九年级上学期期中测试卷-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（新疆专用）

( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) 2024-2025学年初中数学期中考试卷 九年级 考试范围：二元一次方程-圆；考试时间：100分钟；满分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 一、单选题（共27分，共9小题，每小题3分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是 A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 4．某病毒人传人，3人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，假设每轮每人传染的人数相同.则每轮每人传染的人数为（    ） A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 5．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是(   ) A．6 B．5 C．4 D．3 7．设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别为、，连接．当点A、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 9．如图，二次函数（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b＋c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共18分，共6小题，每小题3分） 10．一元二次方程的解为 ． 11．向阳村2015年的人均收入为12000元，2017年的人均收入为14520元. 若人均收入的年平均增长率为x, 根据题意，所列的方程为 . 12．抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是 ． 13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则该圆锥的母线长，底面圆的半径，扇形的圆心角 °．    14．如图，在矩形中，，，过A，D两点的与边相切于点E，则的半径为 ．    15．如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，点A的坐标是，点B在第一象限，的平分线交x轴于点P，把绕着点A按逆时针方向旋转，使边与重合，得到，连接．则 ，D点坐标为 ． 三、解答题（共55分） 16．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 17．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标__________； (2)画出将绕点逆时针旋转后得到的． 18．（本题7分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝14，求m的值． 19．（本题7分）如图，是由在平面内绕点旋转得到的，且，，连接． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 20．（本题8分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 21．（本题9分）如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF （1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长． 22．（本题10分）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第1页 共6页 ◎ 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年初中数学期中考试卷 九年级 考试范围：二元一次方程-圆；考试时间：100分钟；满分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共27分） 1．（本题3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A、它是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意； D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2．（本题3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别 【详解】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，只有选项D可以看作是中心对称图形． 故选D． 3．（本题3分）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配方法的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤：①将常数项移到等于号的右边，②两边同时加上一次项系数的一半的平方，转化成完全平方式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程中的配方法，熟练掌握配方的步骤是解答本题的关键． 4．（本题3分）某病毒人传人，3人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，假设每轮每人传染的人数相同.则每轮每人传染的人数为（    ） A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 【答案】A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设1个人传染人，第一轮共传染人，第二轮共传染人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】解：设每个人传染人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是找出题目中蕴含的数量关系：1个人传染人，轮共传染人． 5．（本题3分）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据一元二次方程根的判别式 进行计算即可． 【详解】解：根据一元二次方程一元二次方程有两个实数根， 解得：， 根据二次项系数 可得： 故选D． 【点睛】考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 6．（本题3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是(   ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值 【详解】过点O作OC⊥AB，垂足为C， 则有AC=AB=×24=12， 在Rt△AOC中，∠ACO=90°，AO=13， ∴OC==5，即点O到AB的距离是5． 故选：B． 7．（本题3分）设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】解：∵函数的解析式是，如图， ∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴点A关于对称轴的点A′是， 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小， ∴于是， 故选A． 8．（本题3分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别为、，连接．当点A、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【知识点】根据旋转的性质求解、全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】由旋转的性质可知，再借助题意可计算，故选项A不符合题意；先由旋转的性质证明，可推导、，借助可知为等边三角形，易知，再证明，故选项B不符合题意；借助为等边三角形，易知，由题意可计算，即有，可证明平分，故选项C不符合题意；由于选项A、B、C均不符合题意，用排除法可知选项D符合题意． 【详解】解：A.由旋转的性质可知，， ∴当点A、、在同一条直线上时，， 故选项A不符合题意； B.由旋转的性质可知，， ∴，， 由∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选项B不符合题意； C. ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故选项C不符合题意； D.由于选项A、B、C均不符合题意，故用排除法可知选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解题关键是熟练运用旋转的性质． 9．（本题3分）如图，二次函数（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b＋c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】解：∵对称轴为x=1，∴，，．故结论①正确，符合题意． ∵点B坐标为（－1，0），∴当x=－2时，4a－2b＋c＜0，故结论②正确，符合题意． ∵图象开口向下，∴a＜0． ∵图象与y轴交于正半轴上， ∴c＞0． ∴ac＜0，故结论③错误，不符合题意． ∵对称轴为x=1，点B坐标为（－1，0）， ∴A点坐标为：（3，0）． ∴当y＜0时，x＜－1或x＞3．故结论④错误，不符合题意． 故选B． 二、填空题（共18分） 10．（本题3分）一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】利用因式分解法解方程． 【详解】解： （x-2）（x-5）＝0， x-2＝0或x-5＝0， 所以，． 故答案为，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 11．（本题3分）向阳村2015年的人均收入为12000元，2017年的人均收入为14520元. 若人均收入的年平均增长率为x, 根据题意，所列的方程为 . 【答案】12000（1+x）2=14520 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【详解】分析：对于增长率问题的一般公式为：增长前的数量×(1+增长率)增长次数=增长后的数量．根据题意代入数据即可得出答案． 详解：根据题意可得：． 点睛：本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．理解题意得出等量关系是解决这个问题的关键． 12．（本题3分）抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】解：，其顶点坐标为． 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后的顶点坐标为， 得到的抛物线的解析式是． 故答案为． 13．（本题3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则该圆锥的母线长，底面圆的半径，扇形的圆心角 °．    【答案】150 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于θ的方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为150． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 14．（本题3分）如图，在矩形中，，，过A，D两点的与边相切于点E，则的半径为 ．    【答案】// 【知识点】利用垂径定理求值、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的性质以及勾股定理．首先连接，并反向延长交于点F，连接，由在矩形中，过A，D两点的与边相切于点E，易得四边形是矩形，由垂径定理可求得的长，然后设的半径为x，则，利用勾股定理即可得：，继而求得答案． 【详解】解：连接，并反向延长交于点F，连接， ∵是切线， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设的半径为x，则， 在中，， 则， 解得：， ∴的半径为． 故答案为：． 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，点A的坐标是，点B在第一象限，的平分线交x轴于点P，把绕着点A按逆时针方向旋转，使边与重合，得到，连接．则 ，D点坐标为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、角平分线的有关计算、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】根据等边三角形的每一个角都是可得，然后根据对应边的夹角为旋转角求出，再判断出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，根据，的平分线交轴于点，，利用三角函数求出，从而得到，再求出，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：是等边三角形， 绕着点按逆时针方向旋转边与重合， 旋转角， 是等边三角形， 的坐标是的平分线交轴于点， 点D的坐标为； 故答案为∶；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质并判断出是等边三角形是解题的关键． 三、解答题（共55分） 16．（本题7分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解∶ ， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， 即， ∴或， ∴，． 17．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标__________； (2)画出将绕点逆时针旋转后得到的． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【知识点】画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【详解】（1）如图所示． 故答案为：． （2）如图所示 【点睛】本题考查了画中心对称图形，旋转图形，掌握中心对称的性质以及旋转的性质是解题的关键． 18．（本题6分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝14，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围； （2）利用根与系数的关系可分别表示出与的值，利用条件可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有实根， ∴△≥0，即， 解得； （1）∵方程的两个实数根为x1，x2， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 解得或 ∵一元二次方程有实根时， ∴． 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，根于系数的关系，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识是解题的关键． 19．（本题7分）如图，是由在平面内绕点旋转得到的，且，，连接． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是菱形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据旋转的性质及角度间的关系得出，根据即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质及菱形的判定方法即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵由旋转可知，，，，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：结论：四边形是菱形． 理由：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的判定、旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 20．（本题8分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 【答案】（1）w＝－10x2＋700x－10000；（2）即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；（3）A方案利润更高． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据利润（销售单价进价）销售量，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （3）分别求出方案、中的取值范围，然后分别求出、方案的最大利润，然后进行比较． 【详解】解：（1）由题意得，销售量， 则 ； （2）． ， 函数图象开口向下，有最大值， 当时，， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大； （3）方案利润高．理由如下： 方案中：， 故当时，有最大值， 此时； 方案中：， 故的取值范围为：， 函数，对称轴为直线， 当时，有最大值， 此时， ， 方案利润更高． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，解题的关键是掌握最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 21．（本题9分）如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF （1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长． 【答案】（1）AF与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）AC=． 【知识点】全等三角形综合问题、切线的性质和判定的综合应用、用勾股定理解三角形 【详解】解：（1）连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O直径， ∴∠BCA=90°， ∵OF∥BC， ∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3， ∴OF⊥AC， ∵OC=OA， ∴∠B=∠1， ∴∠3=∠2， 在△OAF和△OCF中， ， ∴△OAF≌△OCF（SAS）， ∴∠OAF=∠OCF， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠OCF=90°， ∴∠OAF=90°， ∴FA⊥OA， ∴AF是⊙O的切线； （2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°， ∴OF==5 ∵FA⊥OA，OF⊥AC， ∴AC=2AE，△OAF的面积=AF•OA=OF•AE， ∴3×4=5×AE， 解得：AE=， ∴AC=2AE=． 22．（本题12分）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（2，4） (3)（5，）或（-3，）或（3，） 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、几何问题(一次函数的实际应用)、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可； （2）要求E到直线BC的最大距离，即要求△BCE面积的最大值，由此转换成求△BCE的面积最大值时点E的坐标即可； （3）分BC为对角线和边两种情况利用平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点C，与y轴交于点B， ∴点C的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点E作EF⊥x轴于F，交直线BC于G，设点E的坐标为（m，），则点G的坐标为（m，-m+4）， ∴， ∴ ， ∴当时，△BEC的面积有最大值， 设点E到BC的距离为h， ∴， ∵BC是定值， ∴当△BEC面积最大时，h有最大值， ∴当点E到直线BC的距离最大时，点E的坐标为（2，4）； （3）解：设点P的横坐标为（n，）， 如图1所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCPQ的边时， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴（平行四边形对角线中点坐标相同）， ∴n=5， ∴点P的坐标为（5，）； 同理如图2所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCQP的边时， ∴， ∴n=-3， ∴点P的坐标为（-3，）； 如图3所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BPCQ的对角线时， ∴， ∴n=3， ∴点P的坐标为（3，）； ∴综上所述，点P的坐标为（5，）或（-3，）或（3，） 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键． 试卷第2页，共20页 试卷第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$