函数与导数专项训练-2025届高三数学二轮专题复习

（8）函数与导数专项练——高考数学二轮复习 1.函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是( ) A. B. C. D. 3.设函数在区间上存在零点，则的最小值为( ) A.0 B.e C. D.1 4.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D.R 5.已知幂函数是R上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.函数的极值点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数t的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知过点不可能作曲线的切线.对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.（多选）已知函数，，则下列说法正确的是( ) A.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 B.若函数的值域为，则 C.若函数在上单调递增，则实数m的取值范围是 D.若，则不等式的解集为 10.（多选）若正数a，b满足，则( ) A. B. C. D. 11.（多选）函数在区间内存在零点的充分条件可以是( ) A. B. C. D. 12.（多选）对任意，函数，都满足，则( ) A.是增函数 B.是奇函数 C.的最小值是 D.为增函数 13.设函数，则使得成立的x的取值范围是________. 14.已知函数的导函数为，且满足，则______. 15.若，，且函数在处有极值，则的最小值为________. 16.若函数的定义域为R，则实数a的范围为________. 17.已知函数为偶函数. （1）求实数k的值； （2）解关于m的不等式； （3）设，若函数与的图象有2个公共点，求实数a的取值范围. 18.已知函数在处取得极值. （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求实数a的取值范围. 19.已知函数为幂函数，且为奇函数. （1）求m的值，并确定的解析式； （2）令，求在的值域. 20.已知函数，其中e为自然对数的底数. (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的根，. (i)求a的取值范围； (ii)证明：. 答案以及解析 1.答案：A 解析：因为对任意，都有成立，可得在R上是单调递减的，则，解得.故选：A 2.答案：D 解析：因为将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，所以，即， 将的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式， 因为所得图象恰好与函数的图象重合，所以， 所以，又且，解得，故选：D. 3.答案：A 解析：设零点为，则，在直线上， 的几何意义为点到原点距离的平方， 其最小值为原点到直线的距离的平方，， 设且，，所以在单调递减，所以.故选：A. 4.答案：B 解析：由题意可得关于x的不等式恒成立，即关于x的不等式恒成立.因为是R上的增函数，所以，所以问题转化为对任意恒成立，则，解得，所以实数a的取值范围为. 5.答案：C 解析：因为幂函数是R上的偶函数，则，解得或，当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为R的偶函数，合乎题意.所以，则，其对称轴方程为，因为在区间上单调递减，则，解得.故选：C. 6.答案：B 解析：当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增，故此时函数有一个极小值点为2；当时，，因恒成立，故函数在上单调递减，结合函数在上单调递减，可知0不是函数的极值点.综上，函数的极值点只有1个.故选：B. 7.答案：C 解析：由于，则，得，由于在上为“凸函数”，所以在上恒成立，即在上恒成立，由对勾函数的性质知在上单调递增， 于是，故.故选：C 8.答案：A 解析：设是曲线上的任意一点，，所以在点处的切线方程为，代入点得，， 由于过点不可能作曲线的切线，则直线与函数的图象没有公共点，，所以函数在区间上导数大于零，函数单调递增；在区间上导数小于零，函数单调递减， 所以当时，函数取得极大值也即是最大值，则. 对于满足此条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点， 等价于恒有两个不同的变号零点，等价于方程有两个不同的解.令，则，，即直线与函数的图象有两个不同的交点.记，则，记，则，所以在上单调递增.令，得.当时，，当时，， 所以在上单调递减，上单调递增.所以. 所以.因为，所以，所以. 即实数a的取值范围是.故选：A. 9.答案：AB 解析： A √ 因为的定义域为R，所以恒成立.显然不符合题意，则解得. B √ 因为的值域为，所以.显然不符合题意，所以解得. C × 因为函数在上单调递增，所以由复合函数的单调性可知或解得. D × 当时，，由，可得，解得. 10.答案：ABC 解析：因为，且，所以（当且仅当时取“”）. 所以，故A正确； ，故B正确； 设（），则在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，所以成立，故C正确； 又，又，所以，即，故D错误.故选：ABC 11.答案：AB 解析：因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减， 若函数在区间内存在零点， 则，即，解得， 故AB符合题意，CD不符合题意.故选：AB. 12.答案：ACD 解析：由题意得恒成立，所以存在常数a，使得且.令，得解得经检验，符合条件.由，易知是增函数，显然，即不是奇函数，A正确，B错误. 因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，C正确. 由为增函数，D正确.故选：ACD. 13.答案： 判断的奇偶性和单调性，据此等价转化不等式，则问题得解. 解析：由，且其定义域为R，故为R上的偶函数，于是即为.当时，，，在均是单调增函数， 所以为上的增函数，则由得， 两边平方得，解得.故答案为： 14.答案：1 解析：求出导函数，然后令即可求出结果.因为，所以，所以，解得.故答案为：1. 15.答案：/0.75 解析：由题意得，因为在处有极值， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时函数满足在处取得极值. 故答案为：. 16.答案： 解析：由题意，知不等式对任意的恒成立， 所以方程没有实数根，所以， 解得，所以实数a的取值范围是. 故为：. 17.答案：（1） （2） （3） 解析：（1）函数的定义域为R， 因为函数为偶函数， 所以，即， 所以，所以. （2）因为， 当时，，单调递增，所以在上单调递增. 又函数为偶函数，所以函数在上单调递减. 因为，所以，解得或， 所以所求不等式的解集为. （3）因为函数与的图象有2个公共点， 所以有两个实数解， 即有两个实数解. 设，则， 即， 则关于t的方程有两个不等的正根， 所以 解得，即a的取值范围为. 18.答案：（1）的单调递增区间是，单调递减区间是. （2） 解析：（1）由题意知，， 由，解得， 此时，， 令，得，令，得，故是函数的极值点， 故符合要求，进而函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由恒成立可得恒成立， 令则， 令，则， 故当时，，单调递增，当时，，单调递减， 而，，且时，， 故当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，故，因此 19.答案：（1）m的值为0，函数的解析式为 （2） 解析：（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或， 当时，函数是奇函数，符合题意， 当时，函数是偶函数，不符合题意， 综上所述，m的值为0，函数的解析式为. （2）由（1）知，，所以， 令，则，，， 所以，. 在上单调递减，在上单调递增， 所以，，， 所以函数在的值域为. 20.答案：(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 解析：(1)由题意得，，则， 由，解得. 显然， 若，则当时，，单调递增，当时，，单调递减； 若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增. 综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增. (2)（i）由，得， 设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故a的取值范围是. （ii）不妨设，则，且. 解法一：当时，，即； 当时，. 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又，，，在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证. 解法二：设，， 则， 所以在区间内单调递增， 又，所以，即. 又，所以， 又，，在区间内单调递减.所以，即， 又，所以，得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$