精品解析：甘肃省兰州市第五十八中学教育集团（兰炼一中）2024-2025学年高三上学期建标考试数学试题

兰州市第五十八中学教育集团建标考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得，即，而， 所以. 故选：B 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求解即得. 【详解】由，得. 故选：C 3. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出，由抛物线定义可得解. 【详解】由抛物线可得， 所以，， 故抛物线的焦点到准线的距离是. 故选：B 4. 已知直线与圆相交于两点，，则（ ） A. 0或1 B. 1或 C. 1或2 D. 0或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，利用垂径定理可求参数的值. 【详解】 设圆心到直线的距离为， 则.由，得， 解得或. 故选：D 5. 现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，水库的最大蓄水量等于正四棱台的体积，进而用台体的面积公式即可求解. 【详解】根据题意画出图形，如图所示，其中且. 由，可得， 又且，可得是长方形，则， 所以，， 则，正四棱台的高，下底面的面积，上底面的面积. 于是正四棱台的体积. 故该水库的最大蓄水量为. 故选：A. 6. 把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度满足.若不变，在后该物体的温度分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则；若，则 D. 若，则；若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数互化，结合复合函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以. 若，则是减函数，因为，所以； 若，则是增函数，因为，所以. 故选：D 7. 已知定义在上的奇函数满足，则（ ） A. 0 B. C. 253 D. 506 【答案】A 【解析】 【分析】根据为上的奇函数，可得，结合可得，进而得到，可得函数是周期为8的周期函数，再结合可得，进而求解即可. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以， 又，则， 所以， 所以函数是周期为8的周期函数， 又，则， 所以， 所以. 故选：A. 8. 如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（ ） A. 268米 B. 265米 C. 266米 D. 267米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别过B，C作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E．由题中的系列角，借助于直角三角形，利用正弦定理，依次求得，和，即可求出建筑物的高. 【详解】 如图，分别过,作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E． 根据题意易得，． 在中，由正弦定理得， 在中，,则， 在中，,则， 所以米． 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图． 下列结论正确的是（ ） A. 这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大 B. 这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大 C. 这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大 D. 这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意将A、B地月降雨量按升序排列，结合平均数、中位数、极差以及百分位数的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：A地月降雨量按升序排列可得：， B地月降雨量按升序排列可得：， 对于选项A：可知A地月平均降雨量为， B地月平均降雨量为， 因为，所以这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正确； 对于选项B：A地月降雨量的中位数为，B地月降雨量的中位数为， 因为，所以A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数小，故B错误； 对于选项C：A地月降雨量的极差为，B地月降雨量的极差为， 因为，A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大，故C正确； 对于选项D：因为， 可知A地月降雨量的分位数为42，B地月降雨量的分位数为40， 且，所以A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大，故D正确； 故选：ACD. 10. 在长方体中，分别是棱的中点，是的中点，直线与平面交于点，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值是 B. 点到平面的距离是 C. 三棱锥的体积为 D. 四面体外接球的表面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出与利用夹角的余弦公式计算后可判断A的正误，利用向量法可求点到平面的距离后可判断B的正误，求出的坐标后可计算三棱锥的体积，从而可判断C的正误，求出球心的坐标后可求外接球的半径，计算表面积后可判断D的正误. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 故， 故， 故异面直线所成角的余弦值为，故A正确； 因为，设平面的法向量为， 则由可得，取， 而，故点到平面的距离是，故B错误； 又，设， 则 因为共线，所以，故，即， 故，且在轴上，故，故C正确； 设四面体外接球的球心为，则， 即； ； ， 整理得到：，故，故外接球半径为， 故外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：空间几何体的外接球的计算问题，首先确定球心的位置，如果球心的位置不易求得，则可以通过空间向量的方法求出球心坐标，从而解决与球有关的计算问题. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若是的极小值点，则在上单调递减 B. 若是的极大值点，则且 C. 若，且的极小值大于0，则的取值范围为 D. 若，且在上的值域为，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三次函数的图象性质，结合极值点的定义即可求解A，根据，即可结合极值点定义求解吧，根据即可得方程的一个零点为0，结合极值，即可分类求解C，利用导数，即可求解D. 【详解】,若是的极小值点,则， 故有两个不相等的实数根，因此函数既有极大值也有极小值， 故由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧， 在上不单调，A错误. ，若是的极大值点，则， 所以. 若没有极值点.的解为. 因为是的极大值点，所以，即B正确. 若，则. 因为的极小值大于0，所以只有一个零点，且的极大值点与极小值点均大于0， 所以方程无实数根，且方程的2个实数根均大于0， 所以解得，C正确. 若，则. 令，若，即单调递增，符合题意. 由，解得或， 此时的2个解为. 当时，，所以在上单调递减， 即当，时，，不符合题意. 当时，， 所以在上的最大值为，且，不符合题意. 综上，若，且在上的值域为，则的取值范围为，D正确， 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量的夹角的余弦值为，且，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积定义及运算律求解即可. 【详解】由题意，向量的夹角的余弦值为， 因为， 所以， 解得或（舍去）. 故答案为：2. 13. 已知，函数在上单调递增，则的最大值为________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由题意得，问题转化成函数在上单调递增，接着由正弦函数性质可得，解该不等式组即可得解. 【详解】因为，所以， 又在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 而，，所以由正弦函数性质得， 解得，则的最大值为. 故答案为：. 14. 一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】求解计划是先计算出既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数，再计算从名裁判员中选人的总情况数，最后用前者除以后者得到概率. 【详解】先计算既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数. 因为男裁判员担任主裁判，所以先从名男裁判员中选名作为主裁判，有种选法.后有两种情况. 从名女裁判员中选名作为助理裁判，有种选法. 从名女裁判员中选1名作为助理裁判，和从名男裁判员中选1名作为助理裁判， 有种选法. 根据乘法原理，既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数为种. 再计算从名裁判员中选人的总情况数. 从名裁判员中选人作为裁判，总数为种. 所求概率. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等比中项公式，结合等差数列的通项公式计算即可； （2）运用对数性质，结合等比数列求和公式计算. 【小问1详解】 设的公差为， 由，得，则． 由成等比数列，得，则， 而是单调递增的等差数列，所以，所以． 解方程组得 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由，可得，所以． 故是以为首项，公比为的等比数列， 所以． 16. 已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人答对每道题的概率分别为，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答. （1）求第一题结束时甲获得1分的概率； （2）记表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2） 2 4 5 【解析】 【分析】（1）考虑甲先得1分，分为甲抢到答题并且答对，或者是乙抢到并且答错两种情况，分别计算概率即可； （2）在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率.的所有可能取值分别为，利用独立事件的乘法公式计算得出的分布列，求出即可. 【小问1详解】 设每道题的抢答中，记甲得1分为事件. 发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错， ∴， ∴ 甲率先得1分的概率为. 【小问2详解】 由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率分别为， 设两人共抢答了道题比赛结束，根据比赛规则，的可能取值为. ， ， ， 2 4 5 . 17. 如图，在三棱柱中，平面． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 在三棱柱中，由平面平面，得， 又平面，则平面， 而平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定，再利用面面垂直的判定推理即得. （2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，令，则， ，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上是减函数； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论、两种情况下，利用导数研究函数的单调性即可； （2）由题意将原不等式转化为，则，利用导数研究的单调性可得，再次利用导数研究的性质即可求解. 【小问1详解】 ， 当时，在上是减函数. 当时，是增函数.令，解得. 当时，； 当 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上是减函数； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ，即. 令函数，则，所以， 因为在上单调递增， 所以，即. 令函数，则. 当时，；当. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故的取值范围为. 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）判断曲线为何种圆锥曲线. （2）若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ （3）设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点. 【答案】（1）椭圆 （2）且 （3）（i）； （ii）因为点关于轴的对称点为点，所以， 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 . 当且时， ， 故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）设，根据曲线的定义，可得的坐标满足的方程，分析可得结果. （2）将整理为，根据双曲线方程的特点分析可得结果. （3）（i）先根据为曲线可得曲线的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果； （ii）先设出直线的点斜式方程，由对称性得直线经过的定点必在轴上，令，结合韦达定理化简可得定点坐标. 【小问1详解】 设，由，得， 当时，，即，所以曲线为椭圆. 【小问2详解】 由，得. 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 所以，则； 故应满足且曲线为双曲线. 【小问3详解】 由，得曲线的方程为， 则的右焦点坐标为，所以直线的方程为. 联立得. 设，则 （i）若，则 . （ii）略 【点睛】本题难点在于理解并应用曲线的定义进行分析，考查对新定义的理解和应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第五十八中学教育集团建标考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆相交于两点，，则（ ） A. 0或1 B. 1或 C. 1或2 D. 0或2 5. 现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（ ） A. B. C. D. 6. 把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度满足.若不变，在后该物体的温度分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则；若，则 D. 若，则；若，则 7. 已知定义在上的奇函数满足，则（ ） A. 0 B. C. 253 D. 506 8. 如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（ ） A. 268米 B. 265米 C. 266米 D. 267米 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图． 下列结论正确的是（ ） A. 这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大 B. 这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大 C. 这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大 D. 这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大 10. 在长方体中，分别是棱的中点，是的中点，直线与平面交于点，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值是 B. 点到平面的距离是 C. 三棱锥的体积为 D. 四面体外接球的表面积是 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若是的极小值点，则在上单调递减 B. 若是的极大值点，则且 C. 若，且的极小值大于0，则的取值范围为 D. 若，且在上的值域为，则的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量的夹角的余弦值为，且，则______. 13. 已知，函数在上单调递增，则的最大值为________. 14. 一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求． 16. 已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人答对每道题的概率分别为，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答. （1）求第一题结束时甲获得1分的概率； （2）记表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求的分布列与期望. 17. 如图，在三棱柱中，平面． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）判断曲线为何种圆锥曲线. （2）若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ （3）设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $