河北省保定市部分学校2024-2025学年高三上学期摸底联考数学试题（10.29）

2024年高三摸底考试 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．已知是的共轭复数，则（ ） A．0 B． C．2 D． 3．已知向量，且，则（ ） A．1 B．2 C． D．0 4．若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径的数值为（ ） A．2 B．3 C．4 D． 5．设函数为偶函数．当满足时，有最小值2，则和的值分别是（ ） A． B． C． D． 6．若中，角所对的边分别为平分交于，且，则（ ） A． B．3 C． D． 7．已知且，则的最小值是（ ） A．12 B．16 C．15 D．14 8．已知函数若关于的方程至少有5个不等的实数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的图象经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．若是平面的一条斜线，，直线平面且直线，记直线与平面所成的角为，则下列说法正确的是（ ） A．与是一对异面直线 B．若点和分别为直线上和平面内异于点的点，则 C．若和分别是直线与上的动点，则满足且的直线不唯一 D．过直线有且只有唯一平面与直线平行 11．若函数存在两个极值点，下列说法正确的是（ ） A．时满足条件 B．不存在实数使得均为正整数 C．当时，的最大值为 D．对任意正整数，均存在对应的，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．已知曲线在处的切线斜率为4，则实数的值为______． 13．函数的最小正周期是______，在上的单调递减区间是______． 14．已知递增数列共有项（为定值）且各项均不为零，末项．若从数列中任取两项和，当时，仍是数列中的项，则数列的通项公式______．（用含和的式子表示．） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知向量． （1）若，且，求的值； （2）设函数，求函数的值域． 16．（15分） 已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角． 17．（15分） 在中，角的对边分别为． （1）求角； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若边，点为线段上的动点，点为线段上的动点，且线段平分的面积，求线段长度的最小值． 18．（17分） 已知函数． （1）已知直线是曲线的切线，求实数a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求证：恒成立． 19．（17分） 已知数列，其前项和为，对任意正整数恒成立，且． （1）证明：数列为等比数列，并求实数的值； （2）若，数列前项和为，求证：； （3）当时，设集合．集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 2024年高三摸底数学试题评分细则 经与保定三中和曲阳永宁中学高三数学组试评商议，将评分细则修订如下： 一、选择题：（每小题5分，共40分） 1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．D 8．B 二、选择题：（每小题6分，共18分） 9．ABC 10．ABD 11．CD 三、填空题：（每个小题5分，共15分） 12．1 13．； 14．（结果为的也给分） 四、解答题：（本题共5小题，共77分） 15．（13分） 解：（1）， 又， ， ； （2）由题意： ， ，， 的值域是 16．（15分） （1）法1：证明平面平面， 又，又平面 平面 又平面． 又 即． 又平面平面． 平面． 法2：证明； 由已知易得，在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ． 又平面平面． 平面． 法3：如图所示，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 易得 又平面平面 平面 法4：如图所示，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 易得 设平面BEF的法向量， 则 取，则法向量． 平面 （2）解： 如图所示，以点为原点，为轴，为轴， 为轴建立空间直角坐标系， 易得 ， 设平面的法向量，则， 取，则法向量． 由（1）可知为平面的法向量． ， 平面，与平面的夹角为． 17．（15分） 解：（1）， ， ， ， （2）法1：，又， ，， （或者，即） 法2：， ， ，化简得， 法3：， ， ， ， ， 解得或， ． （3）若边由（1）（2）可知， ， 令，则， 又由余弦定理得： 当且仅当时等号成立 的最小值为． 18．（17分） 解：（1）， ，解得， 切点为， ． （2）， 当时，单调递减． （没有具体说明为什么，本步骤扣1分） 当时，， 单调递增，单调递递增．（没有具体说明为什么，本步骤扣2分） 综上所述，单调减区间为，单调递增区间为． （3）证明： 恒成立恒成立 恒成立 令， 则． 令则单调递增， 又， 当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 恒成立． 19．（17分） 解：（1）令可得，即． 令可得，即，所以 又 ， 两式相减可得， 数列为首项为4，公比为2的等比数列． （2）证明：由（1）可知，所以 要证成立， 只需证，即． 令 当时，单调递增， ， ，． （3）时，集合， 即，中元素个数， 等价于满足的不同解， 如果，则，矛盾！ 如果，则，矛盾！ ， 又， ， 即，共个不同解，所以． 说明：第（3）问其他方法只要推理严谨合理同样给分，但是根据不完全归纳法得到的该问只能得2分 学科网（北京）股份有限公司 $$