精品解析：河南省南阳市2024-2025学年高二上学期期中适应性考试数学试题

南阳地区2024年秋季高二年级期中适应性考试卷 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一、二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系计算即可得. 【详解】由，得倾斜角为． 故选：C. 2. 已知直线，直线．若，则（ ） A. B. C. 2 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行与斜率的关系求解. 【详解】因为，所以，解得或． 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意． 故． 故选：A. 3. 已知椭圆的短轴长为4，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据短轴长求得，讨论大小及椭圆定义求参数. 【详解】由的短轴长为4，得，即，则， 若，则，显然矛盾； 若，则． 经验证，当时，椭圆的短轴长为4， 故选：B 4. 如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，宽6m，高1m，根据图中的坐标系．可得这条抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出抛物线的方程，结合图象可得，即可得其准线方程. 【详解】设这条抛物线的方程为， 由图可知点的坐标为，所以，得， 故这条抛物线的准线方程为． 故选：B. 5. 已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】将切线长问题，转化为圆心到直线的距离问题，当圆心与点的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小. 【详解】记圆心到直线的距离为，则． 因为， 所以当直线与垂直，即时，的值最小， 故． 故选：B. 6. 已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆上的点为，结合点到直线的距离公式与辅助角公式计算即可得解. 【详解】设椭圆上的点为， 则点到直线的距离为，其中， 由，故椭圆上的点到直线的距离的最大值为． 故选：D. 7. 已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设关于的对称点为，求出点，则，故的最小值为即可得解. 【详解】 设关于的对称点为，则解得， 即，所以， 故的最小值为． 故选：C. 8. 已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线，下列选项正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的实轴长为8 C. 双曲线的焦距为 D. 双曲线的离心率为 【答案】BD 【解析】 【分析】由双曲线方程可得、，即可得，即可得双曲线的渐近线方程、实轴长、焦距与离心率. 【详解】因为，，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，实轴长为8，故A错误，B正确； 因为，所以双曲线的焦距为， 离心率为，故C错误，D正确． 故选：BD. 10. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据截距是否为零进行分类讨论，即可求解. 【详解】当直线的截距为0时，直线的方程为，即. 当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 所以，解得或， 当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为. 故选：ABD. 11. 在平面直角坐标系中，的顶点，，且，记的顶点的轨迹为，则下列说法正确的是（ ） A. 轨迹的方程为 B. 面积的最大值为3 C. 边上的高的最大值为 D. 若为直角三角形，则直线被轨迹截得的弦长的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】因为．所以．由直接法求轨迹方程即可判断A；当的坐标为时，面积的最大即可判断B；当与圆相切时，到的距离最大，作于点，所以为最大值即可判断C；当时，，此时直线被圆截得的弦长为；当时，不妨设，显然当在处时，直线被圆截得的弦长更长求解即可判断D. 【详解】因为，所以由正弦定理得． 设，则，整理得， 因为顶点不能与，重合， 所以顶点的轨迹方程为，且，故A错误． 当的坐标为时，，所以B正确． 当与圆相切时，到的距离最大， 如图1，作于点，因为，所以， 所以边上的高的最大值为，故C错误． 如图2，当时，，此时直线被圆截得的弦长为； 当时，由得， 不妨设，显然当在处时，直线被圆截得的弦长更长， 此时直线的方程为，圆心到直线的距离， 所以弦长为．故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的虚轴长为______，以的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准方程为______. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】写出双曲线的标准方程，进而确定其虚轴长、左焦点，根据圆心、半径写出圆的标注方程，即得答案. 【详解】由，得，则，，故， 所以双曲线的虚轴长为，左焦点的坐标为， 则所求圆的标准方程为． 故答案为：； 13. 若点在圆的外部，则正实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】结合圆的定义、点与圆的位置关系计算即可得解. 【详解】由题意可得，解得， 故正实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点（在第一象限内），为上一动点，则周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】过作直线的垂线，垂足为A，分析出为正三角形，求出；再通过轴对称求出，即可得周长的最小值. 【详解】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为A，连接， 由题知，焦点，，． 因为直线的斜率为，所以为正三角形， 所以，， 所以． 记关于直线的对称点为，则． 当，，三点共线时，， 所以周长的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过，，三点． （1）求圆的标准方程； （2）判断圆与圆的位置关系． 【答案】（1） （2）圆与圆相交 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由圆的方程可确定两圆圆心和半径，根据圆心距与半径和差关系可得两圆位置关系. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则，解得， 故圆的方程为， 标准方程为； 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为4， 设两圆圆心之间的距离为，则， 因为，所以圆与圆相交． 16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【小问1详解】 由题意，知，解得，故双曲线的方程为． 【小问2详解】 设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 17. 已知圆（为常数）． （1）当时，求直线被圆截得的弦长． （2）证明：圆经过两个定点． （3）设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时利用配方求出圆的圆心、半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由可得答案； （2）由令与联立解方程组可得答案； （3）（方法一）设的中点为，由得求出可得答案．（方法二）由利用两点间的距离公式求出可得答案． 【小问1详解】 当时，圆， 此时，圆的圆心为，半径． 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长 为； 【小问2详解】 由，得， 令，因为为常数 所以得，由 解得或， 所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为； 【小问3详解】 （方法一）设的中点为， 不妨设，则点的坐标为． 因为，所以， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． （方法二）不妨设，因为， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． 18. 已知不在轴下方的动点到点的距离比到轴的距离长，记动点的轨迹为． （1）求轨迹的方程． （2）已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，切线分别为，．直线，相交于点．若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义即可得； （2）联立，消去后可得与有关的一元二次方程，即可得与交点横坐标有关韦达定理，再设出直线的方程并联立曲线，借助根的判别式可得切线的方程，同理可得直线的方程，联立即可得点坐标，再借助，代入韦达定理计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可得点到点的距离与到直线的距离相等， 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为； 【小问2详解】 设，， 联立方程组，得，， 则，， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，得． 由，解得，所以切线的方程为， 同理可得，直线的方程为， 由，解得，即点， 因为，，，且，所以， 即， 即有， 化简得， 因此或，故有. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）判断曲线为何种圆锥曲线. （2）若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ （3）设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点. 【答案】（1）椭圆 （2）且 （3）（i）； （ii）因为点关于轴的对称点为点，所以， 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 . 当且时， ， 故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）设，根据曲线的定义，可得的坐标满足的方程，分析可得结果. （2）将整理为，根据双曲线方程的特点分析可得结果. （3）（i）先根据为曲线可得曲线的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果； （ii）先设出直线的点斜式方程，由对称性得直线经过的定点必在轴上，令，结合韦达定理化简可得定点坐标. 【小问1详解】 设，由，得， 当时，，即，所以曲线为椭圆. 【小问2详解】 由，得. 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 所以，则； 故应满足且曲线为双曲线. 【小问3详解】 由，得曲线的方程为， 则的右焦点坐标为，所以直线的方程为. 联立得. 设，则 （i）若，则 . （ii）略 【点睛】本题难点在于理解并应用曲线的定义进行分析，考查对新定义的理解和应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳地区2024年秋季高二年级期中适应性考试卷 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一、二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，直线．若，则（ ） A. B. C. 2 D. 2或 3. 已知椭圆的短轴长为4，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，宽6m，高1m，根据图中的坐标系．可得这条抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线，下列选项正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的实轴长为8 C. 双曲线的焦距为 D. 双曲线的离心率为 10. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，的顶点，，且，记的顶点的轨迹为，则下列说法正确的是（ ） A. 轨迹的方程为 B. 面积的最大值为3 C. 边上的高的最大值为 D. 若为直角三角形，则直线被轨迹截得的弦长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的虚轴长为______，以的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准方程为______. 13. 若点在圆的外部，则正实数的取值范围是______. 14. 抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点（在第一象限内），为上一动点，则周长的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过，，三点． （1）求圆的标准方程； （2）判断圆与圆的位置关系． 16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 17. 已知圆（为常数）． （1）当时，求直线被圆截得的弦长． （2）证明：圆经过两个定点． （3）设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程． 18. 已知不在轴下方的动点到点的距离比到轴的距离长，记动点的轨迹为． （1）求轨迹的方程． （2）已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，切线分别为，．直线，相交于点．若，求． 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）判断曲线为何种圆锥曲线. （2）若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ （3）设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $