函数与导数专项练-2025届高三届高三数学二轮复习

（2）函数与导数专项练——高考数学二轮复习 1.已知函数的定义域为，则的定义域为( ) A． B． C． D． 2.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 3.已知函数，，，则a，b，c的大小关系为( ) A. B. C. D. 4.过原点的直线l与曲线都相切，则实数( ) A. B. C. D. 5.若函数和的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数和为“对偶函数”.已知，是“对偶函数”，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.已知函数的定义域为R，的图象关于中心对称，是偶函数，则( ) A. B. C. D. 7.已知幂函数的图象过点.设，，，则a，b，c的大小关系是( ) A. B. C. D. 8.若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为( ) A. B. C. D. 9.（多选）已知函数，下列说法正确的是( ) A.若的值域为R，则 B.若的定义域为R，则 C.若的最大值为0，则 D.若的最小值为1，则 10.（多选）记函数的最小正周期为T，若，且在上的最大值与最小值的差为3，则( ) A. B. C.在区间上单调递减 D.直线是曲线的切线 11.（多选）设函数在R上可导，其导函数且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数有极大值 B.函数有极大值 C.函数有极小值 D.函数有极小值 12.（多选）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是( ) A. B. C.若不等式的解集为，则 D.若不等式的解集为，且，则 13.某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值（单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于8万元，同时奖金不超过企业年产值的.若函数，则实数m的取值范围为_________. 14.已知幂函数的图像不经过原点，则实数__________. 15.已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为________. 16.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x取值范围是______． 17.已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)试判断函数在的最大值和最小值. 18.已知函数在处取得极值. (1)求a，b的值； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求函数在上的最值. 19.已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值； （2）解关于x的不等式. 20.已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若函数存在正零点， （i）求a的取值范围； （ii）记为的极值点，证明：. 答案以及解析 1.答案：B 解析：因为的定义域是，所以要使得有意义， 需满足，解得．则函数的定义域为是故选：B 2.答案：C 解析：函数有意义，则有，解得，则；，有，得，则，，所以.故选：C. 3.答案：A 解析：选因为，定义域为R，，故函数是奇函数，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，由，，，可得，则. 4.答案：D 解析：由得，由得，设过原点的直线l分别与曲线相切于点，，则由导数的几何意义得，且，故，所以直线l的斜率为e，所以，所以，所以，即，代入得.故选：D. 5.答案：A 解析：因为，是“对偶函数”，故函数与的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，所以，即有两解，则有两解.令，则，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，且，，又，所以，即a的取值范围为. 6.答案：D 解析：的图象关于中心对称，则（∗）； 是偶函数，则，则的图象关于轴对称，则（∗∗）；令代入（∗）得，，解得，代入 （∗∗）得到.故选：D. 7.答案：D 解析：因幂函数的图象过点，则，且，于是得，，函数，函数是R上的增函数而，则有，所以.故选：D 8.答案：C 解析：因为有四个实数解，显然，是方程的一个解，下面只考虑时有三个实数解即可.若，原方程等价于，显然，则.要使该方程有解，必须，则，此时，方程有且必有一解；所以当时必须有两解，当时，原方程等价于，即(且)，要使该方程有两解，必须，所以.所以实数k的取值范围为.故选：C. 9.答案：AC 解析：对于A，的值域为R，说明函数能取到所有大于0的数，当时，，不满足题意，当时，解得，A正确；对于B，当的定义域为R时，函数恒成立，当时，恒成立，满足题意，当时，解得，综上，，B错误；对于C，若的最大值为0，即的最小值为1，故有解得，C正确；对于D，若的最小值为1，即的最大值为，则有无解，D错误. 10.答案：BD 解析：由，又，可得， 又，则，即，若在上单调，则，即，令，则， 即在上单调递减，即，即， 此时，此时，不符合题意，所以在上不单调， 即在上不单调，又，即，即，即，， 若，此时，符合题意； 若， 此时，不符合题意；综上可得，，即， 对于A，，故错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，当，则，且在上先递减后递增，故C错误； 对于D，因为，所以，，可得是在处的切线，故D正确；故选：BD. 11.答案：AD 解析：由图可知，，，且，则，在区间单调递增，当，，且，则，在区间单调递减，当，，且，则，在区间单调递减， 当，，且，则，在区间单调递增， 所以函数的极大值为，函数的极小值为.故选：AD 12.答案：ABD 解析：由于集合有且仅有两个子集，所以，， 由于，所以. A，，当，时等号成立，故A正确. B，，当且仅当，，时等号成立，故B正确. C，不等式的解集为，，故C错误. D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，，则，，故D正确，故选：ABD. 13.答案： 解析：由题意可知为增函数，故，解得.根据题意可得对恒成立，故对恒成立.由对勾函数性质可知，函数在区间上单调递增，故.因为在区间上单调递减，所以.综上，，即m的取值范围为. 14.答案：2 解析：由已知函数为幂函数，得，解得或， 当时，，定义域为，函数图像不经过原点， 当时，，定义域为R，且，函数图像经过原点， 综上所述：，故答案为：2. 15.答案： 解析：根据题意作出函数的图象，如图所示， 令，解得或， 令，解得或或， 由题意可知：与有三个交点，则，此时，且，令，可得， 则， 令，，则， 可知在内单调递增，则的最大值为， 所以的最大值为.故答案为：. 16.答案： 解析：是偶函数，不等式等价为 在区间单调递增，，解得． 17.答案：(1) (2)是增函数，理由见解析 (3)最大值为，最小值为 解析：(1)， ， ∴函数的定义域为. (2)，∴函数在上是增函数. 证明如下：任取，且，则， 在上是增函数. (3)∵函数在上是增函数，在上单调递增， ∴函数在上的最大值为，最小值为. 18.答案：(1)，； (2) (3)最小值为，最大值为18. 解析：(1)因为函数，所以， 又函数在处取得极值. 则有，即，解得：， 经检验，，时，符合题意，故，. (2)由(1)知：函数，则， 所以，又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，也即. (3)由(1)知：函数，则，令，解得：，， 在时，随x的变化，，的变化情况如下表所示： x 2 3 - + - 单调递减 单调递增 18 单调递减 11 由表可知：当时，函数有极小值； 当时，函数有极大值； 因为，， 故函数在上的最小值为，最大值为. 19.答案：（1）或 （2）当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为 解析：（1）因为在上为单调函数，且函数在区间上的最大值与最小值之差为1，所以，即，解得或； （2）因为函数是上的减函数， 所以即 当时，，原不等式解集为； 当时，，原不等式解集为. 20.答案：（1）单调递减区间是，无单调递增区间 （2）（i）； （ii）证明见解析 解析：（1）由已知可得的定义域为， 且， 因此当时，，从而， 所以的单减区间是，无单增区间； （2）（ⅰ）由（1）知，， 令，， 当时，，单调递减. ①当时，可知，在内单调递减， 又，故当时，，所以不存在正零点； ②当时，，，， 在单调递减，故当时，，函数不存在正零点； ③当时，，此时，， 所以存在满足， 所以在内单调递增，在内单调递减. 令，则当时，， 故在内单调递增，在内单调递减， 从而当时，，即， 所以， 又因为，所以，因此，此时存在正零点； 综上，实数a的取值范围为； （ⅱ）由题意，，即， 从而，即， 由（ⅰ）知当时，，即，有， 又，故，两边取对数，得， 于是，整理得. 学科网（北京）股份有限公司 $$