， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 26．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，交于点D，，，则的长为（　　） A．6 B．7.5 C．9 D．10.5 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，可得，，根据三角形外角的性质求出，可得，然后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，含直角三角形的性质等知识，灵活运用各性质是解题的关键． 27．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若，，则AC的长为（    ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】先求出∠A，由题意知，，，可求出的值． 【详解】解：在中，，， ∴∠A=30°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴， ∴， ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=30°， 在中，，CD=1cm， ∴， ∴， 又∵， ∴cm， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质．解题的关键在于灵活运用垂直平分线与角的直角三角形的性质． 28．（22-23九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，D是边BC上的中点，若，，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】根据等边三角形的判定得出为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，D是边上的中点，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴的周长为， 故选：D． 【点睛】题目主要考查等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题关键． 29．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，，动点P从点A出发在边上沿方向匀速运动，速度为，动点Q从点B出发在边上沿方向匀速运动，速度为．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，则当点P运动 秒时，为直角三角形． 【答案】10或16 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再根据题意可得：从而可得，然后分两种情况：当时；当时；从而进行计算即可解答． 【详解】∵，，， ∴， 由题意得：， 分两种情况： 当时，如图： ∴， ∴， ∴ 解得：； 当时，如图： ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当点P运动10或16秒时，为直角三角形， 故答案为：10或16． 30．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，若，则 ． 【答案】3 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】连接，可得，求出，然后根据含直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及含直角三角形的性质，作出合适的辅助线，构造出含的直角三角形是解题的关键． 31．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在Rt中，，cm，现将折叠，使点B与点A重合，则折痕DE的长为 ． 【答案】cm 【知识点】折叠问题、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠可得进而根据角平分线的性质即可求得 【详解】解：∵将折叠，使点B与点A重合， ∴ 在Rt中，，cm， , , cm， 故答案为：15cm 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角，折叠的性质，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 32．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位期末）等腰三角形的两个底角 ，等边三角形的每个角都等于 度, 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的 ． 【答案】 相等 60 一半 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】根据等腰三角形的性质，等边三角形的性质和直角三角形的性质分别回答． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等， 等边三角形的每个角都等于60度， 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 故答案为：相等，60，一半． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和直角三角形的性质，属于基础知识，要牢牢记忆． 33．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=3cm，则AB= cm.    【答案】6 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】由∠C＝90°，∠B＝60°，利用三角形内角和定理得到∠A＝90°−60°＝30°，然后根据含30°的直角三角形的性质得BC＝AB，把BC＝3代入即可得到AB的长． 【详解】∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝90°−60°＝30°， ∴BC＝AB， 而BC＝3， ∴AB＝2×3＝6cm． 故答案为6． 【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质：在含30°的直角三角形中，30°所的边是斜边的一半． 34．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，的平分线交边于点，于点，． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质、含有角的直角三角形的性质； （1）作，利用角平分线的性质得到，，在中，，利用含有角的直角三角形的性质得，从而得解； （2）由第（1）小问可知，从而根据三角形的面积公式求解； 解题的关键是熟练掌握角平分线的性质、含有角的直角三角形的性质． 【详解】（1）解：如图，作，交于点， ∵的平分线交边于点，， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴； （2）如图， 由（1）可知，， ， ∴的面积为：． 35．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，，，于B    (1)求证； (2)求的长； (3)与有怎样的位置关系？又有怎样的数量关系？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，含30°角直角三角形的性质，平行线的判定 ，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用AAS可证明出结论； （2）根据（1）的结论可得，所以，根据含30°角直角三角形的性质可求出，进而求出的长； （3）可利用证明，根据全等三角形的对应边相等，得到数量关系；根据全等三角形的对应角相等，推出位置关系． 【详解】（1）在和中， ， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    （3），． 理由如下： 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 等边三角形的性质和判定综合应用 1．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，平分，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】根据，，可知，由角平分线的性质可知，进而得到，再根据等腰三角形的性质可知，最后根据在直角三角形中，角所对的直角边长是斜边长的一半即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，准确利用角平分线的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·海南海口·期末）下列四个命题中，它的逆命题成立的是（   ） A．如果，那么 B．对顶角相等 C．全等三角形对应角相等 D．等边三角形的每个角都等于 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】此题主要考查对逆命题的判定．首先根据原命题写出逆命题，然后判定即可． 【详解】解：A、如果，那么的逆命题为如果，那么，此逆命题为假命题，所以A选项错误； B、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，所以B选项错误； C、全等三角形对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，此逆命题为假命题，所以C选项错误； D、等边三角形的每个角都等于的逆命题为每个角都等于的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题，所以D选项正确． 故选：D． 3．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知A、B、C三点在同一直线上，、都是等边三角形，若，则 °． 【答案】/30度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定和性质 【分析】设的中点是，连接．根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，得是等边三角形，则，再根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：设的中点是，连接． 、都是等边三角形， ，，， ， ， ， 的中点是， ， 是等边三角形， ，， ． 故答案为：． 【点睛】此题综合运用了等边三角形的判定和性质、三角形的外角性质和等腰三角形的性质． 4．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，，于，点在的延长线上，要使，则的长应等于 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据三线合一的性质，得出点是线段的中点，，再根据线段中点的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据角之间的数量关系，得出，进而得出，再根据等角对等边，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∵于， ∴点是线段的中点，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、等边对等角、三角形的内角和定理、等角对等边，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 5．（21-22八年级上·海南海口·期末）如图,中，边上两点，且垂直平分, 平分,若,则的长为 ． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质 【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的性质求出∠BCD=30°，则∠B=60°，证明△BEC是等边三角形，可得BE=2，再通过证明△AEC是等腰三角形，可得EA=2，根据勾股定理求解. 【详解】解：∵CD垂直平分BE， ∴CB=CE, ∴∠BCD=∠ECD, ∵平分, ∴∠ECD=∠ACE, ∵， ∴∠ECD=∠ACE=∠BCD=30°, ∴∠B=∠BEC=∠BCE=60°, ∴BE=BC=CE=2, ∵∠BEC=60°, ∠ECA=30°, ∴∠EAC=∠ECA=30° ∴EA=EC=2, ∴AB=4, 由勾股定理得， . 故答案为：. 【点睛】本题考查垂直平分线和角平分线的性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质，掌握这些定理可进行边角之间灵活转换. 6．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图1，在中，，点是边上一点（不与点，重合），以为边在的右侧作，使，，连接．设，．    (1)求证：； (2)探究：当点在边上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据证明即可； （2）结论：．利用全等三角形的性质，三角形的内角和定理即可证明； （3）先证明是等边三角形，可得．再由，可得，从而得出，再由平行线的判定得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ． ，， ． （2）解：， 理由如下： 由， ． ， ． ． ， 在中，． ． （3）在中， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴， ∴． 7．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）点为在线段上一点，和都是等边三角形，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及全等三角形的判定与性质． （1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为，利用 “”即可得到三角形与三角形全等； （2）根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可； （3）三角形为等边三角形，理由为：由第一问三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由，利用平角的定义得到，再由，利用 “”可得出三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，再由，利用有一个角为的等腰三角形为等边三角形可得出三角形为等边三角形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， 由平角的定义得，， ， 在和中， ， ； （2）由（1）得，， ， 在中，， ， ∴在中， ； （3）为等边三角形，理由为： 证明：， ， 又， ， 即， 在和中， ， ， ，， 则为等边三角形． 8．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在和中，，若 (1)判断的形状是______，你做出此判定的依据是______； (2)求证：： (3)求证：． 【答案】(1)等边三角形，有一个角是的等腰三角形是等边三角形 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理判定即可； （2）证明即可； （3）由可得，再求出，即可证明． 【详解】（1）∵， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形，有一个角是的等腰三角形是等边三角形； （2）∵ ∴ 即 在和中 ∴， ∴ （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 9．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，D是的中点，，，点E、F分别为垂足． (1)若，则的度数为______，的角度为______； (2)求证：是等腰三角形； (3)当是等边三角形时，求的度数． 【答案】(1)40°，50°； (2)见解析 (3)120° 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解即可； （2）首先根据等腰三角形的性质得到，然后证明出，得到，即可证明出为等腰三角形； （3）首先根据等边三角形的性质得到，然后根据全等三角形的性质得到，然后由直角三角形的性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴为等腰三角形． （3）解：∵为等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 10．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知：如图1，点C为线段上一点，都是等边三角形，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)将绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（1）成立，（2）不成立， 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）由等边三角形的性质，利用边角边直接证明； （2）通过证明，得到，又由，即可得证； （3）结合（1）的证明方法和旋转后，可以判断； 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴， 和中 ∴（SAS） （2）证明：∵， ， ， ， 在和中， ∴≌（ASA）， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等边三角形 （3）（1）成立，（2）不成立，理由如下： 如图所示，连接 ∵是等边三角形， ∴， ∵， 在和中， ∴（SAS） ， 不可能为等边三角形， ∴1）成立，（2）不成立， 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，利用全等三角形来得出角和边相等是解题的关键． 11．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图1，在等边中，点E从顶点A出发，沿的方向运动，同时点D从顶点B出发，沿的方向运动，它们的速度相同，当点E到达点B时，D、E两点同时停止运动． (1)求证：； (2)连接、交于点M，则在D、E运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； (3)如图2，若点D从顶点B出发后，沿相反的方向运动，其它条件不变．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3)见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，又题意可得，即可证明； （2）由得，由，再利用三角形外角的性质得到即可； （3）过点E作平行于交于点F，先证明为等边三角形，再证明，即可得到结论． 【详解】（1）∵为等边三角形， ∴， 又∵，， ∴； （2）的大小不变， . ∵， ∴， ∵， ∴， 即； （3）过点E作平行于交于点F， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 12．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知和均为等边三角形，连接、，作于点F，于点G．求证： (1)； (2)； (3)为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（1）要证，可先证即可． （2）根据三角形全等的判定定理找出三角形全等的条件，即可证明． （3）根据等边三角形的判定定理找到合适的条件，可证为等边三角形． 【详解】（1）∵和均为等边三角形 ∴， ， ∴ 即 ∴ ∴ （2）由（1）可知 ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ （3）由（2）可知 ∴， ∴ 即 ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定定理．熟练掌握三角形全等的判定定理和等边三角形的判定定理是解题的关键． 最短路径 13．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、AB上的动点，当的周长最小时，的度数是 ． 【答案】40°/40度 【知识点】最短路径问题、三角形内角和定理的应用、根据等边对等角证明、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】要使△CEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出C关于BA和AD的对称点N，M，即可得出，最后利用△CMN内角和即可得出答案． 【详解】作C关于BA和AD的对称点N，M，连接MN，交AD于E1，交AB于F1，则MN即为△CEF的周长最小值． ∵，， ∴∠DCB=110°， 由对称可得：CF1=F1N，E1C=E1M， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当的周长最小时，的度数是40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质、等边对等角等知识，根据已知得出的周长最小时，E，F的位置是解题关键． 14．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上画出点P，使得最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形 【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点的位置进而得出答案． （2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 【详解】（1）作如图所示， （2）如图所示， ∵点与点关于y轴对称，且P点在y轴上， ∴， ∴， 要使最小，连接即可， ∴P点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 等边三角形和最短路径 等边三角形的性质 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）试用学过的知识判断，下列说法正确的是（　） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D．一个等边三角形一定不是钝角三角形 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在等边中，是边上的高，点E在的延长线上，，则的长为（    ） A．4.5 B．5 C．6 D．9 3．（23-24八年级上·海南儋州·期末）下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等 4．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，D是AC的中点，DE⊥BC于E，延长BC到点F，连接DF，若∠F=30°，则EF的长为(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 5．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A=20°，则∠1度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．60° 6．（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图，在等边三角形ABC中，延长BA到E，CB到D，让BD＝AE，AD延长线交CE于点F，则∠DFC的度数（    ）． A．45° B．50° C．60° D．70° 7．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知等边，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是 ． 8．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，点O是等边内一点，连接作等边，连接、、，，． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 9．（23-24八年级上·海南·期末）如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接 (1)求证：； 当时，试判断的形状，并说明理由； (2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 10．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在等边中，D、E分别是上的点，且，求的和为多少度？ 11．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图1，在四边形ABCD中，，，，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE//AB． (1)判断△DEF的形状，并说明理由； (2)如图2，连接AC交BD于点O． ①求证：； ②若，，求CF的长． 12．（23-24八年级上·海南三亚·期末）是边长为4的等边三角形，是等腰三角形，，，以F为顶点作一个60°的角，角的两边分别交射线CA，BC于点D、E两点，连接DE． (1)如图1，若D、E两点在线段CA，BC的延长线上． ①求证：； ②试写出线段AD、BE、DE之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若D、E两点在线段CA，BC上，求的周长． 13．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是高线，延长BC到E，使CE=AD．证明：BD=DE． 14．（21-22八年级上·海南·期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC=α, 以OC为边作等边三角形OCD，连接AD． (1)①求证：△BOC≌△ADC； ②当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (2)探究：当∠1为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 15．（21-22八年级上海南直辖县级单位·期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，三边上分别有点E、D、F，使得AE＝BD＝CF，过点E作EP⊥DF，垂足为点P （1）求证：△BDE≌△CFD； （2）求∠DEP的度数； （3）当点E、D、F分别在三边BA、CB及AC的延长线上时，过点E作EP⊥DF，垂足为点P，若AE＝BD＝CF＝2，若△BDE的周长为19，求DP的长． 16．（23-24八年级上·海南海口·期末）(1)问题发现:如图1, 和均为等边三角形，点在同一直线上，连接 ①求证:; ②求的度数. (2)拓展探究:如图2, 和均为等腰直角三角形，,点在同一直线上为中边上的高，连接 ①求的度数: ②判断线段之间的数量关系(直接写出结果即可). 解决问题:如图3，和均为等腰三角形，,点在同一直线上，连接.求的度数(用含的代数式表示，直接写出结果即可). 17．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，△ ABC 和△ADE都是等边三角形，点 B 在 ED 的延长线上． （1）求证：△ABD≌△ACE． （2）求证：AE＋CE=BE． （3）求∠BEC 的度数． 等边三角形的判定 18．（23-24八年级上·海南三亚·期末）下列四个说法中，①三个角都相等的三角形是等边三角形，②有两个角等于的三角形是等边三角形，③有一个角是的等腰三角形是等边三角形，④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．正确的有（ ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 19．（22-23八年级上·海南·期末）如图，中，，，在直线或上取一点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（）    A．个 B．个 C．个 D．个 20．（21-22八年级上·海南儋州·期末）下列命题中，属于假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．同位角相等，两直线平行 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 30°角的直角三角形 21．（23-24八年级上·海南海口·期末）下列命题中，属于真命题的是(    ) A．相等的角是对顶角 B．有两个角是60°的三角形是等边三角形 C．三角形的外角大于任意一个内角 D．有三个角分别对应相等的两个三角形全等 22．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点，若，则的长为（    ） A．10 B．12 C．16 D．18 23．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，是高．若，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7.5 24．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，，，则的长为（    ）    A．1.5 B．2 C．3 D．4 25．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，中，的垂直平分线交于D，交于E，，则等于（    ） A．3 B．2 C．1 D．6 26．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，交于点D，，，则的长为（　　） A．6 B．7.5 C．9 D．10.5 27．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若，，则AC的长为（    ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 28．（22-23九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，D是边BC上的中点，若，，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 29．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，，动点P从点A出发在边上沿方向匀速运动，速度为，动点Q从点B出发在边上沿方向匀速运动，速度为．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，则当点P运动 秒时，为直角三角形． 30．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，若，则 ． 31．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在Rt中，，cm，现将折叠，使点B与点A重合，则折痕DE的长为 ． 32．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位期末）等腰三角形的两个底角 ，等边三角形的每个角都等于 度, 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的 ． 33．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=3cm，则AB= cm.    34．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，的平分线交边于点，于点，． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 35．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，，，于B    (1)求证； (2)求的长； (3)与有怎样的位置关系？又有怎样的数量关系？ 等边三角形的性质和判定综合应用 1．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，平分，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·海南海口·期末）下列四个命题中，它的逆命题成立的是（   ） A．如果，那么 B．对顶角相等 C．全等三角形对应角相等 D．等边三角形的每个角都等于 3．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知A、B、C三点在同一直线上，、都是等边三角形，若，则 °． 4．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，，于，点在的延长线上，要使，则的长应等于 ． 5．（21-22八年级上·海南海口·期末）如图,中，边上两点，且垂直平分, 平分,若,则的长为 ． 6．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图1，在中，，点是边上一点（不与点，重合），以为边在的右侧作，使，，连接．设，．    (1)求证：； (2)探究：当点在边上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)若，求证：． 7．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）点为在线段上一点，和都是等边三角形，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)判断的形状，并说明理由． 8．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在和中，，若 (1)判断的形状是______，你做出此判定的依据是______； (2)求证：： (3)求证：． 9．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，D是的中点，，，点E、F分别为垂足． (1)若，则的度数为______，的角度为______； (2)求证：是等腰三角形； (3)当是等边三角形时，求的度数． 10．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知：如图1，点C为线段上一点，都是等边三角形，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)将绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 11．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图1，在等边中，点E从顶点A出发，沿的方向运动，同时点D从顶点B出发，沿的方向运动，它们的速度相同，当点E到达点B时，D、E两点同时停止运动． (1)求证：； (2)连接、交于点M，则在D、E运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； (3)如图2，若点D从顶点B出发后，沿相反的方向运动，其它条件不变．求证：． 12．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知和均为等边三角形，连接、，作于点F，于点G．求证： (1)； (2)； (3)为等边三角形． 最短路径 13．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、AB上的动点，当的周长最小时，的度数是 ． 14．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上画出点P，使得最小，并直接写出点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$