第二十四章《圆》竞赛题精选-2021-2022学年人教版数学九年级上册

第二十四章《圆》竞赛题精选-2021-2022学年人教版数学九年级上册 注意事项∶ 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com 3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）如图，Rt△ABC的斜边AB与⊙O相切于点B，直角顶点C在⊙O上，若AC＝2，BC＝4，则⊙O的半径是（　　） A．3 B．2 C．4 D．2 【分析】连接BO并延长BO交⊙O于D，连接CD，再结合相似三角形的判定与性质以及勾股定理得出答案． 【解答】解：连接BO并延长BO交⊙O于D，连接CD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DCB＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴点A，C，D在一条直线上， ∵AB切⊙O于D， ∴BD⊥AB， ∴∠ABC+∠DBC＝90°，∠A+∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠CBD， ∴△ABC∽△BDC， ∴＝， ∴＝， 解得：DC＝4， ∴BD＝＝4， ∴⊙O的半径是2． 故选：B． 【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，作辅助线把半径转化到直角三角形中是关键． 2．（5分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB，与BC交于点F．若AB＝20，OF＝7.5，则CD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接AD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再根据切线长定理得到ED＝EA，则∠ADE＝∠2，于是利用等角的余角相等得∠1＝∠C，则AE＝DE＝CE，则可判断EF为△ABC的中位线，得到BF＝CF，接着可判断OF为△ABC的中位线，得到OF∥AE，所以AE＝OF＝7.5，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理计算出BC＝25，再证明△CDA∽△CAB，于是利用相似比可计算出CD． 【解答】解：连接AD，如图， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠1+∠ADE＝90°，∠2+∠C＝90°， ∵DE为切线， ∴ED＝EA， ∴∠ADE＝∠2， ∴∠1＝∠C， ∴ED＝EC， ∴CE＝AE， ∵EF∥AB， ∴EF为△ABC的中位线， ∴BF＝CF， 而BO＝AO， ∴OF为△ABC的中位线， ∴OF∥AE， ∴AE＝OF＝7.5， ∴AC＝2AE＝15， 在Rt△ACD中，BC＝＝＝25， ∵∠DCA＝∠ACB， ∴△CDA∽△CAB， ∴＝，即＝， ∴CD＝9． 故选：C． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质． 3．（5分）如图，在等腰三角形ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（　　） A． B． C． D．1 【分析】连OM，ON，利用切线长定理知OM，ON分别平分角BMN，角CNM，再利用三角形和四边形的内角和可求得△OBM与△NOC还有一组角相等，由此得到它们相似，通过相似比可解决问题． 【解答】解：连OM，ON，如图， ∵MD，MF与⊙O相切， ∴∠1＝∠2， 同理得∠3＝∠4， 而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC ∴∠2+∠3+∠B＝180°； 而∠1+∠MOB+∠B＝180°， ∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB， ∴△OMB∽△NOC， ∴＝， ∴BM•CN＝BC2， ∴＝． 故选：B． 【点评】熟练掌握三角形相似的判定；熟悉切线长定理；记住三角形和四边形的内角和．另外对于此类题型要找到含有比中的线段的三角形，证明它们相似，有的要先进行线段的等量代换． 4．（5分）如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（　　） A．4 B．5 C．6 D．无法确定 【分析】方法1、设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH，则圆的半径R，可以看作△BOC，△COD，△AOD的高，根据S梯形ABCD＝S△BOC+S△COD+S△DOA，以及梯形的面积公式即可求解． 方法2、利用切线的性质得出∠ADO＝∠ODC，进而得出∠ADO＝∠AOD，即可得出OA＝6，即：OB＝4，同理：BC＝OB即可得出结论． 【解答】解：方法1、 设