专题09 几何证明刷题练1（全等证明不含辅助线60道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题09 几何证明刷题练1 （全等证明不含辅助线60道） 1．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）若∠1＝65°，求∠3的角度． 2．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF． （1）求证：CF∥AB （2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC，求∠BED的度数． 3．如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AC＝AE，AD、BC相交于点F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AB∥DE，∠D＝30°求∠AFB的度数． 4．如图，已知：点B、D、C在同一条直线上，∠B＝∠DCF＝90°，AB＝DC，AC＝DF．求证：AC⊥DF． 5．如图，已知BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且BD＝CD． 求证：（1）△BED≌△CFD； （2）AD是∠BAC的平分线． 6．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AC与DE相交于点O，AC∥DF，AB∥DE，AB＝DE． （1）若BE＝1，EC＝3，求BF的长． （2）若∠BED＝115°，∠D＝80°，求∠ACB的度数． 7．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 8．如图，DA⊥AB于点A，DF⊥BC于点F，若CD＝DE，AE＝CF．求证： （1）BD平分∠ABC； （2）BC+BE＝2AB． 9．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝10，CF＝7，求BD的长． 10．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：△ACB≌△EBD； （2）若DB＝12，求AC的长． 11．如图1，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于G点． （1）猜想AE与CF，GE与GF的数量关系； （2）当E、F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，（1）中猜想的结论是否成立？若成立，给予证明． 12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BA＝CE，CE⊥BD，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 13．如图已知，AC＝AB，AE＝AD，∠1＝∠2，AB与EC相交于点F． （1）求证：EC＝DB； （2）若∠1＝25°，∠B＝30°，求∠AFE的度数． 14．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝10，BE＝2，求AB的长． 15．将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知BA＝DB，BE＝BC，AC＝DE＝DC． （1）求证：△ABC≌△DBE； （2）若∠ACD＝72°，求∠BED的度数． 16．如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°． （1）求证：△AOC≌△BOD； （2）若∠ABC＝35°，求∠CAD的度数． 17．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于点P． （1）求证：AC＝BD． （2）若∠AOB＝70°，求∠APD的度数． 18．如图，∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB． （1）求证：M是BC的中点； （2）试探究线段DC，AB，AD之间的数量关系，并说明理由． 19．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD，∠1＝25°，∠2＝30°． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）求∠3的度数． 20．如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长． 21．如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝CD． （1）求证：AB＝DE． （2）若∠A＝34°，∠EFD＝105°，求∠B的度数． 22．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：DE＝DF； （2）若BG＝CA，AG＝4，求DF的长． 23．如图，点D在BC上，AC、DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE． （1）求证：∠C＝∠E； （2）若∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，求∠CDF的度数． 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC边上，DE⊥AB于点E，点F在BC边上，DF＝AD，CF＝AE，连接BD． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若AB＝10，CF＝2，求线段BF的长． 25．如图，△ABC的两条高AD，CE交于点F，AF＝BC． （1）求证：△AEF≌△CEB； （2）若BE＝4，CF＝5，求AE的长度． 26．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝25°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，延长DA至E．使得AE＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连结EF． （1）求∠EAF的度数． （2）求证：EF＝BC． 27．如图，在△ABC和△ADE中，D是BC边上一点，且AD＝AB，AC＝AE，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）AD平分∠BDE是否成立？请判断并说明理由． 28．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）求证：△ACD≌△ABD； （2）过点C作CE⊥AB于点E，CE交AD于点F，若CE＝AE．求证：AF＝2CD． 29．如图，已知在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠CAB＝∠EAF．BE交FC于O点， （1）求证：BE＝CF； （2）当∠BAC＝70°时，求∠BOC的度数． 30．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得CF∥AB，连接CF． （1）求证：EF＝ED； （2）若∠BED＝15°，∠A＝70°，∠F＝35°，求证：BE⊥AC． 31．如图，在△ABN和△DCM中，点C、N、M、B在一条直线上，AB＝DC，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，CM＝BN．求证：∠B＝∠C． 32．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠1＝∠2． （1）求证：∠B＝∠D； （2）求证：∠1＝∠3． 33．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）若∠1＝50°，求∠3的度数． 34．如图，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在EB同侧，连结BD，CE交于点M． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若∠CAD＝100°，求∠DME的度数． 35．如图，△ADC与△EDG均为等腰直角三角形，连接AG，CE，相交于点H． （1）求证：AG＝CE； （2）求∠AHE的大小． 36．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在BC的延长线上，且BD＝AB．过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E． （1）求证：△ABC≌△BDE； （2）若AB＝12，DE＝5，求CD的长． 37．如图，在△ABC中，点D是AC上一点，AD＝AB，过点D作DE∥AB，且DE＝AC． （1）求证：△ABC≌△DAE； （2）若点D是AC的中点，△ABC的面积是20，求△AEC的面积， 38．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点．连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D．连接DE． （1）若△ABC的周长为19，AB为6，求△DEC的周长； （2）若∠ABC＝35°，∠C＝50°，求∠CDE的度数． 39．如图，△ABC≌△DEF，其中点A、E、B、D在一条直线上． （1）若FE⊥AD，∠F＝58°，求∠A的大小； （2）若AD＝9cm，BE＝5cm，求AE的长． 40．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AC＝10，求四边形ABCD的面积； （3）求∠FAE的度数． 41．已知如图，边AC、BD交于点E，AC＝DB，∠ACB＝∠DBC． （1）如图1，求证：AB＝DC； （2）如图2，延长BA、CD交于点F，连接EF，请直接写出图2中的所有全等三角形． 42．如图，AD是△ABC的BC边上的中线，E是AD上一点，延长AD到点F，使DF＝DE．连接BE，CF．G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：BE＝CF； （2）若BG＝CA，AG＝2DF，求证：∠G＝∠CAF． 43．如图，点A，B在射线CA，CB上，CA＝CB．点E，F在射线CD上，∠BEC＝∠CFA，∠BEC+∠BCA＝180°． （1）求证：△BCE≌△CAF； （2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由． 44．如图所示，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：BC＝DE； （2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．求∠E的度数． 45．如图，在△ABD中，AB＝AD，E为平面内一点，连接AE，DE，C为AD延长线上一点，连接BC交DE于点F，且AE＝BC，∠ADB+∠CBD＝∠DAE． （1）求证：AC＝DE； （2）若∠ADB＝30°，∠CBD＝10°，求∠BFD的度数． 46．已知：如图，点A，D，C，F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，AD＝CF． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）若∠A＝50°，∠F＝60°，求∠B的度数． 47．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝BA，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若BD＝12，AB＝2CE，求BC的长度． 48．如图，△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G． （1）求证：△EGA≌△EFA； （2）若∠BEC＝2∠GEA，AB＝3，AC＝5，求AF的长． 49．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE． （1）证明：△ADC≌△BCE； （2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积． 50．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠1＝∠2，BD＝BC． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠1＝25°，∠DBC＝30°，求∠DEC的度数． 51．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）若AD＝10，BE＝6，求AB的长． 52．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE． 求证： （1）BD＝BF （2）BC＝BE 53．如图，点A，C，D，E在同一条直线上，BC⊥AE，FD⊥AE，∠F＝∠B，且AB＝EF． （1）求证：△ABC≌△EFD； （2）若AE＝8，CD＝2，求DE的长． 54．已知：如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为点C，BE与AC，AD分别相交于点F，E，射线DF交AB于点G，AC＝BC，CD＝CF． （1）求证：∠DBF＝∠CAD； （2）若AB＝8，DG＝6，求△ABD的面积． 55．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．在AB上截取AE＝AC，连结DE．若BC＝6cm，BE＝3cm． （1）求证：△AED≌△ACD； （2）求△BED的周长． 56．如图所示，△ABC≌△DEB，点E在AB边上，DE与AC交于点F． （1）若AE＝4，BC＝6，求线段DE的长； （2）若∠A＝25°，∠AFD＝100°，求∠DBE的度数． 57．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC上一点，连结BE交点AD于点F，BF＝AC，DF＝DC． （1）求证：△ADC≌△BDF． （2）求证：BE⊥AC． 58．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，CF＝AB． 【问题解决】（1）试说明：△ABG≌△CFB； 【问题探究】（2）BF与BG垂直吗？请说明理由． 59．如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM． （1）求证：AE＝BF． （2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长． 60．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，CD＝AB，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若∠B＝48°，∠D＝23°，求∠FCD的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 几何证明刷题练1 （全等证明不含辅助线60道） 1．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）若∠1＝65°，求∠3的角度． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CBE＝∠2+∠CBE， 即∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）解：∵△ABE≌△CBD， ∴∠A＝∠C， ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠3＝180°﹣∠C﹣∠CFE＝180°﹣∠A﹣∠AFB＝∠1， ∵∠1＝65°， ∴∠3＝65°． 2．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF． （1）求证：CF∥AB （2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC，求∠BED的度数． 【解答】（1）证明：∵E为AC中点， ∴AE＝CE， 在△AED和△CEF中， ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴∠A＝∠ACF， ∴CF∥AB； （2）解：∵∠A＝∠ACF＝70°，∠F＝35°， ∴∠AED＝∠CEF＝180°﹣70°﹣35°＝75°， ∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BED＝90°﹣75°＝15°． 3．如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AC＝AE，AD、BC相交于点F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AB∥DE，∠D＝30°求∠AFB的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD， ∴∠CAB＝∠EAD， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）； （2）解：∵AB∥DE，∠D＝30°， ∴∠1＝∠D＝30°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠D＝30°， ∴∠AFB＝180°﹣∠3﹣∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 4．如图，已知：点B、D、C在同一条直线上，∠B＝∠DCF＝90°，AB＝DC，AC＝DF．求证：AC⊥DF． 【解答】证明：∵∠B＝∠DCF＝90°， 在Rt△ABC和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCF（HL）， ∴∠A＝∠FDC， ∵∠A+∠ACB＝90°， ∴∠FDC+∠ACB＝90°， ∴AC⊥DF． 5．如图，已知BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且BD＝CD． 求证：（1）△BED≌△CFD； （2）AD是∠BAC的平分线． 【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）． （2）Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是∠BAC的平分线． 6．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AC与DE相交于点O，AC∥DF，AB∥DE，AB＝DE． （1）若BE＝1，EC＝3，求BF的长． （2）若∠BED＝115°，∠D＝80°，求∠ACB的度数． 【解答】解：（1）点B、E、C、F在同一条直线上，AC与DE相交于点O，AC∥DF，AB∥DE， ∴∠ACB＝∠F，∠B＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴BC＝EF， ∴BC﹣EC＝EF﹣EC， ∴BE＝CF， ∵BE＝1，EC＝3， ∴BF＝BE+EC+CF＝1+3+1＝5． （2）∵∠BED＝115°，∠D＝80°， ∴∠F＝∠BED﹣∠D＝35°， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠F＝35°． 7．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， 在Rt△ADE与Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴AD平分∠BAC． 8．如图，DA⊥AB于点A，DF⊥BC于点F，若CD＝DE，AE＝CF．求证： （1）BD平分∠ABC； （2）BC+BE＝2AB． 【解答】证明：（1）∵DA⊥AB于点A，DF⊥BC于点F， ∴∠A＝∠DFC＝90°， 在Rt△ADE和Rt△FDC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△FDC（HL）， ∴AD＝FD， ∵DA⊥AB，DF⊥BC，AD＝FD， ∴点D在∠ABC的平分线上， ∴BD平分∠ABC． （2）∵DF⊥BC于点F，DA⊥AB于点A， ∴∠BFD＝∠A＝∠90°， 在Rt△FBD和Rt△ABD中， ， ∴Rt△FBD≌Rt△ABD（HL）， ∴FB＝AB， ∴BC+BE＝FB+CF+AB﹣AE， ∵AE＝CF， ∴CF﹣AE＝0， ∴BC+BE＝2AB． 9．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝10，CF＝7，求BD的长． 【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）； （2）由（1）可知，△ADE≌△CFE， ∴AD＝CF＝7， ∵AB＝10， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣7＝3， 即BD的长是3． 10．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：△ACB≌△EBD； （2）若DB＝12，求AC的长． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB， ∴∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°， ∴∠DEB＝∠A， 在△ACB和△EBD中， ， ∴△ACB≌△EBD（AAS）； （2）解：由（1）得：△ACB≌△EBD， ∴BC＝DB，AC＝EB， ∵E是BC的中点， ∴， ∵DB＝12，BC＝DB， ∴BC＝12， ∴AC＝EB＝BC＝6． 11．如图1，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于G点． （1）猜想AE与CF，GE与GF的数量关系； （2）当E、F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，（1）中猜想的结论是否成立？若成立，给予证明． 【解答】（1）证明：AE＝CF，GE＝GF．理由如下： ∵∠AFB＝∠CED＝90°， 在Rt△ABF和Rt△CDE中 ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）， ∴AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， ∴AE＝CF． 在△GFB和△GED中， ， ∴△GFB≌△GED（AAS）， ∴GE＝GF． （2）证明：AE＝CF，GE＝GF．理由如下： ∵∠AFB＝∠CED＝90°， 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）， ∴AF＝CE， ∴AE＝CF． 在△GFB和△GED中， ， ∴△GFB≌△GED（AAS）， ∴GE＝GF． 12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BA＝CE，CE⊥BD，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBC． ∵CE⊥BD，∠A＝90°， ∴∠A＝∠CEB， ∴△ABD≌△ECB（AAS）； （2）解：∵△ABD≌△ECB， ∴BC＝BD， ∵∠DBC＝50°， ∴∠DCB＝∠BDC＝65°， 又∵CE⊥BD， ∴∠CED＝90°， ∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝90°﹣65°＝25°． 13．如图已知，AC＝AB，AE＝AD，∠1＝∠2，AB与EC相交于点F． （1）求证：EC＝DB； （2）若∠1＝25°，∠B＝30°，求∠AFE的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠EAB+∠1＝∠EAB+∠2， ∴∠EAC＝∠DAB， 在△ACE和△ABD中， ， ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴EC＝DB； （2）解：∵△ABD≌△ACE， ∴∠C＝∠B， ∵∠1＝25°，∠B＝30°，∠AFE＝∠2+∠C，∠1＝∠2， ∴∠AFE＝∠1+∠B＝55°． 14．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝10，BE＝2，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BDE与Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC； （2）解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，BE＝2， ∴CF＝BE＝2， ∵AC＝10， ∴AF＝AC﹣CF＝10﹣2＝8， 在Rt△ADE与Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF＝8， ∴AB＝AE﹣BE＝8﹣2＝6． 15．将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知BA＝DB，BE＝BC，AC＝DE＝DC． （1）求证：△ABC≌△DBE； （2）若∠ACD＝72°，求∠BED的度数． 【解答】（1）证明：在△ABC和△DBE中，BA＝DB，BE＝BC，AC＝DE， ， ∴△ABC≌△DBE（SSS） （2）解：在△ABC和△DBC中， ， ∴△ABC≌△DBC（SSS）， ∴∠ACB＝∠DCB， ∵∠ACD＝72°＝∠ACB+∠DCB， ∴， ∵△ABC≌△DBE， ∴∠BED＝∠BCA＝36°． 16．如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°． （1）求证：△AOC≌△BOD； （2）若∠ABC＝35°，求∠CAD的度数． 【解答】（1）证明：∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ABD和△BAC是直角三角形， 在Rt△ABD和Rt△BAC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）， ∴AC＝BD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）； （2）解：∵∠ABC＝35°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝55°， ∵Rt△ABD≌Rt△BAC， ∴∠ABC＝∠BAD＝35°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝20°， 即∠CAD的度数为20°． 17．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于点P． （1）求证：AC＝BD． （2）若∠AOB＝70°，求∠APD的度数． 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC与△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD； （2）解：∵△AOC≌△BOD， ∴∠OAC＝∠OBD， ∵∠BQP＝∠AQO， ∴180°﹣∠AQO﹣∠OAC＝180°﹣∠BQP﹣∠OBD， ∴∠AOQ＝∠BPQ＝70°， ∴∠APD＝180°﹣∠BPQ＝110°． 18．如图，∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB． （1）求证：M是BC的中点； （2）试探究线段DC，AB，AD之间的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：如图所示，过点M作MF⊥AD于F， ∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，MF⊥AD， ∴MF＝MC， ∵AM平分∠DAB，∠B＝90°，MF⊥AD， ∴MF＝MB， ∴MC＝MB， ∴M是BC的中点； （2）解：AD＝CD+AB，理由如下： 由（1）可得MF＝MC＝MB， 又∵AM＝AM，DM＝DM， ∴Rt△AFM≌Rt△ABM，Rt△CDM≌Rt△FDM， ∴AB＝AF，CD＝DF， ∵AD＝AF+DF， ∴AD＝CD+AB． 19．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD，∠1＝25°，∠2＝30°． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）求∠3的度数． 【解答】（1）证明：∵BAC＝∠BAE+∠CAE，∠DAE＝∠1+∠CAE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠1＝∠BAE， 在△ABE和△ACD中 ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）； （2）解：∵△ABE≌△ACD， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∴∠3＝∠BAE+∠ABD＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°． 20．如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长． 【解答】（1）证明：∵∠D＝90°， ∴AD⊥DE， ∵EA平分∠DEF， ∴∠AED＝∠AEF， ∴∠AED＝∠AEF， 又∵AF⊥EF， ∴AF＝AD； （2）解：在Rt△ABF和△RtACD中， ， ∴Rt△ABF≌△RtACD（HL）， ∴BF＝CD＝7， ∵DE＝3， ∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4． 21．如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝CD． （1）求证：AB＝DE． （2）若∠A＝34°，∠EFD＝105°，求∠B的度数． 【解答】（1）证明：∵AF＝CD， ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴AB＝DE． （2）解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠BCA＝∠EFD＝105°， ∵∠A＝34°， ∴∠B＝180°﹣∠BCA﹣∠A＝180°﹣105°﹣34°＝41°． 22．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：DE＝DF； （2）若BG＝CA，AG＝4，求DF的长． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴∠F＝∠BED＝90°， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DF； （2）解：∵△BDE≌△CDF， ∴BE＝CF， 在Rt△BEG和Rt△CFA中， ， ∴Rt△BEG≌Rt△CFA（HL）， ∴EG＝FA， ∴EG﹣AE＝FA﹣AE， 即AG＝EF＝4， ∵DE＝DF，DE+DF＝EF， ∴． 23．如图，点D在BC上，AC、DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE． （1）求证：∠C＝∠E； （2）若∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，求∠CDF的度数． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC与△ADE中，， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． ∴∠C＝∠E； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠B． ∵∠BAD＝30°，AB＝AD， ∴． ∴∠ADE＝75°． ∴∠CDF＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝30°． 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC边上，DE⊥AB于点E，点F在BC边上，DF＝AD，CF＝AE，连接BD． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若AB＝10，CF＝2，求线段BF的长． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB， ∴∠BED＝∠AED＝90°， 在Rt△ADE和Rt△FDC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△FDC（HL）， ∴DC＝DE， 又∵DC⊥BC，DE⊥BA， ∴BD平分∠ABC； （2）解：在Rt△BCD与Rt△BED中， ， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BC＝BE， ∵AE＝CF，CF＝2， ∴AE＝2， ∵AB＝10， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣2＝8， ∴BC＝8， ∴BF＝BC﹣CF＝8﹣2＝6， ∴BF＝6． 25．如图，△ABC的两条高AD，CE交于点F，AF＝BC． （1）求证：△AEF≌△CEB； （2）若BE＝4，CF＝5，求AE的长度． 【解答】（1）证明：∵△ABC的两条高AD，CE交于点F， ∴∠BEC＝∠AEF＝90°， ∴∠BCE+∠B＝∠DAB+∠B＝90°， ∴∠BCE＝∠DAB， 在△AEF和△BCE中， ， ∴△AEF≌△CEB（AAS）； （2）解：∵△AEF≌△CEB， ∴EF＝BE＝4，AE＝CE， ∴AE＝CE＝CF+EF＝5+4＝9． 26．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝25°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，延长DA至E．使得AE＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连结EF． （1）求∠EAF的度数． （2）求证：EF＝BC． 【解答】（1）解：∵AD⊥BC． ∴∠ADC＝90°． ∵∠C＝25°， ∴∠EAF＝∠ADC+∠C＝115°； （2）证明：在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝25°， ∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝115°． ∴∠EAF＝∠CAB． 在△EAF和△CAB中， ， ∴△EAF≌△CAB（SAS）， ∴EF＝CB． 27．如图，在△ABC和△ADE中，D是BC边上一点，且AD＝AB，AC＝AE，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）AD平分∠BDE是否成立？请判断并说明理由． 【解答】（1）证明：在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SSS）； （2）解：成立，理由如下： 由（1）知，△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠ABD， 又∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠ADE， ∴AD平分∠BDE． 28．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）求证：△ACD≌△ABD； （2）过点C作CE⊥AB于点E，CE交AD于点F，若CE＝AE．求证：AF＝2CD． 【解答】证明：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC， 在Rt△ACD和Rt△ABD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△ABD（HL）； （2）∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AEF＝∠CEB＝90°， ∴∠EAF+∠B＝90°，∠B+∠BCE＝90°， ∴∠EAF＝∠BCE， 在△AEF和△CEB中， ， ∴△AEF≌△CEB（AAS）， ∴BC＝AF， ∵Rt△ACD≌Rt△ABD， ∴CD＝BD， ∴BC＝2CD， ∴AF＝2CD． 29．如图，已知在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠CAB＝∠EAF．BE交FC于O点， （1）求证：BE＝CF； （2）当∠BAC＝70°时，求∠BOC的度数． 【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠EAF， ∴∠CAB+∠CAE＝∠EAF+∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAF， 在△BAE和△CAF中 ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴BE＝CF； （2）∵△BAE≌△CAF， ∴∠EBA＝∠FCA， 即∠DBA＝∠OCD， ∵∠BDA＝∠ODC， ∴∠BAD＝∠COD， ∵∠BAC＝70°， ∴∠BAD＝70°， ∴∠COD＝70°， 即∠BOC＝70°． 30．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得CF∥AB，连接CF． （1）求证：EF＝ED； （2）若∠BED＝15°，∠A＝70°，∠F＝35°，求证：BE⊥AC． 【解答】证明：（1）在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得CF∥AB，连接CF． ∵E为AC中点， ∴AE＝CE， ∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ACF， 在△AED和△CEF中， ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴EF＝ED； （2）∵△AED≌△CEF，∠F＝35°， ∴∠ADE＝∠F＝35°， ∴∠ABE＝∠ADE﹣∠BED＝35°﹣15°＝20°， ∴∠A+∠ABE＝70°+20°＝90°， ∴∠BEA＝90°， ∴BE⊥AC． 31．如图，在△ABN和△DCM中，点C、N、M、B在一条直线上，AB＝DC，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，CM＝BN．求证：∠B＝∠C． 【解答】证明：∵点C、N、M、B在一条直线上，CM＝BN， ∴CM﹣MN＝BN﹣MN，即CN＝BM， ∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N， ∴∠AMB＝∠DNC＝90°， 在Rt△ABM和Rt△DCN中， ∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）， ∴∠B＝∠C． 32．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠1＝∠2． （1）求证：∠B＝∠D； （2）求证：∠1＝∠3． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠AOD＝∠2+∠AOD， ∴∠AOB＝∠COD， 在△AOB 和△COD 中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴∠B＝∠D． （2）解：由（1）得∠B＝∠D， ∵∠1+∠B＝∠OMA，∠3+∠D＝∠OMA， ∴∠1+∠B＝∠3+∠D， ∴∠1＝∠3． 33．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）若∠1＝50°，求∠3的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2． ∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）解：∵△ABE≌△CBD， ∴∠A＝∠C， ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠1＝∠3， ∵∠1＝50°， ∴∠3＝50°． 34．如图，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在EB同侧，连结BD，CE交于点M． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若∠CAD＝100°，求∠DME的度数． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAC+∠DAC＝∠EAD+∠DAC，即∠DAB＝∠EAC， 在△EAC和△DAB中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵∠BAC＝∠EAD，∠CAD＝100°， ∴∠BAC＝∠EAD＝＝＝40°， ∵∠BAC是△EAC的外角， ∴∠BAC＝∠AEC+∠ACE＝40°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ECA＝∠DBA， ∵∠DME是△BME的外角， ∴∠DME＝∠AEC+∠ABD＝∠AEC+∠ACE＝40°． 35．如图，△ADC与△EDG均为等腰直角三角形，连接AG，CE，相交于点H． （1）求证：AG＝CE； （2）求∠AHE的大小． 【解答】（1）证明：∵△ADC与△EDG均为等腰直角三角形， ∴AD＝CD，DG＝DE，∠ADC＝∠GDE＝90°， ∴∠ADC+∠CDG＝∠GDE+∠CDG，即∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE； （2）解：设AG与CD交于点B， ∵△ADG≌△CDE， ∴∠DAG＝∠DCE， 又∵∠ABD＝∠CBH， ∴∠CHB＝∠ADB＝90°； ∴∠AHE＝90°． 36．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在BC的延长线上，且BD＝AB．过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E． （1）求证：△ABC≌△BDE； （2）若AB＝12，DE＝5，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC， ∴∠A+∠ABE＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠DBE+∠ABE＝90°， ∴∠A＝∠DBE， 在△ABC和△BDE中， ， ∴△ABC≌△BDE（ASA）； （2）解：AB＝DE+CD， 理由：由（1）证得，△ABC≌△BDE， ∴AB＝BD，BC＝DE， ∵BD＝CD+BC， ∴AB＝CD+DE． ∵AB＝12，DE＝5， ∴CD＝AB﹣DE＝12﹣5＝7． 37．如图，在△ABC中，点D是AC上一点，AD＝AB，过点D作DE∥AB，且DE＝AC． （1）求证：△ABC≌△DAE； （2）若点D是AC的中点，△ABC的面积是20，求△AEC的面积， 【解答】解：（1）证明：∵DE∥AB， ∴∠BAC＝∠ADE， 在△ABC和△DAE中， ∴△ABC≌△DAE（SAS）； （2）∵△ABC≌△DAE， ∴S△ABC＝S△DAE＝20， 点D是AC的中点， ∴S△AEC＝2S△DAE＝2×20＝40 38．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点．连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D．连接DE． （1）若△ABC的周长为19，AB为6，求△DEC的周长； （2）若∠ABC＝35°，∠C＝50°，求∠CDE的度数． 【解答】解：（1）∵BD垂直平分AE，AB＝6， ∴BA＝BE＝6，DA＝DE， ∵△ABC的周长为19， ∴AB+BC+AC＝19， ∴AB+BE+EC+AD+DC＝2AB+EC+DE+CD＝19， ∴CE+ED+DC＝19﹣2AB＝19﹣2×6＝7， ∴△DEC的周长为7； （2）∵∠ABC＝35°，∠C＝50°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°， ∵BD垂直平分AE， ∴BA＝BE，DA＝DE， 在△BAD和△BED中， ， ∴△BAD≌△BED（SSS）， ∴∠BAD＝∠BED＝95°， ∴∠DEC＝180°﹣∠BED＝180°﹣95°＝85°， ∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝180°﹣85°﹣50°＝45°． 39．如图，△ABC≌△DEF，其中点A、E、B、D在一条直线上． （1）若FE⊥AD，∠F＝58°，求∠A的大小； （2）若AD＝9cm，BE＝5cm，求AE的长． 【解答】解：（1）∵FE⊥AD， ∴∠DEF＝90°， ∴∠D＝90°﹣∠F＝90°﹣58°＝32°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠D＝32°； （2）∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE， ∴AE＝BD， ∴AE+BE+BD＝2AE+BE＝AD＝9cm， ∵BE＝5cm， ∴AE＝2cm． 40．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AC＝10，求四边形ABCD的面积； （3）求∠FAE的度数． 【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）； （2）∵△ABC≌△ADE， ∴S△ABC＝S△ADE， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE， ∵AC＝AE＝10， ∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×10×10＝50； （3）∵∠CAE＝90°，AC＝AE， ∴∠E＝45°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠BCA＝∠E＝45°， ∵AF⊥BC， ∴∠CAF＝∠FCA＝45°， ∴∠FAE＝135°． 41．已知如图，边AC、BD交于点E，AC＝DB，∠ACB＝∠DBC． （1）如图1，求证：AB＝DC； （2）如图2，延长BA、CD交于点F，连接EF，请直接写出图2中的所有全等三角形． 【解答】（1）证明：在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴AB＝DC； （2）解：△ABE≌△DCE，△AEF≌△DEF，△FBE≌△FCE，△ABC≌△DCB，△FBD≌△FCA，理由如下： 由（1）知，△ABC≌△DCB， ∴∠ABC＝∠DCB，AB＝DC， ∴FB＝FC， ∵∠ACB＝∠DBC， ∴∠ABE＝∠DCE， 又∵∠AEB＝∠DEC，AB＝DC， ∴△ABE≌△DCE（AAS）， ∴AE＝DE， ∵FB＝FC，AB＝DC， ∴AF＝DF， 又∵EF＝EF， ∴△AEF≌△DEF（SSS）， ∴∠AFE＝∠DFE， 又∵FB＝FC，EF＝EF， ∴△FBE≌△FCE（SAS）， ∵BF＝CF，∠BFD＝∠CFA，DF＝AF， ∴△FBD≌△FCA（SAS）． 42．如图，AD是△ABC的BC边上的中线，E是AD上一点，延长AD到点F，使DF＝DE．连接BE，CF．G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：BE＝CF； （2）若BG＝CA，AG＝2DF，求证：∠G＝∠CAF． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（SAS）， ∴BE＝CF； （2）解：由（1）知DE＝DF． ∴AG＝2DF＝EF， ∴GE＝AF， 在△BGE和△CAF中， ， ∴△BGE≌△CAF（SSS）， ∴∠G＝∠CAF． 43．如图，点A，B在射线CA，CB上，CA＝CB．点E，F在射线CD上，∠BEC＝∠CFA，∠BEC+∠BCA＝180°． （1）求证：△BCE≌△CAF； （2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠BEC+∠BCA＝180°， ∴∠BEC+∠ECB+∠ACF＝180°， ∵∠CFA+∠ACF+∠FAC＝180°，∠BEC＝∠CFA， ∴∠BCF＝∠FAC， 在△BCE与△CAF中 ， ∴△BCE≌△CAF（AAS）； （2）解：AF+EF＝BE，理由如下： ∵△BCE≌△CAF， ∴AF＝CE，CF＝BE， ∵CE+EF＝CF， ∴AF+EF＝BE． 44．如图所示，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：BC＝DE； （2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．求∠E的度数． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（ASA）， ∴BC＝DE； （2）①解：∵∠B＝30°，∠APC＝70°， ∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°， ∴∠CAE＝40°， ∵△BAC≌△DAE， ∴AC＝AE， ∴∠ACE＝∠E＝＝＝70°． 45．如图，在△ABD中，AB＝AD，E为平面内一点，连接AE，DE，C为AD延长线上一点，连接BC交DE于点F，且AE＝BC，∠ADB+∠CBD＝∠DAE． （1）求证：AC＝DE； （2）若∠ADB＝30°，∠CBD＝10°，求∠BFD的度数． 【解答】（1）证明：∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∵∠ADB+∠CBD＝∠DAE， ∴∠ABD+∠CBD＝∠DAE， ∴∠ABC＝∠DAE， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（SAS）， ∴AC＝DE； （2）解：∵∠ADB＝∠ABD＝30°，∠CBD＝10°， ∴∠ABC＝40°，∠C＝20°， ∴∠BAC＝120°， ∵△ABC≌△DAE， ∴∠DAE＝∠ABC＝40°，∠E＝∠C＝20°， ∴∠EDC＝∠DAE+∠E＝60°， ∴∠BFD＝∠C+∠EDC＝60°+20°＝80°． 46．已知：如图，点A，D，C，F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，AD＝CF． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）若∠A＝50°，∠F＝60°，求∠B的度数． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠EDF， ∵AD＝CF， ∴AD+DC＝CF+DC， ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． （2）解：由（1）得△ABC≌△DEF， ∵∠A＝50°，∠F＝60°， ∴∠ACB＝∠F＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠B的度数是70°． 47．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝BA，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若BD＝12，AB＝2CE，求BC的长度． 【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠B＝∠ECD， 在△ABC与△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△DCE， ∴AB＝CD＝8， ∴BC＝BD﹣CD＝12﹣8＝4． 48．如图，△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G． （1）求证：△EGA≌△EFA； （2）若∠BEC＝2∠GEA，AB＝3，AC＝5，求AF的长． 【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAD， ∴∠EAG＝∠EAF． 又∵EF⊥AC，EG⊥AD， ∴∠EGA＝∠EFA＝90°． 在△AEG和△EFA中： ， ∴△EGA≌△EFA（AAS）． （2）解：∵AE平分∠CAD且EF⊥AC，EG⊥AD， ∴∠EGB＝∠EFC＝90°． ∵△EGA≌△EFA， ∴EG＝EF，∠GEA＝∠FEA， ∵∠BEC＝2∠GEA， ∴∠BEC＝∠GEF， ∴∠BEC+∠FEB＝∠GEF+∠FEB， 即∠GEB＝∠FEC， 在△EGB和△EFC中， ， ∴△EGB≌△EFC（ASA）． ∴BG＝CF． 又∵BG＝AB+AG，CF＝AC﹣AF， 即AB+AG＝AC﹣AF， 又∵△EGA≌△EFA， ∴AG＝AF． ∴2AF＝AC﹣AB＝5﹣3＝2． ∴AF＝1． 49．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE． （1）证明：△ADC≌△BCE； （2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积． 【解答】（1）证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠B， 在△ACD和△BEC中， ， ∴△ACD≌△BEC（SAS）； （2）解：由（1）知△ADC≌△BCE， ∴DC＝CE， 又∵CF平分∠DCE， ∴CF⊥DE，DF＝EF， ∴CF垂直平分DE， ∵CF＝3，DF＝4． ∴DE＝2DF＝8， ∴S△DCE＝＝＝12， 即△DCE的面积是12． 50．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠1＝∠2，BD＝BC． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠1＝25°，∠DBC＝30°，求∠DEC的度数． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBE， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）； （2）解：∵∠1＝∠2，∠DBC＝25°， ∴∠DEC＝∠DBC+∠2＝30°+25°＝55°． 51．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）若AD＝10，BE＝6，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F， ∴CE＝CF，∠CEB＝∠CFD＝90°， ∴△BCE和△DCF是直角三角形， 在Rt△BCE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）； （2）解：∵CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F， ∴△ACE和△ACF是直角三角形， 在Rt△ACE和Rt△ACF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）； ∴AE＝AF， 由（1）知，Rt△BCE≌Rt△DCF， ∴BE＝DF， ∵AD＝10，BE＝6， ∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AD+DF+BE＝AD+2BE＝22． 52．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE． 求证： （1）BD＝BF （2）BC＝BE 【解答】（1）证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高， ∴∠D＝∠F＝90°， 在Rt△ABD和Rt△ABF中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）， ∴BD＝BF； （2）证明：在Rt△ADC和Rt△AFE中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）， ∴CD＝EF， 由（1）得BD＝BF， ∴BD﹣CD＝BF﹣EF， 即BC＝BE． 53．如图，点A，C，D，E在同一条直线上，BC⊥AE，FD⊥AE，∠F＝∠B，且AB＝EF． （1）求证：△ABC≌△EFD； （2）若AE＝8，CD＝2，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵BC⊥AE，FD⊥AE， ∴∠ACB＝∠EDF＝90°， 在△ABC和△EFD中， ， ∴△ABC≌△EFD（AAS）； （2）解：∵△ABC≌△EFD， ∴AC＝DE， ∵AE＝8，CD＝2， ∴AC+DE＝6， ∴DE＝3． 54．已知：如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为点C，BE与AC，AD分别相交于点F，E，射线DF交AB于点G，AC＝BC，CD＝CF． （1）求证：∠DBF＝∠CAD； （2）若AB＝8，DG＝6，求△ABD的面积． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BD， ∴∠ACD＝∠ACB＝90°， 在△ACD和△BCF中， ， ∴△ACD≌△BCF（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBF， 即∠DBF＝∠CAD； （2）解：由（1）知，∠CAD＝∠CBF， 即∠CBF＝∠EAF， ∵∠BFC＝∠AFE，∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，∠EAF+∠AFE+∠AEF＝180°， ∴∠BCF＝∠AEF＝90°， ∴BE⊥AD， ∵AC⊥BD， ∴DG⊥AB， ∴△ABD的面积＝AB•DG＝×8×6＝24． 55．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．在AB上截取AE＝AC，连结DE．若BC＝6cm，BE＝3cm． （1）求证：△AED≌△ACD； （2）求△BED的周长． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（SAS）． （2）解：∵ED＝CD，BC＝6cm，BE＝3cm， ∴BD+ED＝BD+CD＝BC＝6cm， ∴BD+ED+BE＝6+3＝9（cm）， ∴△BED的周长是9cm． 56．如图所示，△ABC≌△DEB，点E在AB边上，DE与AC交于点F． （1）若AE＝4，BC＝6，求线段DE的长； （2）若∠A＝25°，∠AFD＝100°，求∠DBE的度数． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB， ∴DE＝AB，BC＝EB＝6， ∴AB＝AE+EB＝4+6＝10， ∴DE＝AB＝10； （2）∵△ABC≌△DEB， ∴∠D＝∠A＝25°， ∵∠AFD＝∠A+∠AEF，∠AEF＝∠D+∠EBD， ∴∠AFD＝∠A+∠D+∠DBE＝100°， ∴∠DBE＝50°． 57．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC上一点，连结BE交点AD于点F，BF＝AC，DF＝DC． （1）求证：△ADC≌△BDF． （2）求证：BE⊥AC． 【解答】证明：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠BDF＝90°， 在Rt△ADC和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ADC≌△Rt△BDF（HL）． （2）∵Rt△ADC≌Rt△BDF， ∴∠C＝∠BFD， ∵∠DBF+∠BFD＝90°， ∴∠C+∠DBF＝90°， ∴∠CEB＝90°， ∴BE⊥AC． 58．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，CF＝AB． 【问题解决】（1）试说明：△ABG≌△CFB； 【问题探究】（2）BF与BG垂直吗？请说明理由． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°，则∠BAG+∠ABD＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°，则∠BCF+∠ABD＝90°， ∴∠BAG＝∠BCF， 在△ABG和△CFB中， ， ∴△ABG≌△CFB（SAS）． （2）解：BF与BG垂直，理由如下： ∵AD⊥BC， ∴∠BDG＝90°，则∠G+∠DBG＝90°， 由（1）可得：△ABG≌△CFB（SAS）， ∴∠G＝∠CBF， ∴∠CBF+∠DBG＝90°，即∠GBF＝90°， ∴BF⊥BG． 59．如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM． （1）求证：AE＝BF． （2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长． 【解答】（1）证明：∵BF∥AE， ∴∠EAM＝∠FBM， 在△AME和△BMF中， ， ∴△AME≌△BMF（AAS）， ∴AE＝BF； （2）解：∵△AME≌△BMF， ∴AE＝BF，EM＝FM，∠BFM＝∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠BFD＝90°， 在△AEC和△BFD中， ， ∴△AEC≌△BFD（ASA）， ∴EC＝FD， ∴EC﹣CF＝FD﹣CF， 即EF＝CD＝4， ∴EM＝EF＝2． 60．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，CD＝AB，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若∠B＝48°，∠D＝23°，求∠FCD的度数． 【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠B＝∠DCE， 在△ABC和△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△DCE， ∴∠A＝∠D＝23°， ∴∠FCD＝∠A+∠B＝23°+48°＝71°． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$