江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中适应性练习数学试题

南航苏州附中2024-2025学年第一学期高三年级期中适应性练习 数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，为复数，且，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 4. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若在区间内函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足：，（）.正项数列满足：对于每个，，且，，成等比数列，则的前n项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为函数的零点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列四个命题为真命题的是（ ）. A. 在中，角所对的边分别为，若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 B. 若向量，，则在上的投影向量为 C. 已知向量，，则的最大值为 D. 在中，若（），则动点的轨迹一定通过的重心 10. 数列前项和为，且满足则（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 11. 如图，正方体棱长为2，、分别是棱，棱的中点，点是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为 B. 过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 当时，点的轨迹长度为 D. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为_________． 13. 在中，角，，所对的边分别为，，且．当取最小值时，则______． 14. 如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”.已知曲线：（其中是自然对数的底数），为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则____. 四、解答题（共77分） 15. 已知=(bsinx，acosx)，=(cosx，﹣cosx)，，其中a，b，xR.且满足，. （1）求a和b的值； （2）若关于x的方程在区间[0，]上总有实数解，求实数k的取值范围. 16. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，侧面是正三角形，是上一动点，N是的中点. （1）若∥平面，求证：M是的中点； （2）若平面平面，求线段的长； （3）是否存在点M、使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 18. 已知数列中，，前项和为，且. （1）求，的值； （2）证明：数列是等差数列，并写出其通项公式； （3）设（），试问是否存在正整数，（其中，使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数对；若不存在，请说明理由. 19. 凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等．记为的导数．现有如下定理：在区间I上为凸函数的充要条件为． （1）证明：函数为上的凸函数； （2）已知函数． ①若为上的凸函数，求的最小值； ②在①的条件下，当取最小值时，证明：，在上恒成立． 南航苏州附中2024-2025学年第一学期高三年级期中适应性练习 数学 一、单选题（每题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（每题6分，共18分） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】CD 三、填空题（每题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（共77分） 【15题答案】 【答案】（1），；（2）. 【16题答案】 【答案】（1）证明：若∥平面，且平面，平面平面， 可得， 在中，点N是中点，所以点M是中点. （2） （3）存在，1 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1），； （2）由，即 ① ， 又 ②， ②式减①式，得 ③， 于是 ④， ③、④两式相加，得， 所以，即， 所以，数列是等差数列. 又，，所以公差， 所以的通项公式为； （3）存在，. 【19题答案】 【答案】（1）证明：因为，则，， 因为，又，所以， 故在区间上恒成立，即函数为上的凸函数. （2）①； ②证明：由（1）知， 令，则， 令，则在区间恒成立，当且仅当时取等号， 所以在区间上单调递增，得到，当且仅当时取等号， 即在区间恒成立，当且仅当时取等号， 即在区间上单调递增，所以， 令，令，得到， 则在区间上恒成立，即在区间上单调递减， 所以， 即当，，当且仅当时取等号， 所以，在上恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $