第12讲 角（6个知识点+7种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（华东师大版2024）

第12讲 角（6个知识点+7种题型+过关检测） 知识点1．角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 知识点2．钟面角 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 知识点3．方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 知识点4．度分秒的换算 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 知识点5．角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点6．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 题型一、角的表示方法 1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·北京·单元测试）如图，可以用一个大写的英文字母表示的角有 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）（角的概念与表示）观察图形，解答下列问题：    (1)写出能用一个字母表示的角； (2)写出以为顶点的角； (3)图中共有几个小于平角的角？ 题型二、角的分类 4．（23-24七年级上·广东东莞·期末）1平角= °． 5．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22七年级上·全国·课后作业）一个角是钝角，它的一半是什么角？ 题型三、方向角的表示 7．（2022七年级上·宁夏固原·专题练习）小明家在小英家的北偏东方向上，则小英家在小明家的（   ）方向上 A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 8．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图所示，给出下列说法： ①的方向是东北方向， ②的方向是北偏西，③的方向是南偏西， ④的方向是南偏东，其中不正确说法的序号有 ． 9．（23-24七年级上·全国·期末）如图，A，B，C三点分别表示书店、学校、火车站中的某一处，书店和学校分别在火车站的北偏西方向，书店又在学校的北偏东方向，那么图中的A，B，C分别表示的是什么地方？ 题型四、角的单位与角度制 10．（22-23七年级上·吉林长春·期末）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ． 12．（22-23七年级上·四川凉山·期末）把下列角度化成度、分、秒的形式： (1)． (2) 题型五、角的比较 13．（20-21七年级上·北京海淀·期末）如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）对于任意的和，可能的大小关系是 ． 15．（22-23七年级上·全国·单元测试）请根据图回答下列问题． (1)表示成，表示成，表示成，这样的表示方法对不对？如果不对，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)图中共有几个小于平角的角？请列举出来． 题型六、角平分线的有关计算 16．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，是的平分线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知平分平分．则的度数为 ． 18．（22-23七年级下·山东聊城·期末）如图，直线与相交于点O，射线是的平分线，，垂足为O，，分别求的度数． 题型七、与余角、补角有关计算 19．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知和之和的补角等于和之差的余角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则与的关系是 ． 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 一、单选题 1．一个角的度数是，那么它的余角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的余角为（    ） A．30° B．40° C．50° D．140° 3．下列关于角的说法，正确的是（    ） A．一个周角等于 B．锐角和钝角一定互补 C．一个角的补角一定大于这个角 D．两个锐角的和一定为钝角 4．如图所示，的大小可由量角器测得，则图中的度数为（　　） A． B． C． D． 5．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用点A、B、C来表示，书店在学校的北偏西，食堂在学校的南偏东，则平面图上的是（    ） A． B． C． D． 6．已知、两地的位置如图所示，且，那么地在地的（    ）    A．西偏北方向 B．南偏东方向 C．北偏东方向 D．东偏北方向 7．如图，在点O的南偏东60°方向的是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 8．如图，点A在点O的北偏东方向，，则点B相对于点O的方向是（　　）    A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．南偏东方向 D．北偏东方向 9．一副三角尺如图所示放置，则等于(    )      A． B． C． D． 10．旋转是一种图形变换，在图形的旋转过程中会产生数量和位置关系的变与不变．如图，，将绕点旋转，的边始终在直线的上方，设，，甲、乙、丙三位同学给出了如下猜想：甲：与一定互余；乙：与有可能互补；丙：若增大，则一定减小.你认为猜想正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、丙 D．乙、丙 二、填空题 11．计算： ． 12．若，则的补角的度数为 13．如图，，如果，那么的度数是 ．    14．如图，若∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，则 = ；根据是： ． 15．计算： ． 16．钟表上显示为3时40分，则时针与分针的夹角大小为 度． 17．如图，OA⊥OB，∠COD为平角，若OC平分∠AOB，则∠BOD＝ °． 18．如图，直线与相交于点，平分，平分， ，那么 ．    三、解答题 19．如图，在观测站O测得渔船A在它的东北方向上，为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益，渔船B与渔船A位于不同的捕渔区，在观测站O观看两艘渔船的视角，求渔船B相对观测站O的方向． 20．如图，点分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点位于点的北偏西，点位于点的北偏东． (1)求的度数； (2)若，直接写出小华家相对学校的方向． 21．做一做 (1)说一说王彬从家到商场的行走路线． 从家先向______偏______方向走到达电影院，再向南偏东方向走到达广场，再向______偏______方向走到达商场． (2)王彬从家到图书馆共走了多少米？如果每分钟走80米，多少分钟可以到达？ 22．已知，射线OC在内部，作的平分线OD和的平分线OE． 　 （1）如图①，当时，则_______． （2）如图②，若射线OC在内部绕O点旋转，当时，求的度数． （3）当射线OC在外绕O点旋转且为钝角时，请在备用图中画出的平分线OD和的平分线OE，判断的大小是否发生变化?求的度数． 23．用方程解答下列问题：一个角的余角比它的补角的还少，求这个角的度数． 24．已知两个分别含有30°，45°角的一副直角三角板．    （1）如图1叠放在一起，若OC恰好平分∠AOB，求∠AOD的度数； （2）如图2叠放在一起，∠AOD=4∠BOC，试计算∠AOC的度数． 25．已知，如图1，把直角三角形的直角顶点O放在直线上，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)若将三角形绕点O旋转到如图2所示的位置，若，则的度数为 °；若，则的度数为 °． (3)若将三角形绕点O旋转到如图3所示的位置，试写出和之间的数量关系，并说明理由． 26．（1）如图1，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝8cm，BD＝3cm． ①求线段CD的长； ②若点E是直线AB上一点，且BE＝BD，点F是BE的中点，求线段CF的长 （2）如图2，OA的方向是北偏东20°，OB的方向是北偏西40°． ①若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向如何表示？ ②若∠BOC与∠COD互补，则OD的方向如何表示？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 角（6个知识点+7种题型+过关检测） 知识点1．角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 知识点2．钟面角 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 知识点3．方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 知识点4．度分秒的换算 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 知识点5．角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点6．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 题型一、角的表示方法 1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 【详解】解：、因为顶点处有四个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处只有一个角，所以这个角能用，，表示，故本选项正确； 、因为顶点处有三个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处有两个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 故选：． 2．（22-23七年级上·北京·单元测试）如图，可以用一个大写的英文字母表示的角有 ． 【答案】 【知识点】角的表示方法 【分析】根据角的表示方法可得答案． 【详解】解：由图可知： 可以用一个大写的英文字母表示的角有， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法，在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）（角的概念与表示）观察图形，解答下列问题：    (1)写出能用一个字母表示的角； (2)写出以为顶点的角； (3)图中共有几个小于平角的角？ 【答案】(1)，； (2)，，； (3)9个 【知识点】角的表示方法 【分析】（1）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案； （2）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案； （3）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【详解】（1）能用一个字母表示的角有2个：，； （2）以为顶点的角有3个：，，； （3）图中小于平角的角有9个：，，，，，，，，． 【点睛】本题考查了角的概念，从一点引出两条射线组成的图形就叫做角，角的表示方法一般有以下几种：1、角+3个大写英文字母；2、角+1个大写英文字母；3、角+小写希腊字母；4、角+阿拉伯数字． 题型二、角的分类 4．（23-24七年级上·广东东莞·期末）1平角= °． 【答案】180 【知识点】角的分类 【分析】本题考查了平角的定义，解题的关键是掌握平角等于180度． 【详解】解：1平角， 故答案为：180． 5．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角的分类 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 6．（21-22七年级上·全国·课后作业）一个角是钝角，它的一半是什么角？ 【答案】锐角． 【知识点】角的分类 【分析】根据钝角的概念进行解答即可． 【详解】解：∵大于90°而小于180°的角叫钝角， ∴它的一半是锐角． 【点睛】本题考查的是角的概念，熟知锐角和钝角的定义是解答此题的关键． 题型三、方向角的表示 7．（2022七年级上·宁夏固原·专题练习）小明家在小英家的北偏东方向上，则小英家在小明家的（   ）方向上 A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】D 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方向的相对性，注意：东对西，南对北，角度不变．根据方向的相对性，东对西，南对北，可知：小英家在小明家的南偏西方向上． 【详解】解：小明家在小英家的北偏东方向上，则小英家在小明家的南偏西方向上； 故选：D 8．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图所示，给出下列说法： ①的方向是东北方向， ②的方向是北偏西，③的方向是南偏西， ④的方向是南偏东，其中不正确说法的序号有 ． 【答案】④ 【知识点】方向角的表示 【分析】此题考查了方位角．结合图形进行判断即可． 【详解】解：①的方向是东北方向，选项正确； ②的方向是北偏西，选项正确； ③的方向是南偏西，选项正确； ④的方向是南偏东，选项错误． 故答案为：④． 9．（23-24七年级上·全国·期末）如图，A，B，C三点分别表示书店、学校、火车站中的某一处，书店和学校分别在火车站的北偏西方向，书店又在学校的北偏东方向，那么图中的A，B，C分别表示的是什么地方？ 【答案】A表示书店，B表示学校，C表示火车站 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方位的概念以及在生活中的应用．熟练记忆各个方位是解答本题的关键．结合图和已知条件可直接判断出A、B、C三点分别表示的是什么地方． 【详解】解：由题意知：书店和学校分别在火车站的北偏西方向，书店又在学校的北偏东方向， ∴ 可推断出A表示书店，B表示学校，C表示火车站． 题型四、角的单位与角度制 10．（22-23七年级上·吉林长春·期末）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了度、分、秒间的换算，注意相邻两个单位间的进率是60． 根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可． 【详解】因为， 所以． 故选：A． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题主要考查度分秒的换算．利用度、分、秒的换算即可，秒的结果若满60，则转化为1分，分的结果若满60，则转化为1度． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（22-23七年级上·四川凉山·期末）把下列角度化成度、分、秒的形式： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）， ， ． 题型五、角的比较 13．（20-21七年级上·北京海淀·期末）如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【答案】A 【知识点】角的比较 【分析】本题考查了角的大小比较，根据图中的三角尺为等腰直角三角形得，，利用中间角比较角的大小是解题的关键． 【详解】解：∵图中的三角尺为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故选：A． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）对于任意的和，可能的大小关系是 ． 【答案】或或 【知识点】角的比较 【分析】本题考查了角的大小，角的大小体现在度数的大小，两个任意角的度数未知，则可能相等，可能其中一个角大，另一个角较小． 【详解】解：∵任意的和， ∴可能它们的大小关系是或或， 故答案为：或或． 15．（22-23七年级上·全国·单元测试）请根据图回答下列问题． (1)表示成，表示成，表示成，这样的表示方法对不对？如果不对，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)图中共有几个小于平角的角？请列举出来． 【答案】(1)表示方法不对，表示成，表示成，表示成 (2) (3)11个，列举见解析 【知识点】角的比较、角的表示方法 【分析】（1）（2）根据角的表示方法进行求解即可； （3）只需要表示出小于180度的角即可． 【详解】（1）解：表示成，表示成，表示成，这样的表示方法不对，正确的表示方法为 表示成，表示成，表示成 （2）解：图中可以用一个字母表示的角为 （3）解：图中小于平角的角有 ∴一共有11个角小于平角． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键． 题型六、角平分线的有关计算 16．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，是的平分线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，根据角平分线的定义得到是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴是的平分线， 又∵是的平分线， ∴， ∴， 故选：D 17．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知平分平分．则的度数为 ． 【答案】/50度 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了有关角平分线的计算，求出，再根据角平分线的定义分别求出和的度数，由角的和差关系可得答案． 【详解】解：，， ， 平分，平分． ，， ， 故答案为：． 18．（22-23七年级下·山东聊城·期末）如图，直线与相交于点O，射线是的平分线，，垂足为O，，分别求的度数． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了垂线的意义，角平分线的意义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键，根据得出，再由角平分线的意义得出，再由角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵射线是的平分线， ∴， ∴． 题型七、与余角、补角有关计算 19．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知和之和的补角等于和之差的余角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角和补角的知识，根据题意可得，化简求解即可． 【详解】由题意得：， 解得： 故选：C． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则与的关系是 ． 【答案】互余 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角的定义，求出，根据和为的两个角互为余角即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互余． 故答案为：互余 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 【答案】(1) (2)； (3)与互余的角有：；与互补的角有： 【知识点】与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了角的余角、补角的概念，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键． （1）根据直角的定义即可求解； （2）根据直角都相等，等角的余角相等即可求解； （3）根据余角和补角的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴图中除外，还有是直角； （2）解：； ； （3）解：∵， ∴与互余的角有：； ∵， 又， ∴， ∴与互补的角有：． 一、单选题 1．一个角的度数是，那么它的余角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，熟练掌握余角定义：“和为的两个角互为余角”，根据余角的定义求出结果即可． 【详解】解：一个角的度数是，那么它的余角的度数是： ， 故选：C． 2．若，则的余角为（    ） A．30° B．40° C．50° D．140° 【答案】C 【知识点】求一个角的余角 【分析】根据余角的定义，90°减去即可求得的余角． 【详解】， 的余角为． 故选C． 【点睛】本题考查了求一个角的余角，理解余角的定义是解题的关键．若两角之和为90°，则称这两个角“互为余角”，简称“互余”． 3．下列关于角的说法，正确的是（    ） A．一个周角等于 B．锐角和钝角一定互补 C．一个角的补角一定大于这个角 D．两个锐角的和一定为钝角 【答案】A 【知识点】角的分类、与余角、补角有关的计算 【分析】根据角的相关定义，补角的定义对各项进行分析． 【详解】解：A、一个周角等于，故此选项正确，符合题意； B、锐角和钝角不一定互补，故此选项错误，不符合题意； C、一个角的补角不一定大于这个角，故此选项错误，不符合题意； D、两个锐角的和可以是锐角，也可以是直角，还可以是钝角，故此选项错误，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了补角、角的相关定义，解题的关键是对角的相关定义及补角的定义的掌握． 4．如图所示，的大小可由量角器测得，则图中的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角的单位与角度制 【分析】根据量角器的读法进行解答即可． 【详解】解：由题意，可得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键． 5．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用点A、B、C来表示，书店在学校的北偏西，食堂在学校的南偏东，则平面图上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】首先根据叙述作出A、B、C的相对位置，然后根据角度的和差计算即可． 【详解】解：根据题意得：∠ABD＝30°，∠CBE=90°-60°=30° 则∠ABC＝30°+90°+30°＝150°． 故选D． 【点睛】本题考查了方向角的定义，理解方向角的定义，作出A、B、C的相对位置是解决本题的关键． 6．已知、两地的位置如图所示，且，那么地在地的（    ）    A．西偏北方向 B．南偏东方向 C．北偏东方向 D．东偏北方向 【答案】C 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】利用，得出∠1的度数，进而求出B地与A地的位置关系． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， ∴B地在A地的北偏东方向． 故选：C． 【点睛】本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的描述方法是解答此题的关键． 7．如图，在点O的南偏东60°方向的是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【知识点】方向角的表示 【分析】根据方向角的概念解答即可． 【详解】解：在点O的南偏东60°方向的是点D， 故选：D． 【点睛】本题词考查方向角，解题的关键是掌握射线与南方或北方所夹的锐角叫方向角，通常用这个角来表示这条射线表示的方向． 8．如图，点A在点O的北偏东方向，，则点B相对于点O的方向是（　　）    A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．南偏东方向 D．北偏东方向 【答案】A 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】可求，由即可求解． 【详解】解：如图，    因为点A在点O的北偏东方向， 所以， 所以 ， 所以点B相对于点O的南偏东方向， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方位角，平角，角的和差求角度，理解方位角是解题的关键． 9．一副三角尺如图所示放置，则等于(    )      A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】根据一幅三角板各个角的度数即可求出答案． 【详解】如图所示，    根据三角板的度数可得：， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了角的计算，熟记一幅三角板中各个角的度数是解题的关键． 10．旋转是一种图形变换，在图形的旋转过程中会产生数量和位置关系的变与不变．如图，，将绕点旋转，的边始终在直线的上方，设，，甲、乙、丙三位同学给出了如下猜想：甲：与一定互余；乙：与有可能互补；丙：若增大，则一定减小.你认为猜想正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、丙 D．乙、丙 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】分在直线的上方、在直线的下方时且和在直线的下方三种情况，分别画图解答即可． 【详解】解：如图：当在直线的上方时， ∵ ∴，即 ∴此时与互余，故甲错误；增大，减小， 如图：当在直线的下方时且时 ∵ ∴ ∵ ∴，即与有可能互补 如图：当在直线的下方时， ∵ ∴ ∵ ∴，即，此时增大，增大，故丙错误． 故选B 【点睛】本题主要考查了旋转的定义、互补的定义、互余的定义等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查角度的减法运算，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若，则的补角的度数为 【答案】 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数，根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角的度数为， 故答案为：． 13．如图，，如果，那么的度数是 ．    【答案】/115度 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】根据求出，根据求出即可． 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角和补角，主要考查学生的计算能力． 14．如图，若∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，则 = ；根据是： ． 【答案】 ∠1 ∠3 同角或等角的补角相等 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】根据同角或等角的补角相等，填空即可． 【详解】解：若∠1与∠2互补，∠3与∠2互补 则∠1=∠3（同角或等角的补角相等）． 故答案为：∠1、∠3，同角或等角的补角相等． 【点睛】本题考查了互补的知识，解答本题的关键是掌握：同角或等角的补角相等． 15．计算： ． 【答案】7.5 【知识点】角的单位与角度制 【分析】根据角度制的进率进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：7.5． 【点睛】本题主要考查了角度制的换算，熟知角度制的进率是解题的关键． 16．钟表上显示为3时40分，则时针与分针的夹角大小为 度． 【答案】 【知识点】钟面角 【分析】根据钟面平均分成了12份，可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：3时40分时，时针在3和4之间，分针指向8，中间相差4大格多， 故此时分针与时针之间的大格数为：， 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 故3时40分时，分针与时针的夹角为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键． 17．如图，OA⊥OB，∠COD为平角，若OC平分∠AOB，则∠BOD＝ °． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】根据垂直的概念，角平分线的意义，平角的定义求解即可． 【详解】解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠BOC＝∠AOB＝×90°＝45°， ∵∠COD为平角， ∴∠BOD＝180°﹣45°＝135°． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了垂直的概念，角平分线的意义，平角的定义，数形结合是解题的关键． 18．如图，直线与相交于点，平分，平分， ，那么 ．    【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】根据补角的定义及角平分线的定义，再根据余角的定义及角平分线的定义得到． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了补角的定义，余角的定义，角平分线的定义，理解角平分线的定义是解题的关键． 三、解答题 19．如图，在观测站O测得渔船A在它的东北方向上，为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益，渔船B与渔船A位于不同的捕渔区，在观测站O观看两艘渔船的视角，求渔船B相对观测站O的方向． 【答案】渔船B在观测站O的北偏西的方向上 【知识点】与方向角有关的计算题、方向角的表示 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，解题的关键是熟练掌握方向角的表示方法． 【详解】解：∵在观测站O测得渔船A在它的东北方向上， ∴， ∴， ∴渔船B在观测站O的北偏西的方向上． 20．如图，点分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点位于点的北偏西，点位于点的北偏东． (1)求的度数； (2)若，直接写出小华家相对学校的方向． 【答案】(1) (2)南偏东 【知识点】与方向角有关的计算题、方向角的表示 【分析】此题主要考查方位角的定义和计算，解题的关键是熟知方位角与平角的性质． （1）根据角的和差求解即可； （2）根据方位角的概念和平角求解即可． 【详解】（1）∵点位于点的北偏西，点位于点的北偏东 ∴； （2）如图所示， ∵ ∴ ∴小华家在学校的南偏东方向． 21．做一做 (1)说一说王彬从家到商场的行走路线． 从家先向______偏______方向走到达电影院，再向南偏东方向走到达广场，再向______偏______方向走到达商场． (2)王彬从家到图书馆共走了多少米？如果每分钟走80米，多少分钟可以到达？ 【答案】(1)北；东 ；北；东 (2)王彬从家到图书馆共走了米，如果每分钟走80米，分钟可以到达 【知识点】有理数除法的应用、方向角的表示 【分析】本题主要考查了方位角的应用，除法的应用： （1）根据上北下南，左西右东的方位，结合图示求解即可； （2）先求出总路程，再除以速度求出时间即可． 【详解】（1）解：由题意得，从家先向北偏东方向走到达电影院，再向南偏东方向走到达广场，再向北偏东方向走到达商场， 故答案为：北；东 ；北；东； （2）解：米， 所以王彬从家到图书馆共走了米， 所以如果每分钟走80米，分钟可以到达； 答：王彬从家到图书馆共走了米，如果每分钟走80米，分钟可以到达． 22．已知，射线OC在内部，作的平分线OD和的平分线OE． 　 （1）如图①，当时，则_______． （2）如图②，若射线OC在内部绕O点旋转，当时，求的度数． （3）当射线OC在外绕O点旋转且为钝角时，请在备用图中画出的平分线OD和的平分线OE，判断的大小是否发生变化?求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）的大小发生变化，或． 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE＋∠COD； （2）结合角的特点，根据∠DOE＝∠DOC＋∠COE，求得结果进行判断和计算； （3）正确作出图形，根据∠DOE的大小作出判断即可． 【详解】（1）解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠COE＝∠COB＝35°，∠COD＝∠AOC=（90°-70°）＝10°， ∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝45° 故答案为：； （2）∵OD、OE分别平分和， ∴，， ∵， ∴ ； （3）的大小发生变化． ①如备用图1所示： ∵OD、OE分别平分和， ∴，， ∴ ； ②如备用图2所示： ∵OD、OE分别平分和， ∴，， ∴ ． 综上，得：的大小发生变化，或． 【点睛】本题考查了角的计算，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键． 23．用方程解答下列问题：一个角的余角比它的补角的还少，求这个角的度数． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了余角和补角以及一元一次方程的应用；熟练掌握佘角和补角的定义，差分关系，是解题的关键． 设这个角的度数为x，由这个角的余角比它的补角的还少，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为x， 根据题意得：， 解得：． 答：这个角的度数为． 24．已知两个分别含有30°，45°角的一副直角三角板．    （1）如图1叠放在一起，若OC恰好平分∠AOB，求∠AOD的度数； （2）如图2叠放在一起，∠AOD=4∠BOC，试计算∠AOC的度数． 【答案】（1）135°；（2）110° 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC，再根据∠AOD=∠AOC+∠COD代入数据进行计算即可得解； （2）由已知可求得∠BOD，再根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD代入数据进行计算即可得解． 【详解】（1）∵OC平分∠AOB，∠AOB=90°， ∴∠AOC=∠AOB=45°， ∴∠AOD=∠AOC+∠COD=45°+90°=135°； （2）∵∠AOD=4∠BOC， ∴∠AOB-∠BOD=4（∠COD-∠BOD）， 即90°-∠BOD=4（30°-∠BOD）， 解得：∠BOD=10°， ∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+30°-10°=110° 即∠AOC的度数为110°． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 25．已知，如图1，把直角三角形的直角顶点O放在直线上，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)若将三角形绕点O旋转到如图2所示的位置，若，则的度数为 °；若，则的度数为 °． (3)若将三角形绕点O旋转到如图3所示的位置，试写出和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)，理由见详解， 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）本题考查有关角平分线的角度计算，根据得到，根据平分得到，即可得到答案； （2）本题考查有关角平分线的计算，根据得到，结合平分得到，即可得到答案，当，先根据余角求出，再结合角平分线得到，最后根据邻补角互补即可得到答案； （3）本题考查有关角平分线的计算，先根据余角用表示出，再结合角平分线得到，最后根据邻补角互补即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵∵平分， ∴， ∴， ∴． 26．（1）如图1，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝8cm，BD＝3cm． ①求线段CD的长； ②若点E是直线AB上一点，且BE＝BD，点F是BE的中点，求线段CF的长 （2）如图2，OA的方向是北偏东20°，OB的方向是北偏西40°． ①若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向如何表示？ ②若∠BOC与∠COD互补，则OD的方向如何表示？ 【答案】（1）①1cm；②cm或cm；（2）①北偏东80°； ②南偏东40° 【知识点】线段的和与差、线段之间的数量关系、与方向角有关的计算题、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）①（1）根据线段的和差进行求解即可； ②分E在B点的左边和右边进行讨论求解即可； （2）①根据∠AOB =40°+20°=60°，∠AOC=∠AOB，所以∠AOC=60°，可以得到∠EOC=80°，由此即可求解； ②∠BOC与∠COD互补，所以B，O，D三点在一条直线上即点D在OB的反向延长线上，由此求解即可. 【详解】解：（1）①因为C是线段AB的中点，AB=8cm，所以BC=4cm； 因为BD=3cm，所以CD=BC－BD=4—3=1 cm； ②因为BE=BD，BD=3cm，所以BE=1cm； 因为点F是BE的中点，所以BF=BE=×1=cm； 当点E 在点B的右侧时，CF=CB+BF=4+=cm， 当点E 在点B的左侧时，CF=CB—BF=4－=cm； （2）因为∠AOB =40°+20°=60°，∠AOC=∠AOB，所以∠AOC=60°，所以OC的方向为北偏东80°； 因为∠BOC与∠COD互补，所以B，O，D三点在一条直线上，即点D在OB的反向延长线上；因为OB的方向是北偏西40°，所以OD的方向是南偏东40°； 【点睛】本题主要考查了线段的和差，用方位角表示方向，补角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$