2024-2025学年人教版九年级数学上册点拨训练第24章 第16讲小结与复习

2024-2025学年度初中数学期中考试卷 试卷副标题 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 1．如图，边长为2的菱形绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形的弧上时，弧的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，先由菱形的性质得到，再证明，得到是等边三角形，则，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是边长为2的菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为， 故选C． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 2．半圆O与平面直角坐标系交于点，点C在上运动（不与A，B重合），连接，与的平分线交于点D，则C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】作的外接圆，记为，连接，可求，则点在以点为圆心的上运动，那么C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为以为圆心的的长度，由圆周角定理得：，与，，那么在中，由勾股定理求得，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：作的外接圆，记为，连接， 由题意得，为直径，则， ∴， ∵与的平分线交于点D， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴点在以点为圆心的上运动， ∴C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为以为圆心的的长度， 由圆周角定理得：， ∵，， ∴在中，由勾股定理求得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，求弧长，三角形的内角和定理和角平分线的定义，难度较大，熟练掌握知识点，识别“定弦定角”模型是解题的关键． 3．如图，在边长为2的正方形中，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以边的中点为圆心，长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】该题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是掌握扇形面积计算公式并能够正确表示出阴影部分面积． 根据题意有， 然后根据扇形的面积公式：和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可． 【详解】解：根据题意得，， ，， ， 故答案为：． 4．如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题的关键． 设外的6个小弓形的面积和为 ，观察图形得到外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，得到的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)，于是得到答案 【详解】解：设外的6个小弓形的面积和为， 外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和， ∴的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积) [另外3个半圆的面积和(外的3个半圆的面积和)] ； 故答案为∶． 三、解答题 5．在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm．，求裁剪的面积． 【答案】2000π 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积即可． 【详解】解：根据题意，圆锥的侧面积为：×80π×50=2000π（cm2）． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 6．已知一个圆锥沿轴剖开是一个等腰三角形．若这个三角形的底为，腰为． (1)求圆锥侧面展开图的扇形弧长． (2)求圆锥的全面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知等腰三角形的底边长即为圆锥底面圆的直径，利用圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长进行求解即可； （2）根据圆锥的全面积等于圆锥的侧面积加上底面圆的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：圆锥的底面圆的直径为， ∴圆锥侧面展开图的扇形弧长为； （2）由题意，得：底面圆的半径为，母线长为， ∴圆锥的全面积． 【点睛】本题考查求圆锥的全面积和扇形的弧长．熟练掌握圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，以及圆锥的全面积等于圆锥的侧面积加上底面圆的面积，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版九年级数学上 点拨*训练 第24章 第16讲 小结与复习（解析版） 一.知识导航 二、热门考点整合 本章热门考点概括为：一个概念、三个定理、两个性质、三个关系、两个圆与三角形、三个公式、两个技巧和两种思想。 考点1 一个概念----圆的相关概念 1．圆的定义 　　(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. 　　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 易错点拨： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. 典例剖析 1．有下面4个命题： ①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理及圆的认识的知识，解题的关键是了解等圆、等弧、弦的定义，难度不大，属于基础题．利用等圆、等弧、弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径相等的两个圆是等圆，正确，是真命题； ②长度相等的弧是等弧，错误，是假命题； ③圆中最长的弦是通过圆心的弦，正确，是真命题； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不一定是等弧，错误，是假命题， 真命题有两个． 故选：B． 2．下列说法中，不正确的是（   ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的对称性，掌握圆的轴对称和旋转不变性是解题的关键． 【详解】解：A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，说法正确； B. 圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误； C. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合，说法正确； D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，说法正确； 故选：B． 3．如图，是的半径，B为上一点（不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为边作矩形，连接．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质、圆的基本概念等知识．根据题意利用矩形的性质得出是解此题的关键． 如图，连接．由矩形的性质得到，勾股定理得到，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 考点2 三个定理 定理1 垂径定理 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 易错点拨： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 4．如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作与，连接交与点，连接，利用勾股定理求出，再证明点是的中点，利用中位线定理和直角三角形的中线的性质分别求出和，从而得到，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：过点作与，连接交与点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，垂直平分线的性质，直角三角形中线的性质，中位线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，综合性较大，利用垂径定理构造辅助线和证明点是的中点是解题的关键． 5．如图，为半圆的直径，为弦的中点，为的中点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，矩形的性质与判定，勾股定理，连接与交于点M，则四边形是矩形．设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程得出，进而得出，，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：连接与交于点M， ∵是直径， ∴，， ∵分别为的中点， ∴， ∴ ∵为的中点，为半径， ∴ ∴四边形是矩形． 设，则， 在中， 解得：（舍去）， ， ∴在中，． 故答案为：． 6．某一公路双向隧道由一弧形拱与矩形组成，经测量得，．为了确定弧形拱的半径长度，某勒测队找到一根长的笔直杆子，直立杆子，调整杆子位置，使点落在上，点落在上，此时． (1)①如图是勒测队绘制的平面示意图，请你用直尺和圆规作出弧形拱所在圆的圆心（保留作图痕迹）． ②圆心到直线的距离是______．（直接写出答案） (2)求出弧形拱所在圆的半径． 【答案】(1)①作图见解析；②； (2)弧形拱所在圆的半径为． 【分析】（1）①画出两条线段的垂直平分线，交点即为圆心； ②过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，， 证明四边形，是矩形，即可求解； （2）过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，设，则，，在中，，即，在中，，即，从而得到，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：在弧形拱上任取一点，连接，分别作、的垂直平分线，两直线的交点即为圆心，如图： ②如图，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，则， 由①可知，垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，，， ∴四边形，是矩形， ∴，， ∴， ∴圆心到直线的距离是， 故答案为：； （2）解：如图： 设，则，， 在中，，即， 在中，，即， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴弧形拱所在圆的半径为． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是找出弓形所在的圆心，画出半径，构造直角三角形，借助勾股定理解题． 定理2 圆心角、弦、弧间的关系定理 旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 　　 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 7．如图，在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接，，由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，设的弧度为，求出的弧度为，再设半径为r，列方程求解即可． 【详解】解：补全弧所在的圆及圆心，连接，，， 由三角形任意两边之差小于第三边得，当共线时最小，即， 设的弧度为， 的弧度为：， ， 的弧度为：， 由折叠得，的弧度为， 的弧度为：， 点为弧中点， 的弧度为：， 的弧度为：， 即所对圆心角， 设半圆的半径为，则由对折可得：， ∵， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去） ， 故答案为：． 8．如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，连接，，证明，可得，再根据弧、弦、圆心角的关系即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9．如图，已知是的直径，点在上，且C是优弧的中点，过点C作于点D． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】本题主要考查了弦、弧、圆心角的关系、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）如图：连接，延长交于点H．由弦、弧、圆心角的关系可得，进而得到直线垂直平分，则、，再证可得，即可证明结论； （2）根据三角形中位线的性质可得，设，则，然后根据勾股定理列方程求得R，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接，延长交于点H． 是优弧的中点， ， ， ， 直线垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ， . （2）解：由（1）知， ∴， ． 设，则， ， （舍去）， ． 定理3 圆周角定理 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 易错点拨： (1) 圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 10．如图所示，四边形是半径为r的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足． (1)求证：直线直线； (2)若． ①求证：； ②若半径，求四边形ABCD的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）在中，根据同弧所对的圆周角相等可得，结合已知在中根据三角形内角和定理可求得； （2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得，结合已知即可证得； ②在中由，可得，结合题意易证，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入计算即可求得周长． 【详解】（1）证明：在中， ， ，即， 在中， ， ， 即直线直线； （2）解：①四边形是半径为r的的内接四边形， ， ， ， 是的直径， ， 由（1）可知， ， 在与中， ， ， ②在中，， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中， ， 即， 解得：， 由①可知， ， ， 四边形的周长为： ． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解． 11．如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了角平分线的定义、圆内接四边形的性质、同弧所对圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质定理． （1）利用圆的内接四边形的性质，圆的性质，角的平分线的意义，证明即可． （2）过点作于点，连接，根据（1）中，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再根据勾股定理和垂直平分线的性质，得出的长和垂直平分，进而得出圆心在的垂直平分线上，再设的半径为r，再根据勾股定理，列出方程，解出即可得出的半径． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：如图，过点作于点，连接， 由（1）知： ∴， ∵， ∴， ∴，垂直平分， ∵， ∴圆心在的垂直平分线上， ∴， 设的半径为r， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 12．如图，是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据直径的性质可得，根据平行线的性质可证，根据垂径定理即可得证； （2）设圆O的半径为，在中用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即为的中点； （2）解：设圆O的半径为， 则，，． 在中，， ∴， 解得 ， ∴． 考点3 两个性质 性质1 圆内接四边形性质 圆内接四边形对角互补 13．已知中，．以为直径的与的交点分别为D，E． (1)如图①，求的大小： (2)如图②，当时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，“弧，弦，圆周角”之间的关系，直径所对的圆周角是直角． （1）根据圆内接四边形对角互补得出，进而得出答案； （2）连接，根据“弧，弦，圆周角”的关系得出，再根据“直径所对的圆周角是直角”得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． 在中，． 14．如图，中，，以为直径的交于，交于． (1)求证：； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得即可得出结论； （2）先求出，根据三角形内角和定理求出，等腰三角形的性质得，再由三角形外角的性质求出，再根据四边形是的内接四边形，结合，即可得出的度数． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ． （2）解：是的直径， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内角和定理和外角的性质等知识． 性质2圆的切线的性质 ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. 切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. 切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 15．如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)10． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，切线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过O作于H，得到，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，延长交于E，根据切线的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：过O作于H，如图： ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，延长交于E，如图： ∵，是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 16．在中，为直径，为上一点．    (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，首先根据切线的性质得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据垂径定理可得，根据直角三角形两锐角互余求得，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵与相切于点， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， ∴． （2）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，三角形的外角性质等．解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形． 考点4 三个关系 关系1 点和圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r③点P在圆内⇔d＜r 17．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点A的坐标和圆A的半径以及两点之间的距离即可求出答案． 【详解】，圆A的半径为2， ， ， 解得或3． 故选：B． 18．如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、点与圆的位置关系、不等式组，比较基础．利用三角形的三边关系、点到圆心的距离与半径的关系分别列不等式，再求解即可． 【详解】解：在中， ， ， 解得：； ∵以点为圆心，为半径作圆，使点和点都在外， 且， ， ∴的取值范围是， 故选：B． 关系2 直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. (1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. 　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. 　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 19．如图，中，，，，D是上一点，E是上一点，，若以为直径的圆交于M、N点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及轨迹等知识，如图，作于H，于K，由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【详解】如图，连接，作于H，于K， ， ， ， ， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点O的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当C、O、H共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 20．已知：内接于，过点A作直线． (1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． (2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 【答案】(1)①(或)(答案不唯一) ②；(答案不唯一) (2)见解析 【分析】（1）①根据切线的判断由或可判断为的切线；②当，根据圆周角定理得，所以，即，于是也可判断为的切线； （2）作直径，连接，由为直径得，则，根据圆周角定理得，而，所以，根据切线的判定定理得到为的切线； 【详解】（1）解：①当(或)可判断为的切线； ②当， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； 故答案为∶ ①(或)(答案不唯一)、②；(答案不唯一) （2）证明：如图，作直径，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴为的切线； 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理． 关系3 正多边形和圆的位置关系 把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于 . 21．正六边形是所有边相等、所有内角相等的六边形．在正六边形的边上取三点，若三点构成的三角形为等边三角形，则称该组成的图形为“优美图形”，等边三角形的边长为“优美边长”．如图，“优美图形”中正六边形的边长为3，则“优美边长”的取值范围为 ． 【答案】（表示“优美边长”） 【分析】本题主要考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，确定“优美边长”最值点的位置成为解题的关键． 根据题意确定“优美边长”最值点的位置，然后分别画出图形，根据正六边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质求解即可解答． 【详解】解：如图：当等边三角形是正六边形内切圆的内接三角形时，等边三角形的边长为“优美边长”有最小值， 由正六边形的性质可得：， ∴． 如图：当等边三角形是正六边形外接圆的内接三角形时，等边三角形的边长为“优美边长”有最大值， 由正六边形的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴“优美边长”的取值范围为（表示“优美边长”）． 故答案为：（表示“优美边长”）． 22．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 【答案】九/9 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 考点5 两个圆与三角形 1. 三角形的外接圆 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 23．如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积，连接，，由题意得出，，可证得，根据三角形的面积公式可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，，如图， ∵是的外心，、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， 故选：． 24．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形． 由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标． 【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为， 故选：C 2. 三角形的内切圆 （1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆 （2）内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心. 25．已知中，，点I是它的内心，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了三角形的内心的定义，熟知三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题关键．先求出，根据内心的定义得到，即可求出，最后求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵I是内心， ∴、分别平分、， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 26．已知如图，的内心为，连接并延长交的外接圆于点． (1)求证：； (2)直接写出点D是连接图中哪三个点构成的三角形的外心． 【答案】(1)见解析 (2)点D是连接图中点构成的三角形的外心． 【分析】本题考查了三角形的内心和外心、圆周角定理、弧、弦、圆心角之间的关系等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）连接，证明即可得到结论． （2）连接，，证明则点在的垂直平分线上，由得到点在的垂直平分线上，即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图 ∵的内心为， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）连接，， ∵， ∴， ∴ ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴点D是的外心， 即点D是连接图中点构成的三角形的外心． 考点6 三个公式 公式1 弧长公式 扇形的弧长l=； 注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.。 27．如图，边长为2的菱形绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形的弧上时，弧的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，先由菱形的性质得到，再证明，得到是等边三角形，则，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是边长为2的菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为， 故选C． 28．半圆O与平面直角坐标系交于点，点C在上运动（不与A，B重合），连接，与的平分线交于点D，则C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】作的外接圆，记为，连接，可求，则点在以点为圆心的上运动，那么C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为以为圆心的的长度，由圆周角定理得：，与，，那么在中，由勾股定理求得，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：作的外接圆，记为，连接， 由题意得，为直径，则， ∴， ∵与的平分线交于点D， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴点在以点为圆心的上运动， ∴C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为以为圆心的的长度， 由圆周角定理得：， ∵，， ∴在中，由勾股定理求得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，求弧长，三角形的内角和定理和角平分线的定义，难度较大，熟练掌握知识点，识别“定弦定角”模型是解题的关键． 公式2 扇形面积公式 （1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. （2）扇形的面积S==．扇形的面积与圆心角、半径有关. 29．如图，在边长为2的正方形中，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以边的中点为圆心，长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】该题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是掌握扇形面积计算公式并能够正确表示出阴影部分面积． 根据题意有， 然后根据扇形的面积公式：和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可． 【详解】解：根据题意得，， ，， ， 故答案为：． 30．如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题的关键． 设外的6个小弓形的面积和为 ，观察图形得到外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，得到的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)，于是得到答案 【详解】解：设外的6个小弓形的面积和为， 外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和， ∴的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积) [另外3个半圆的面积和(外的3个半圆的面积和)] ； 故答案为∶． 公式3 圆锥的侧面积和全面积公式 （1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长． （2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr， 圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）． 注意：在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 31．在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm．，求裁剪的面积． 【答案】2000π 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积即可． 【详解】解：根据题意，圆锥的侧面积为：×80π×50=2000π（cm2）． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 32．已知一个圆锥沿轴剖开是一个等腰三角形．若这个三角形的底为，腰为． (1)求圆锥侧面展开图的扇形弧长． (2)求圆锥的全面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知等腰三角形的底边长即为圆锥底面圆的直径，利用圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长进行求解即可； （2）根据圆锥的全面积等于圆锥的侧面积加上底面圆的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：圆锥的底面圆的直径为， ∴圆锥侧面展开图的扇形弧长为； （2）由题意，得：底面圆的半径为，母线长为， ∴圆锥的全面积． 【点睛】本题考查求圆锥的全面积和扇形的弧长．熟练掌握圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，以及圆锥的全面积等于圆锥的侧面积加上底面圆的面积，是解题的关键． 考点7 两个技巧 技巧1 作同弧所对的圆周角（特别地：直径所对的圆周角是直角） 33．如图，是的直径，点为上一点，为弧的中点，过作于点，交于点，交弦于点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据证明，可得结论； （2）先根据垂径定理可得，设的半径为，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 为的直径，， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，连接交于点， 为的直径，， ， ， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， 的半径为5． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题的关键是掌握垂径定理的内容． 34 ．如图，的直径为10，弦为6，D是的中点，弦和交于点F，且． (1)求证：； (2)求证： (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得，即可证明； （2）根据题意可得，则，再证明，即可证明； （3）过B作于点H，连接，利用等弧所对的圆周角相等证明是等腰直角三角形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴； （2）证明：是的中点， ∴， ， ， ， 即， ∴； （3）解：过B作于点H，连接， 为的直径， ， 由（2）可知， ∴， ， 在等腰直角三角形中， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了弧与弦，圆周角的关系，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键． 技巧2 作半径（特别地：垂直于弦的半径；过切点的半径） 35．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 36．如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； （2）解：设的半径，则， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴的半径为3． 37．在中，为直径，为上一点．    (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，首先根据切线的性质得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据垂径定理可得，根据直角三角形两锐角互余求得，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵与相切于点， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， ∴． （2）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，三角形的外角性质等．解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形． 考点8 两种思想 思想1 分类讨论思想 38．在⊙O中直径为4，弦AB＝2，点C是圆上不同于A、B的点，那么∠ACB度数为 ． 【答案】60°或120°． 【分析】连接OA、OB，过O作AB的垂线，通过解直角三角形，易求得圆心角∠AOB的度数，然后根据C在优弧AB和劣弧AB上两种情况分类求解． 【详解】解：如图：过O作OD⊥AB于D，连接OA、OB． Rt△OAD中，OA=2，AD=， ∴∠AOD=60°，∠AOB=120°， ∴∠AEB=∠AOB=60°． ∵四边形AEBF内接于⊙O， ∴∠AFB=180°-∠AEB=120°． ①当点C在优弧AB上时，∠ACB=∠AEB=60°； ②当点C在劣弧AB上时，∠ACB=∠AFB=120°； 故∠ACB的度数为60°或120°． 故答案为：60°或120°． 39．已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离． 【答案】和之间的距离为7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 思想2 方程思想 40 .如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（    ） A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米 【答案】D 【分析】本题考查了圆的性质、垂径定理、勾股定理等知识点．根据垂径定理、勾股定理求出圆的半径，进一步计算即可得． 【详解】解：如图，设圆心为点O，过点O作于点C，延长交圆O于点D和，连接， 由圆的性质可知，米，米，水面距管道底部的最大深度为的长， 设圆的半径为， 由垂径定理得：，， 在中，，即， 解得， 即水面距管道底部的最大深度为米， 故选：D． 41．如图，一个圆形瓶盖和一个直角三角形纸板，点O在斜边上．与分别交于点B和D，与切于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识： （1）连接，得，由是的切线得，得，得出，根据角平分线性质定理可得结论； （2）根据证明，可得，设的半径为，在中由勾股定理列方程可求出的值 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵与切于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， 设的半径为，则 ∴ 在中，，即，． 解得， ∴的半径长为9． 学科网（北京）股份有限公司 $$