精品解析：河南省南阳市唐河县教育体育局2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

河南省唐河县2023-2024学年九年级上学期期中模拟 数学试题 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列四组线段中，成比例线段的是（　　） A. 3、4、5、6 B. 5、15、2、6 C. 4、8、3、5 D. 8、4、1、3 2. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 3. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个圆 B. 两个菱形 C. 两个等腰直角三角形 D. 两个等边三角形 4. 若两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙 6. 如图，五线谱是由等距离、等长的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段等于1.5，则线段的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三条平行线，，分别与另外两条直线相交于点、、和点、、，且，，则下列四个式子中，错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心， 位似比为的位似图形. 若点的坐标为，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则_________． 12. 已知，相似比为，若的面积为2，则的面积为__________． 13. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为________． 14. 如图，中，点D、E分别是， 的中点，若的周长是4，则的周长为___________． 15. 如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为___． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且． （1）如果，求的长； （2）如果，，求的长． 17. 如图，在中，，是斜边上的高 （1）求证： （2）如果，，求的长． 18. 正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直． （1）证明：△ABM∽△MCN； （2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，；请解答下列问题： （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． （2）以点O为位似中心在y轴右侧，将缩小到原来的一半，画出，并写出点坐标． 20. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=2AD，CE=2AE． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）求证：DF•BF=EF•CF． 21. 如图，在和中，，．求证： （1） （2） 22. 如图①是华师大版九年级上册数学教材第80页的第3题： 在四边形中，， P是对角线的中点， M是中点，N是的中点． 求证：（不用证明） 结论应用： （1）如图②，在上述题目的条件下，延长图中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：； （2）若（1）中的，则的度数为 ． 23. 【感知】如图①，在四边形中，点在边上（点不与点、重合），．易证：（不要求证明）． 【探究】如图②，在四边形中，点在边上（点不与点、重合），． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【应用】如图③，在中，，，点在边上（点不与点、重合），连结，作，与边交于点．当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省唐河县2023-2024学年九年级上学期期中模拟 数学试题 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列四组线段中，成比例线段的是（　　） A. 3、4、5、6 B. 5、15、2、6 C. 4、8、3、5 D. 8、4、1、3 【答案】B 【解析】 【详解】A、因为3：4≠5：6，则3、4、5、6不是比例线段，所以A选项错误； B、因为5：15=2：6，则5、：15、2、6是比例线段，所以B选项正确； C、因为4：8≠3：5，则4、8、3、5不是比例线段，所以C选项错误； D、因为8：4≠1：3，则8、4、1、3不是比例线段，所以D选项错误． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于坐标轴对称的点的坐标特征分析即可，平面直角坐标系中对称点的坐标特点：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故选：A． 3. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个圆 B. 两个菱形 C. 两个等腰直角三角形 D. 两个等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解． 【详解】解：A、两个圆的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意； B、两个菱形的各角不一定相等，故不一定相似，故选项B符合题意； C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意； D、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键． 4. 若两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的性质是解题关键．根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可获得答案． 【详解】解：若两个相似三角形的面积之比为， 则两个相似三角形的相似比为， 所以，这两个三角形对应边上的高之比为． 故选：C． 5. 如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断． 【详解】解：∵， ∴是相似形的是甲和丙 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟知相似多边形对应边成比例是解题的关键． 6. 如图，五线谱是由等距离、等长的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段等于1.5，则线段的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，作出适当的辅助线是解题关键．过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、，由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理，得到，即可求出线段的长． 【详解】解：如图，过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、， 由题意可知，， ， ， ， ， 故选：B． 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8. 如图，三条平行线，，分别与另外两条直线相交于点、、和点、、，且，，则下列四个式子中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例的性质（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例），逐项分析推出正确的比例式，运用排除法即可找到正确的选项． 【详解】∵直线l1∥l2∥l3， ∴, ∴A、B、D选项中的等式成立，C选项不成立． 故选C． 【点睛】考查平行线分线段成比例的性质，关键在于认真的逐项分析找到成比例的线段． 9. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使，则，即可推出，则是边的垂线即可，由此求解即可． 【详解】解：当是的垂线时，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 根据作图痕迹可知， A选项中，是的角平分线，不符合题意； B选项中，不与垂直，不符合题意； 选项中，是的垂线，符合题意； 选项中，不与垂直，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心， 位似比为的位似图形. 若点的坐标为，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若两个图形和以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在△中，它的对应点的坐标是或，由此即可解答． 【详解】解：与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∵点的坐标为， 点的坐标为：即． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. 已知，相似比为，若的面积为2，则的面积为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 13. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为________． 【答案】54 【解析】 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论． 【详解】解：设这栋楼的高度为hm， ∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m， ∴， 解得h=54（m）． 故答案为54． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 14. 如图，中，点D、E分别是， 的中点，若的周长是4，则的周长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线定理以及三角形的周长公式．根据题意和中位线定理可知，，再结合的周长是4即可得解．掌握中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵点D、E分别是， 的中点， ∴是的中位线，， ∴， 又∵的周长是4， 即， ∴的周长， 故答案为：8． 15. 如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】设，表示出，由表示出三角形的边上的高，根据三角形与三角形相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出的值，即为的长． 【详解】解：如图所示： 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， 设，则有，， ， 解得：， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且． （1）如果，求的长； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）6 （2）15 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理， （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长， 熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ． 17. 如图，在中，，是斜边上的高 （1）求证： （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确找出相似三角形． （1）证明，书写比例式即可求证； （2）证明，书写比例式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 18. 正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直． （1）证明：△ABM∽△MCN； （2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为4， ∴AB=BC=4，∠B=∠C=90°， ∵AM和MN垂直， ∴∠AMN=90°， ∴∠BAM+∠AMB=90°，∠NMC+∠BMA=180°﹣90°=90°， ∴∠BAM=∠NMC， ∵∠B=∠C， ∴△ABM∽△MCN； （2） 【解析】 【分析】（1）要证三角形ABM∽MCN，就需找出两组对应相等的角，已知两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似；（2）由△ABM∽△MCN，得出对应边成比例，求出MC、BM，即可求出NC； 【详解】（1）略 （2）解：∵△ABM∽△MCN， ∴， ∵△ABM∽△MCN，△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3， ∴△ABM的周长与△MCN边长之比也是4：3， ∴， ∵AB=4， ∴， ∴CM=3， ∴BM=4﹣3=1， ∴， ∴NC=． 【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形得出与所求的条件相关的线段成比例是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，；请解答下列问题： （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． （2）以点O为位似中心在y轴右侧，将缩小到原来的一半，画出，并写出点坐标． 【答案】（1） 解：关于轴对称的图形如下： 的坐标为； （2） 解：以点O为位似中心在y轴右侧，将缩小到原来的一半，如图，即为所求作三角形． 点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形与位似图形，写出变换后点的坐标等知识． （1）由点坐标得到关于y轴的对称点的坐标并描出各点，依次连接即可，从而也可得到点的坐标； （2）画出点的对应点，并依次连接即可，也可得到点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=2AD，CE=2AE． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）求证：DF•BF=EF•CF． 【答案】 证明：（1）∵BD=2AD，CE=2AE， ∴AB=3AD，CE=2AE， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC； （2）∵， ∴DE∥BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴， ∴DF•BF=EF•CF． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据已知条件得到，由于∠A=∠A，即可得到结论； （2）根据平行线分线段成比例定理得到DE∥BC，推出△DEF∽△BCF，根据相似三角形的性质即可得到结论． （1）略 （2）略 考点：相似三角形的判定与性质． 21. 如图，在和中，，．求证： （1） （2） 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2） 解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握常见的相似三角形的判定是解题的关键． （1）利用两角分别相等的两个三角形相似证明，从而得证． （2）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图①是华师大版九年级上册数学教材第80页的第3题： 在四边形中，， P是对角线的中点， M是中点，N是的中点． 求证：（不用证明） 结论应用： （1）如图②，在上述题目的条件下，延长图中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：； （2）若（1）中的，则的度数为 ． 【答案】（1） 证明：P是的中点，M是中点， 是的中位线， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，则，同理，再根据即可证明； （2）先由三角形中位线定理得到，则，由三角形外角的性质得到，再由，得到，，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟知三角形中位数定理是解题的关键． 23. 【感知】如图①，在四边形中，点在边上（点不与点、重合），．易证：（不要求证明）． 【探究】如图②，在四边形中，点在边上（点不与点、重合），． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【应用】如图③，在中，，，点在边上（点不与点、重合），连结，作，与边交于点．当时，求的长． 【答案】 探究（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）；应用或． 【解析】 【分析】探究：（1）根据外角的性质得到∠DPB=∠A+∠ADP，等量代换得到∠ADP=∠CPB，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论； 应用：根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据相似三角形的性质得到AC•BE=AP•BP，代入数据即可得到结论． 【详解】解：探究:（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∴； 应用:∵， ∴， ∵， ∴， 由探究得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $