4.1数列（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一）第四章 数列 4.1数列 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.理解数列的有关概念和几种简单的表示方法（重点） 2.发现数列的规律，找出数列可能的通项公式（难点） 3.掌握数列通项公式概念及其应用（重点、难点） 4.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 大自然这本书是用数学语言写成的。 ——伽利略（意大利科学家） 情景导入 树木生长过程中枝丫的数目 果实的个数与排列方式 4 观察某树木的枝丫数，第一年为1，第二年为1，第三年为2，第四年为3，第五年为5，第六年为8，第七年为13，第八年为21，第九年为34，第十年为55，第十一年为89，第十二年为144…… 情景导入 5 将它们按年份排列起来，就是下面的一列数： １，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，… 可以发现，这列数有许多规律．例如，从第三个数开始，每一个数 都等于前两个数的和；再如，相邻两个数的比值（前一个数与后一个数之比）越来越接近于某个确定的常数…… 上面的研究过程，大致思路是： （１）首先，用“数”刻画现象中的状态； （２）将这些数按一定的顺序排成一列（与正整数建立对应关系）； （３）研究这列数的规律，用这些规律刻画并认识变化的状态和过程． 仿照这个过程，我们可以进一步去研究自然界、社会生活中的类 似现象，探索这些现象背后的规律，以解决具体的实际问题．在研究 过程中，我们 ● 应该建立怎样的数学模型来刻画这类现象？ ● 用这些数学模型能够解决哪些问题？ 某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为 人类在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为 某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为 20,22,24,26,28,…,78. ① 1740,1823,1906,1989,2072，…. ② 1,2,4,8,16，…. ③ 新知探究 20,22,24,26,28,…,78. ① 1740,1823,1906,1989,2072，…. ② 1,2,4,8,16，…. ③ 都是按照一定次序排列的一列数。 数列的定义： 按照一定次序排列的一列数称为数列。 7, 7, 7, 7,… -1, 1,-1, 1, -1,… 这两组数也是数列吗？ 1.数列的定义： 按照一定次序排列的一列数称为数列。 数列中的每个数叫做这个数列的项。 数列中的第一个数叫做这个数列的第1项或首项。 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，···，第n项 。 2.数列的项： 3.数列的首项： 4.数列的表示形式： a1，a2，a3，··· an，···，简记为{an}， 其中a1称为数列{an} 的第1项或首项，a2称为第2项，··· an称为第n项。 概念归纳 问题1：数列{an}与an的区别是什么？ 符号{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列中的第n项。 问题2： 数列{an}的书写形式与数集相类似.两者之间的区别与联系什么？ (1)数列与数集都是具有某种共同属性的数的全体； 点睛：数列是按一定的“顺序”排列的一列数，有序性是数列的基本属性； 数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列， 如：1，2，3，···与3，2，1，···就是不同的数列。 (2)数列中的数是有顺序、可重复的 (3)数集中的数是无序、不可重复的 数列的分类1(按项数)： (1)有穷数列：项数有限的数列； (2)无穷数列：项数无限的数列。 20,22,24,26,28,…,78. ① 1740,1823,1906,1989,2072，…. ② 1,2,4,8,16，…. ③ 问题3：在以上数列中，数列①和数列②、③有什么区别？ 例1　已知数列的第n项an为2n－1，写出这个数列的首项、第2项和第3项． 解： 首项为a1＝2×1－1＝1； 第2项为a2＝2×2－1＝3； 第3项为a3＝2×3－1＝5. 课本例题 如果数列{an} 的第n项an与序号n之间可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通常记为an＝f(n)(n∈N*)。 数列的通项公式： 问题4：通项公式的本质是什么？ 概念归纳 在一个数列中，知道了项数就能确定项： 你发现了什么？ 一一对应 数列是一种特殊的函数 定义域： 值域： 对应法则： 函数图象： N+ 离散的点 通项公式的本质是函数 例2　已知数列{an}的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象． 课本例题 你能说说本例中的数列有何性质？ (1)数列的每一项逐渐变大 (2)数列的每一项逐渐变小 (3)数列的每一项来回摆动 数列的分类2(按变化趋势)： (1)递增数列：数列中的每一项都逐渐变大的数列； (2)递减数列：数列中的每一项都逐渐变小的数列。 (3)摆动数列：数列中的每一项都来回摆动的数列。 数列递推公式的定义： 一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的递推公式，递推公式也是给定数列的一种方法。 解： (1) 因为a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*， 所以a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4， a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8， a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16， 所以数列{an} 的前5项依次为1,2,4,8,16. 课本例题 例3.分别根据下列条件，写出数列的前5项： （1），，，其中； （2），，其中. 解：（2）因为，，其中 因此，数列的前5项依次为2， ， ， ， . 所以 ， ， ， ， 例3.分别根据下列条件，写出数列的前5项： （1），，，其中； （2），，其中. 课本例题 19 例4.你能根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式吗？ （1），-，，，… （2）0，2，0，2，… 分析：（1）绝对值： ，，，，… 小提示 或常常用来表示正负相间的变化规律。 课本例题 20 例4.你能根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式吗？ （1），-，，，… （2）0，2，0，2，… （2）这个数列的奇数项是0，偶数项是2，所以它的一个通项公式是： 解：（1）这个数列前4项的绝对值都是分数，分子都为1，分母都等于序号与序号加1的积，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是： 课本例题 21 2.根据数列{an}的通项公式，写出它的前5项： (1)an=1-3n； (2)an=(-1)n2n. 【解析】解：∵(1)an=1-3n, 故前5项分别为：-2，-5，-8，-11，-14； (2)an=(-1)n2n. 故前5项分别为：-2，4，-6，8，-10． 课本练习 22 3.根据数列{an}的通项公式，写出它的第6项和第10项： (1)an=n2+n； (2)an=5-2n-1． 【解析】解：(1)∵an=n2+n, ∴a6=42，a10=110， (2)∵an=5-2n-1． ∴a6=-27，a10=5-512=-507． 23 4.37是否为数列{3n+1}中的项？如果是，是第几项？ 【解析】解：由3n+1=37可得n=12， 故37是{3n+1}的递12项． 5.写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)-1，2，-3，4； (2)2，4，6，8； (3)1，4，9，16； (4)1- ， - ， - ， - ． 【解析】解：(1)-1，2，-3，4，则an=(-1)nn； (2)2，4，6，8，则an=2n；(3)1，4，9，16，则an=n2， (4)1- ， - ， - ， - ，则an= - ． 24 错因分析 易错辨析　忽视数列中n∈N＋致错 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则an的最小值为________． 解析：∵an＝n2－5n＋4＝－， 可知对称轴方程为n＝， 又n∈N＋，故n＝2或3时， an有最小值，且a2＝a3＝－2 -2 错因分析 出错原因 纠错心得 在求出an＝－时，忘记n∈N＋了，导致得出错误答案：－. 数列的定义域是正整数集合时，是特殊的函数，所以解题时一定不要忘记n∈N＋这一条件． 【易错警示】 错因分析 1.已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是____________． (－3，＋∞) 易错辨析　用函数思想解题时忽略数列的特征而致错 解析：方法一　由数列{an}为递增数列，知 an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t>0恒成立， 即t>－(2n＋1)恒成立． 而n∈N＋，所以t>－3， 故t的取值范围是(－3，＋∞)． 解析：方法二　an＝n2＋tn＝－， 由于n∈N＋，且数列{an}为递增数列， 结合二次函数的图像得－<，解得t>－3， 故t的取值范围是(－3，＋∞)． 错因分析 【易错警示】 错因：在方法二中，若忽略了数列的特征，即n的取值的离散性，常会得出－≤1，即t∈[－2，＋∞)的错误结果．事实上，由抛物线的对称性知，函数f(x)＝x2＋tx在[1，＋∞)上不单调照样可以使得数列{an}单调，当对称轴位于区间内时，a1<a2也成立． 纠错心得：用函数思想解决数列的问题时，特别是研究数列的单调性时，应注意数列的特征．要能够恰当利用函数的性质，通过数形结合来求解 典例剖析 题型1　数列的概念 例1　下列说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为{3，6，8} D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列 A 解析： (1)根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确； 同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误； 数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误； 当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误． 数列的判断技巧 ①集合中的数是无序的，元素又是互异的；而数列中的数是严格按照顺序排列的，项与项可以是相同的； ②组成数列的数相同，而且排列次序也相同，满足这两个条件才是相同的数列． 概念归纳 典例剖析 题型2　观察法写出数列的通项公式 例2　写出下面各数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： (1)－1，，－； (2)，3，； (3)0.9，0.99，0.999，0.999 9； (4)3，5，3，5. 解析：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·. (2)数列可化为，即，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝. (3)原数列可变形为，…，故数列的一个通项公式为an＝1－. (4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n. 观察法写出数列的通项公式的策略 概念归纳 典例剖析 例3　已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)求这个数列的第10项； (2)在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由． 题型3　数列通项公式的简单应用 解析：(1)a10＝＝. (2)解不等式<<得<n<，因为n为正整数，所以n＝2，因此在区间内只有一项． 归纳总结 1．利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 2．判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 例4　(1)设数列{an}中，a1＝2，an＋＝1(n≥2且n∈N＋) ，则 a2 022＝(　　) A．－1 B． C．2 D． 　解析：由已知得：an＝1－， 可求a2＝，a3＝－1，a4＝2， ∴数列{an}的周期为3， a2 022＝a3＝－1，选项A正确． 典例剖析 题型4　根据递推公式求数列的项 A (2)[2022·湖南雅礼中学高二期中]如图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则a6＝________． 364 解析： 依题意可知a1＝1，a2＝4，a3＝13，a4＝40，且an＋1＝3an＋1， 所以a5＝3a4＋1＝3×40＋1＝121，a6＝3a5＋1＝3×121＋1＝364. 例5　(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立．试根据这一结论，完成问题： 已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an； 解析：n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋2＋2＋…＋2(n－1)个2＝2(n－1)＋1＝2n－1. a1＝1也适合上式， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1. 典例剖析 题型5　数列递推公式与通项公式的关系 (2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N＋)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N＋)，求通项an. 解析： n≥2时，an＝a1···…· ＝1···…·＝. a1＝1也适合上式， 所以数列{an}的通项公式是an＝.  由数列的递推公式求通项公式的两种方法 归纳总结 例6　已知数列{an}的通项公式是an＝，判断该数列的单调性． 典例剖析 题型6　数列单调性的判断 解析：方法一(作差法)　 因为an＋1－an＝＝＝>0， 所以an＋1>an对任意的n(n∈N＋)都成立，所以数列{an}是递增数列． 方法二(作商法)　因为an＝>0， 所以＝＝＝>1， 所以an＋1>an对任意的n(n∈N＋)都成立．故数列{an}是递增数列． 方法三(函数性质法)　an＝＝＝2－. 由于函数y＝2－在[1，＋∞)上单调递增， 因此数列{an}是递增数列．  判断数列单调性的四种方法 归纳总结 例7　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 典例剖析 题型7　求数列的最大(最小)项 解析：∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝·. ∴当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，a10－a9＝0，即a10＝a9； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an，故a1<a2<…<a9＝a10>a11>a12>…， ∴数列{an}中最大项为a9或a10，其值为10×，其项数为9或10. 求数列中的最大项时，可结合数列的单调性由an－1≤an且an≥an＋1来求，即解不等式组得n的取值范围，再由n∈N＋得到n的值． 归纳总结 【答案】 A 随堂检测 【答案】 B 【答案】 ABC 3. (多选)(2023清镇博雅国际实验学校月考)数列2,0,2,0，…的通项公式可以是(　　) 【解析】 对于A，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，故A正确；对于B，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，故B正确；对于C，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，故C正确；对于D，a1＝0，a2＝2，a3＝0，a4＝2，不符合题意，故D错误．故选ABC. 【答案】 ACD 4.(多选)(2023湖南百校大联考)甲同学通过数列3,5,9,17,33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为an＝2n＋m，根据甲同学得到的通项公式，下列结论中正确的是(　　) A. m＝1 B. m＝2 C. 该数列为递增数列 D. a6＝65 【解析】 由a1＝21＋m＝3，得m＝1，则an＝2n＋1，经检验，符合题意，故A正确，B错误；因为 an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1>0，所以该数列为递增数列，故C正确；a6＝26＋1＝65，故D正确. 故选ACD. 【答案】 2 6. 数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6. (1) 这个数列的第4项是多少？ (2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 【解析】 (1) 因为数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6， 所以这个数列的第4项是a4＝42－7×4＋6＝－6. (2) 令an＝n2－7n＋6＝150，即n2－7n－144＝0， 解得n＝16或n＝－9(舍去)， 所以150是这个数列的项，是第16项． 7. 已知数列{an}满足a1＝1，lnan－lnan－1＝1(n≥2)，求an. 数列 定义 本质：函数。 表示方法：列表、图像、通项公式及递推公式。 按一定次序排列的一列数称为数列， 数列中的每一个数都叫做这个数列的项。 数列的一般形式可以写成，，，简记为 。 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列． 数列可以看成从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数 课堂小结 55 (1) an＝；　　　(2) an＝. 【解析】 (1) a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，作图略． (2) a1＝－，a2＝，a3＝－，a4＝，a5＝－，作图略． 1. (2024长春二中期末)数列－1，，－，，…的一个通项公式为(　　) A. an＝ B. an＝ C. an＝ D. an＝ 【解析】 观察数列－1，，－，，…，可知其分母为n，其分子是－1,1交替出现，所以分子可为(－1)n，故该数列的一个通项公式为an＝. 2. (2023广州四中月考)已知数列{an}满足a2＝，an＋1＝1－，则a2 023的值为(　　) A. 1 B. 2 C. －1 D. 【解析】 由题意，得a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，a5＝1－＝，…，所以{an}是周期为3的数列．又a2＝1－＝，可得a1＝2，则a2 023＝a3×674＋1＝a1＝2. A. an＝(－1)n＋1＋1 B. an＝2 C. an＝2 D. an＝(－1)n＋1 5. (2023眉山仁寿一中月考)已知数列{an}满足a3＝，an＋1＝2－，则数列{an}的首项a1＝________. 【解析】 由题意，得an＋1＝2－，令n＝2，则a3＝2－＝，解得a2＝；令n＝1，则a2＝2－＝，解得a1＝2. 【解析】 因为lnan－lnan－1＝1，所以ln＝1， 即＝e(n≥2)， 所以an＝··…··a1＝·1＝en－1(n≥2)． 又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N*. $$