期中测试卷02（测试范围：第1-2章+二次函数）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

2024-2025学年九年级数学上册期中测试卷02 测试范围：第1-2章+二次函数 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．对于抛物线，下列判断正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴为直线 D．当时， 4．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 5．关于的一元二次方程有实数根，则满足（   ） A． B．且 C．且 D． 6．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 7．如图，是的半径，连接，过点作交于点，连结，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．关于的方程的一个根是，则的值是 ． 10．半径为的圆中的圆心角所对的弧长为 ． 11．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是 ． 12．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 13．已知点O是的外心，且，则 ． 14．如图，P为外一点，与相切于点T，则的半径为 ．    15．已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ． 16．如图， 在中，，点P 是射线上一动点，，且，连接，则的最小值是 ． 三、解答题 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．如图，，都是圆中的弦，连接，，且，求证：． 19．如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 20．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何实数时，方程总有实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 21．如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 22．如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 23．如图，在中，．    (1)在上取一点，以为圆心作与线段，均相切．利用无刻度直尺和圆规按上述要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 24．如图所示，二次函数的图象经过、、三点．    (1)求二次函数的解析式； (2)方程有两个实数根，m的取值范围为__________． (3)不等式的解集为__________； 25．如图，△EBF中，∠B＝90°，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积． 26．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． (1)已知点，以P为圆心，为半径作圆，请判断是不是二次函数的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数图象的顶点为A，交y轴于点C，则该二次函数的坐标圆的圆心为 P在__________上； (3)求 周长最小值． 27．（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．    ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上册期中测试卷02 测试范围：第1-2章+二次函数 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【解析】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数是二次函数，故本选项符合题意； C．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数． 2．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【解析】解：， 故选：B． 3．对于抛物线，下列判断正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴为直线 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，时，函数开口向下． 根据二次函数的图象和性质，逐个判断即可． 【解析】解：∵， ∴抛物线开口向下，故A不正确，不符合题意； ∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线，故B不正确，不符合题意；故C正确，符合题意； 当时，，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 4．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答． 【解析】解：∵圆心到弦的距离为2， ∴， ∵弦的长为4， ∴， ∴， 即圆O的半径长是， 故选：C． 5．关于的一元二次方程有实数根，则满足（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到得且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解析】解：根据题意得且， 解得且． 故选：C． 6．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象及性质，掌握系数对函数图象的影响是解题的关键． 根据函数图象分别确定系数的正负，同一字母在同一图象中取值不能相异，据此判定即可． 【解析】解：A． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； B． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，一致，符合题意； C． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； D． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； 故选：B． 7．如图，是的半径，连接，过点作交于点，连结，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理得到，再由平行线性质确定，最后由圆周角定理即可得到答案． 【解析】解：，， 由等腰三角形性质可得， ， ， ， 由圆周角定理可得， 故选：B． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线性质及圆周角定理等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 8．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意可知：对称轴为，由对称性可知：抛物线与x轴的另外一个交点在与之间，从而可判断出①正确；抛物线对称轴为直线，得，则，把代入得，，从而可判断出②正确；由抛物线顶点坐标为，则有两个相等实数根，所以，则，从而可判断出③正确；根据的最大函数值为，则有实数根，从而可判断出故④错误． 【解析】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵图象与x轴的一个交点在，之间， ∴图象与x轴另一交点在，之间， ∴时，， 即， 故①正确，符合题意． ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴时，， 故②正确，符合题意． ∵抛物线顶点坐标为， ∴有两个相等实数根， ∴， ∴， 故③正确，符合题意． ∵的最大函数值为， ∴有实数根， 故④错误，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据图象求出对称轴以及a，Δ与0的大小关系，本题属于中等题型． 二、填空题 9．关于的方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入计算即可求解． 【解析】解：根据题意，把代入得，， 解得，， 故答案为： ． 10．半径为的圆中的圆心角所对的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键． 直接利用弧长公式求解即可． 【解析】解：半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为： （）， 故答案为：． 11．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是 ． 【答案】25% 【分析】设平均每月增长的百分率是x，根据4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，可列方程求解． 【解析】设平均每月增长的百分率是x， 160（1+x）2=250 x=25%或x=-225%（舍去）． 平均每月增长的百分率是25%． 故答案为25%． 12．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式即可得到答案． 【解析】解：， ∴将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 13．已知点O是的外心，且，则 ． 【答案】3 【分析】根据三角形的外心的性质解答即可； 【解析】∵点 为 的外心， 故答案为3 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等是解题的关键 14．如图，P为外一点，与相切于点T，则的半径为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【解析】解：如图，与相切于点T， 故答案为：5． 15．已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点，可得二次函数图象的对称轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再分两种情况：当点在对称轴的左侧时；当点在对称轴的右侧时，即可求解． 【解析】解：∵点均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 当时，， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵， 当点在对称轴的左侧时，； 当点在对称轴的右侧时，，且， 解得：； 综上所述，k的取值范围为或． 故答案为：或． 16．如图， 在中，，点P 是射线上一动点，，且，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点H，连接交于点G，连接，当时，有最小值，此时易得是等腰三角形，推出，即有最小值，则有最小值，此时根据，推出，设中点为O，根据，易得点在以点O为圆心为直径的圆上，易得，由，易得此时点B在圆O上，进而推出，则，得到四边形是矩形，即，利用勾股定理即可计算出的最小值，进而得出结果． 【解析】解：取中点H，连接交于点G，连接， 当时，有最小值， 点H是中点，， 是等腰三角形， ， 是定值，有最小值时， 即有最小值，则有最小值， ， ， 设中点为O， ， 点在以点O为圆心为直径的圆上， ， ， 此时点B在圆O上， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求最短距离，圆周角定理，四点共圆，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，证明四点共圆是解题的关键． 三、解答题 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当的方法是解题的关键； （1）用配方法解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用因式分解法求解即可； （4）用因式分解法求解即可； 【解析】（1）解：配方得： 即， 所以； （2）解：分解因式得：， 则， 解得： （3）解：移项并分解因式得： 则， 所以； （4）解：分解因式得：， 则， 18．如图，，都是圆中的弦，连接，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理和等腰三角形的判定等．连接，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的判定得出即可． 【解析】 证明：连接， ， ， ， ． 19．如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 【答案】道路的宽为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．耕地的面积矩形耕地的面积三条道路的面积道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽，可根据此关系列出方程求出的值，然后将不合题意的舍去即可． 【解析】解：设道路宽为， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，是原方程的解，但，不符合题意，舍去； 答：道路的宽为． 20．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何实数时，方程总有实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为9． 【分析】本题主要考查了根的判别式及因式分解法解一元二次方程． （1）计算方程的根的判别式，若，则方程总是有实数根； （2）已知，则可能是底，也可能是腰，分两种情况求得的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【解析】（1）证明：∵ ， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）解：①若为底边，则为腰长，，， ∴， 解得：， 此时原方程化为， ∴，即， 此时三边为4，1，1不能构成三角形，故舍去； ②若为腰，则中一边为腰， 把代入方程，， ∴， 则原方程化为， ， ∴，， 此时三边为4，4，1能构成三角形， 综上所述：三边为4，4，1， ∴周长为． 21．如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 【答案】6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键．以直线作为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为，将代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将代入求解即可． 【解析】解：以直线作为y轴，以地面为x轴， 由题意可得，抛物线的顶点为，经过点， ∴设抛物线解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变， ∴调高后的抛物线解析式为，即， 将代入得， 整理得：， ， 解得：，（舍去）， ∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 答：此时喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 22．如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要查了圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）连接，由圆周角定理推出，由等腰三角形的性质即可证明E是的中点； （2）由等腰三角形的性质得到，求出，由圆周角定理推出，即可求出． 【解析】（1）证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴E是的中点； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 23．如图，在中，．    (1)在上取一点，以为圆心作与线段，均相切．利用无刻度直尺和圆规按上述要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了作图-复杂作图：涉及角平分线的性质、勾股定理、切线的判定与性质． （1）作的平分线交于O点，则根据角平分线的性质得到O点到的距离等于，然后根据切线的判定方法可判断与边相切； （2）先利用勾股定理得到，再根据切线长定理得到，所以，设的半径为r，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【解析】（1）解：如图，为所作：    （2）解：依题意， ∵，，， ∴在中，， ∵， ∴为的切线， ∵与相切于D， ∴ ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， 即的半径为． 24．如图所示，二次函数的图象经过、、三点．    (1)求二次函数的解析式； (2)方程有两个实数根，m的取值范围为__________． (3)不等式的解集为__________； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为，进而代值求解a值即可； （2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线与二次函数图象有两个交点时的m值的取值范围即可； （3）先判断出二次函数的图象与直线的交点坐标为，，再根据图象，求得使二次函数的图象位于直线上方部分的点的横坐标取值范围即可． 【解析】（1）解：根据题意，设二次函数的解析式， 将代入，得， ∴二次函数的解析式为，即； （2）解：∵， ∴当时，y有最小值， ∴当时，直线与二次函数的图象有一个交点，即方程有两个相等的实数根， 当时，直线与二次函数的图象有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， 故答案为：； （3）解：由图可知，二次函数的图象与直线的交点坐标为，， ∴当或时，二次函数的图象位于直线上方， 故不等式的解集为或， 故答案为：或． 25．如图，△EBF中，∠B＝90°，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）﹣π． 【分析】（1）连接OD，先由平行四边形的性质得OA=DC，OC=AD，再证△OAD、△OCD都是等边三角形，得∠AOD=∠COD=60°，然后证△OBF≌△ODF（SAS），得∠OBF=∠ODF=90°，即可得出结论； （2）先求出∠FEB=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得OE=2，DE=OD=，然后求出S△EOD=，S扇形AOD=，即可得出答案． 【解析】（1）证明：连接OD，如图所示： ∵四边形AOCD为平行四边形， ∴OA＝DC，OC＝AD， ∵OA＝OC＝OD， ∴OA＝OD＝AD，DC＝OC＝OD， ∴△OAD、△OCD都是等边三角形， ∴∠AOD＝∠COD＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOD﹣∠COD＝60°， 在△OBF和△ODF中， ， ∴△OBF≌△ODF（SAS）， ∴∠OBF＝∠ODF， ∵∠OBF＝90°， ∴∠ODF＝90°， ∴EF⊥OD ∵点D在⊙O上， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：在Rt△ODE中，∵∠AOD＝60°， ∴∠FEB＝30°， ∵OD＝1， ∴OE＝2，DE＝OD＝， ∴S△EOD＝OD×DE＝×1×＝ ，S扇形AOD＝＝π， ∴图中阴影部分的面积＝S△EOD﹣S扇形AOD＝﹣π． 【点睛】本题考查了切线的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形面积等知识；熟练掌握切线的判定和平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 26．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． (1)已知点，以P为圆心，为半径作圆，请判断是不是二次函数的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数图象的顶点为A，交y轴于点C，则该二次函数的坐标圆的圆心为 P在__________上； (3)求 周长最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)线段的垂直平分线 (3)6 【分析】（1）先求得该二次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，再利用两点坐标距离公式和圆的定义判断三个点是否在上，进而根据题中定义作出判断； （2）根据题中定义和圆的定义，结合线段垂直平分线的性质，进而可得到结论； （3）连接，的周长为，当点C、P、共线时取等号，进而可求解． 【解析】（1）解：是二次函数的坐标圆，理由为： 当时，，当时，解方程得，， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为， ∵，，， ∴， 故是二次函数的坐标圆； （2）解：∵已知二次函数图象的顶点为A，交y轴于点C， ∴该二次函数的坐标圆的圆心P满足， ∴该二次函数的坐标圆的圆心P在线段的垂直平分线上， 故答案为：线段的垂直平分线； （3）解：连接，则， ∴的周长为，当点C、P、共线时取等号， ∵，， ∴，， ∴周长最小值为6． 【点睛】本题考查二次函数与圆的综合，涉及二次函数图象与坐标轴的交点、圆的定义、最短路径问题、线段垂直平分线的性质、坐标与图形、两点坐标距离公式等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 27．（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．    【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】（1）当P在延长线上时，最大为：．当P在上时，最小为：． （2）①由沿将翻折得到，可知，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆，则当E、P、B三点共线时，小，此时进而即可求解；②由和是等腰直角三角形，可证，得，进而 ，当C、A、B三点共线时，最大，进而可求解； （3）以为边作，在的异侧作等边，为半圆O的直径，，由，由是等边三角形，可得，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，进而可求； 【解析】解：（1）当P在延长线上时最大，如图：        ∴最大为：． 当P在上时最小，如图：     ∴最小为：． 故答案为∶． （2）①如图：      ∵沿将翻折得到， ∴，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆， ∴当E、P、B三点共线时，小，此时， ∴的最小值为， 故答案为：． ②∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴， ∴当最大时，就最大， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当C、A、B三点共线时，最大，如图：    ∴此时． （3）以为边作，在的异侧作等边，      ∵为半圆O的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，而， ∴， 在中，， ∴， 当G、D、B三点共线时，BD最小，如图：    ∴最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及翻折变换，全等三角形的判定及性质，三角形两边之差小于第三边等知识，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，等边三角形及转化思想的应用，综合性较强． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$