专题07 隐圆求最值压轴四大题型（期中专项训练）九年级数学上学期人教版

专题07 隐圆求最值压轴四大题型 模型1 点圆最值问题 模型3 四点共圆 模型2 定弦定角 模型4 瓜豆原理 模型一 点圆最值问题（共4小题） 1．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 2．（九年级上·云南保山·期末）如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ． 3．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 4．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 模型二 定弦定角（共7小题） 1．（2025·河南周口·二模）如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B．3 C． D． 2．（2025·山东临沂·一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是 ． 4．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 5．（九年级上·江西新余·阶段练习）如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是 ． 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，中，，，点D为平面上一点，且，则线段的最小值为 ． 7．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 模型三 四点共圆（共3小题） 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论: 是的外心； 是的外心； ；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为 ． 4.（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ．    模型四 瓜豆原理（共3小题） 1．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，边长为的正方形中，以为直径在正方形内作半圆，点是半圆上动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则线段长度的最小值是 ． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 1．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结、则线段的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 4．如图，在菱形中，，，、的半径分别为2和1，点、、分别是边、和上的动点，则的最小值是 ．    5．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ． 6．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）问题提出  如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． 尝试应用  如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：． 问题拓展  如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）． 7．（年级上·广东珠海·期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF． （1）求证：BE＝CD； （2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜＜90°时加以证明） （3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 隐圆求最值压轴四大题型 模型1 点圆最值问题 模型3 四点共圆 模型2 定弦定角 模型4 瓜豆原理 模型一 点圆最值问题（共4小题） 1．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，准确根据题意得出动点轨迹是解题的关键． 根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段的最小值即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点B和M关于对称， ∴， ∴M在以A圆心，5为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，最短， ∵在矩形中，，， ∴． 故选：D． 2．（九年级上·云南保山·期末）如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的最值问题，涉及隐圆，轴对称的性质，勾股定理等，找出点G的运动轨迹是解题的关键． 由轴对称的性质可得长度不变，因此点G在以点E为圆心，长为半径的圆上，进而可得当点G在线段上时，的长取最小值． 【详解】解：以点E为圆心，长度为半径作圆，连接，当点G在线段上时，的长取最小值，如图所示： 长方形中，，E点是的中点， ，，， ， ， 即长的最小值是， 故答案为：． 3．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题． 延长至T，使得，连接，根据三角形的中位线性质得到，即只需求的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，利用正方形的性质和勾股定理求得，进而求得的最小值和最大值即可求解． 【详解】解：延长至T，使得，连接， ∵的中点为E， ∴是的中位线， ∴，即只需求的最大值和最小值； ∵始终保证， ∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最小值为，的最大值为， 故答案为：，． 4．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，点与圆的位置关系；以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，利用，结合圆的性质可得出点P的轨迹是以为直径的圆，将的最值问题转化为点C到圆上点的距离最值问题，通过点C到圆心的距离与半径的关系即可求解． 【详解】解：如图，以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， ∵ 根据圆的性质，点P的轨迹是以为直径的圆， ∵正方形的边长为2， ∴，则圆心为，半径为， ∴圆的方程为， ∵， ∴圆心到点C的距离为 ∵， ∴点C在圆外， ∴最小值为， 最大值为， 故答案为：，． 模型二 定弦定角（共7小题） 1．（2025·河南周口·二模）如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，借助于圆解决线段的最值问题，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交于点，判定出，得出，确定点在上，然后利用勾股定理即可求出线段最小值． 【详解】解：如图所示，取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交于点， 在正方形中， ， ， 又， ， , ， ， ∴点在上， 此时，时值最小， 由勾股定理得, ， 故选：A． 2．（2025·山东临沂·一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，最短，再进一步求解即可． 【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在上运动， 由题意知：当B、P、O三点共线时，最短，而， ， ∵， ， ∴的长度最小值为． 故选：B 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是以为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题；如图，连接、．在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】 解：如图，取的中点，连接、． ∵， ∴， ∴在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， ∵是直径， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴当、E、B共线时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 4．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，点与圆的位置关系；以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，利用，结合圆的性质可得出点P的轨迹是以为直径的圆，将的最值问题转化为点C到圆上点的距离最值问题，通过点C到圆心的距离与半径的关系即可求解． 【详解】解：如图，以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， ∵ 根据圆的性质，点P的轨迹是以为直径的圆， ∵正方形的边长为2， ∴，则圆心为，半径为， ∴圆的方程为， ∵， ∴圆心到点C的距离为 ∵， ∴点C在圆外， ∴最小值为， 最大值为， 故答案为：，． 5．（九年级上·江西新余·阶段练习）如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，取的中点，以为直径作，由直径可得，进而可得点在以为直径的上运动，当点、、三点共线时，有最小值，此时，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，以为直径作， 是直径， ， ， 点在以为直径的上运动， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最小值，此时， ， ， ， 线段的最小值是 故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，中，，，点D为平面上一点，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何综合题，核心围绕圆周角定理、等腰直角三角形性质、勾股定理及点与圆的位置关系展开，解题关键在于将“定角对动点”转化为“动点定圆轨迹”，结合几何性质求线段最值； 先构造外接圆，得圆心角，是等腰直角三角形，故半径为， 构造直角三角形计算长度为， 求最小值，根据点与圆位置关系，最小值为半径，即可求出答案． 【详解】解：，，作的外接圆，连接， 当，，三点共线时，的值最小（如图）， ， ，即为等腰三角形， ， ，， 在中，， ，过点作交于点， 为等腰三角形， ， ， 在中，， ， 当，，三点共线时，的值最小为． 故答案为：． 7．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角形的性质，，取的中点，连接，则，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ． 如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为， 连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ，即的最大值为， 故答案为：． 模型三 四点共圆（共3小题） 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A，B，C，D四点共圆，得到为直径，取的中点即圆心O，得到当弦时，取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，． ∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径． ∴半径， ∴． 在中，． ∴． 故选B． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论: 是的外心； 是的外心； ；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】本题命题思路是以等边 外心为背景，进而得到，，，四点共圆，从而对角互补，利用旋转，可以转化四边形为一个规则的等边三角形，最后利用轴对称性可解决周长最小值的问题． 【详解】解：连接，； ∵为的外心； ∴； ∵正方形； ∴； ∴； ∴是的外心； 故正确．    对于，连接，； ∵； ∴不是的外心； 故错误．    对于，连接； ∴； ∴，，，三点共圆； ∴； ∵ 即； 故正确．    对于， ∵， ∴，，，四点共圆， 如图所示，以点为旋转中心，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点， ∴， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， ∴，，三点共线； 由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形； ∵； 过点作的垂线，垂足为； ∴； ∵； 在中， ； ∴； ∴； ∵； ∴； 故正确．    对于，如下图所示；作EM和EN关于和的对称线段； ∴，； ∴； 当，，，四点共线时，周长最小； 即 连接， ∴， 连接； ∴是等腰三角形； ∵，； ∴； ∵； ∴； ∴三角形是以为顶角的等腰三角形； 过点作的垂线，垂足为， ∵； ∴； 在中； ∴； ∴； 即； 故错误；    综上所述，①③④正确； 故选． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等边三角形性质及其外心的性质，圆周角定理，四点共圆及圆内接四边形的性质，旋转变换，利用轴对称解决周长最小值，等腰三角形的解法及解直角三角形，见外心连顶点，到三个顶点距离相等，判定外心只需确顶点是都到三角形三个顶点距离相等，四边形对角互补要旋转，转化定型求面积，求周长最小值利用轴对称变换是关键，转化两点间距离最短即可，最后牢记特殊三角形的边长之比非常重要，例如等腰三角形三边之比为． 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、四点共圆，由可知、、、四点共圆，进而可得，过作于点，易得再利用 ，可设，则，易证，最后解即可得解． 【详解】解：， ∴点、、、四点共圆， ， ∴为直径， ， 过作 于点， 则 ， 在 中，， ， ， ，即 ， 设，则 ， ， ， ， ， 在 中， ， 即 ， 解得或(舍去)， ； 故答案为：． 4.（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】将绕点逆时针旋转至，连接，可得是为等边三角形，则，可知、、、四点共圆，令其圆心为，连接、、过作，交于，交圆于，过、分别作圆的切线，交于，连接交于，连接、，利用的直角三角形求得，由，与圆相切，可得（SSS），利用其性质证得，计算出，，由，知，可得四边形为平行四边形，则，由三角形三边关系可知：（当、、在同一直线上时去等号），即可求得的最大值． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接，可得是为等边三角形，则， ∵，， ∴、、、四点共圆，令其圆心为，连接、、 ∴，则， 过作，交于，交圆于，过、分别作圆得切线，交于，连接交于，连接、，    ∵，， ∴，， ∴，， ∵，与圆相切， ∴， ∴（SSS） ∴， ∴， ， ， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由三角形三边关系可知：（当、、在同一直线上时去等号） ∴的最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了四点共圆，垂径定理，切线长定理，解直角三角形，平行四边形的判定及三角形的三边关系，构造辅助线，利用圆的相关性质转化线段长度及角度，构造三角形三边关系是解决问题的关键，属于中考压轴题． 模型四 瓜豆原理（共3小题） 1．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最小距离和问题，正方形的性质，勾股定理．取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于，根据勾股定理求出，再结合四点共线时最小即可得解． 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 当、、、四点共线时，的值最小，的最小值为， ∴的最小值为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，边长为的正方形中，以为直径在正方形内作半圆，点是半圆上动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，取的中点，连接，证明，即可证明，从而，得在以为圆心，为半径的半圆上运动，故当共线时，最小，此时，即可得最小为． 本题考查旋转的性质，正方形性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是求出的轨迹． 【详解】解：延长到，使，连接，取的中点，连接，如图： 四边形是正方形， ， 由旋转可得：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 在以为圆心，为半径的半圆上运动， 当共线时，最小， 如图： ， ， 最小为； 故答案为：． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，三角形的中位线和点与圆的位置关系，先求出点的坐标，计算出圆心的坐标，连接，取的中点，当点与点重合时，连接，得，则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，由勾股定理得，所以最小值为． 【详解】解：， 令，则， 解得，或， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴, ∴， 当时，， ∴， ∴, 连接，取的中点，则, 当点与点重合时，连接，如图， ∴是的中位线， ∴， 则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，如图， 由勾股定理得，， ∴的最小值为：， 故答案为：． 1．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据，，用勾股定理计算得到；延长与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线上时，取最小值；过G作于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到的值，即可完成求解． 【详解】解：如图，连接， ∵过A作于点C，过B作于点D， ∴，， ∵，A、B是上的两点， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴ ， 延长与⊙O相交于点G， ∵MN为的直径，， ∴，， ∴ ， 当点P在直线上时，取最小值，且最小值， 过G作于点H， 又∵， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形中位线性质可知OE=BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可. 【详解】∵， ∴当时，， 解得：， ∴A点与B点坐标分别为：(，0)，(3，0)， 即：AO=BO=3， ∴O点为AB的中点，   又∵圆心C坐标为(0，4)， ∴OC=4， ∴BC长度=， ∵O点为AB的中点，E点为AD的中点， ∴OE为△ABD的中位线， 即：OE=BD， ∵D点是圆上的动点， 由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径， ∴BD的最小值为4， ∴OE=BD=2， 即OE的最小值为2， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 3．如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结、则线段的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值. 【详解】∵抛物线与轴交于、两点 ∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4. 在直角三角形COB中 BC= ∵Q是AP上的中点，O是AB的中点 ∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP 又∵P在圆C上，且半径为， ∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大 此时BP=BC+CP= OQ=BP=. 故选：C. 【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况. 4．如图，在菱形中，，，、的半径分别为2和1，点、、分别是边、和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】3 【分析】作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，利用菱形的性质以及圆的性质得出与重合时的最小值，进而求出即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，   四边形是菱形，，， ，， 、是等边三角形 ， ∴， ， ， ， ，，在一条直线上， 由题意可得出：当与重合，点在上，在上时，最小， ∵，、的半径分别为2和1， ，， 的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及圆的性质等相关知识，根据题意得出点位置是解题关键． 5．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ． 【答案】6 【分析】连接OP，由直角三角形的性质可知AB=2OP，则求AB的最小值即为求OP的最小值，当O、P、M三点共线时，OP长度最小. 【详解】解：连接OP，由于PA⊥PB，故由直角三角形的性质可知AB=2OP，则OP最短时，AB最短；由图可知，O、P、M三点共线时，OP长度最小，OP=OM-MP=，则AB的最小长度为6， 故答案为6. 【点睛】将求AB最短问题转化为求OP最短是解题关键. 6．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）问题提出  如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． 尝试应用  如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：． 问题拓展  如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）． 【答案】见解析 【分析】问题提出：由旋转的性质可证得，，进而得证，即可利用证明． 尝试应用：延长，使，连接，由题意可知、、、四点共圆，可得，进而可得，利用SAS可证得，根据其性质得，，，进而可证得，，即可得证． 问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形，由，可知、、、、五点共圆，可得，，，根据，，可得，进而得证，可得，则，作交于，则，可求得，，即可求得的长度． 【详解】解：问题提出： 证明：∵，，将绕着点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴，即：， 在与中，， ∴． 尝试应用：延长，使，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 又∵，即：， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， 在与中，， ∴． ∴，， ∴，即：， ∴ ∵ ∴， ∴ 即：． 问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形， ∴，， ∵， ∴、、、、五点共圆， 则：，，， ，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∴，则， 作交于，则， ∵， ∴， ∴， 则：． 【点睛】本题属于几何综合，考查全等三角的判定及性质，等腰三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，添加辅助线构造全等三角形和利用圆周角定理转化角是解决问题的关键，属于中考压轴题． 7．（年级上·广东珠海·期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF． （1）求证：BE＝CD； （2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜＜90°时加以证明） （3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2﹣ 【分析】（1）根据题中各角之间的关系可得：，依据三角形全等的判定定理可证，由全等三角形的性质即可证明； （2）由（1）中全等三角形的性质可得：，利用等腰直角三角形的性质得出：，得出点C，点B，点A，点F四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得：，，再由四边形内角和及各角之间的等量关系即可得出结论； （3）由点F在以BC为直径的圆上运动，可得点Q，点F，点G三点共线时，QF有最小值，由勾股定理及三角形中位线定理可得：，，再由勾股定理及各线段之间的数量关系即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在△BAE与△CAD中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴ ∴点C，点B，点A，点F四点共圆，如图所示： ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如（2）图所示，过点G作GH⊥AB于H， ∵点C，点B，点A，点F四点共圆， ∴点F在以BC为直径的圆上运动， ∴点Q，点F，点G三点共线时，QF有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴QF的最小值为． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理及性质，圆周角定理，勾股定理，线段间距离最短问题，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $