精品解析：甘肃省陇南市康县2024—2025学年九年级上学期阶段性学习效果评估数学试卷（二）

2024—2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 九年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 每小题只有一个正确选项． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．根据中心对称图形的概念求解即可作答． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义，必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．逐一判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是二元二次方程，不合题意． 故选：B． 3. 下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润（售价进价）销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【详解】解：①，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意； ②，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； ③，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 故选：C． 4. 如果关于的一元二次方程 的一个解是，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键； 根据题意可以得到，对变形即可求解； 【详解】解：关于的一元二次方程 的一个解是， 把代入得， ， 故选：A 5. 已知抛物线下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时， y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 故A、B、D均不正确，C正确． 故选：C． 6. 若关于x的方程 有实数根，则实数m的值可能是（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出，求出不等式的解集即可． 【详解】解：关于的方程有实数根， ， 解得：， 只有数符合， 故选：C． 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可知AB=AD，可算出∠ADB=40°，就可以算出旋转角． 【详解】由旋转的性质可知：AB=AD，∠BAD是旋转角 ∵AB=AD ∴∠ADB=∠B=40° ∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=100° 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质．找到旋转的对应边、对应角是解决问题的关键． 8. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，二次函数 (m为常数) 的图象经过，且对称轴在y轴左侧，则下列关于该二次函数的说法正确的是（ ） A. 最大值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用公式法求出二次函数最值．此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 【详解】解：∵二次函数 (m为常数) 的图象经过， ∴ 解得：，， 二次函数的对称轴在轴左侧， ∴ ， ， 把代入， ， 二次函数有最小值为：． 故选：C． 10. 二次函数的对称轴为直线，且经过点，且有最大值．下列结论： ①开口向下； ②； ③关于x的方程的另一个根是； ④点和点在抛物线上时，；其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据二次函数有最大值，可判断开口向下，故①正确；根据二次函数的对称轴公式可求得，即可判断②；根据二次函数的对称性结合其对称轴可求出该二次函数还经过点，即可判断③；由两点坐标可判断其关于直线对称，结合二次函数的对称性即可得出，可判断④． 【详解】解：∵该二次函数有最大值， ∴开口向下，故①正确； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线，且经过点， ∴该二次函数还经过点， ∴关于x的方程的另一个根是，故③正确； ∵， ∴点和点关于直线对称， ∴，故④正确． 综上可知，正确的个数有3个． 故选C． 二、填空题 11. 已知点和点关于原点对称，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数这一关系是解题关键． 直接利用关于原点对称点的性质得出a、b的值，进而得出答案． 【详解】解：点和点关于原点对称， ， 则． 故答案为：2． 12. 已知方程的一个根是1，则它的另一根是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系，代入对应的数据计算即可. 【详解】解：设另一根为m，根据根与系数的关系可得：， ∴， ∴方程的另一个根是4. 故答案为：4. 13. 用配方法解方程． 时，将方程转化成( 的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．根据配方法即可求出答案． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 14. 若抛物线 (a为常数) 与坐标轴有且仅有一个公共点，则a的范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题以及判别式的应用，先得出抛物线 与轴有一个交点，即交点坐标为，再结合(a为常数) 与坐标轴有且仅有一个公共点，则抛物线 与轴无交点，那么列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：， ∴当时，则 即抛物线 与轴有一个交点，即交点坐标为， ∵抛物线 与坐标轴有且仅有一个公共点， ∴抛物线 与轴无交点， ， ． ∴a的范围是． 故答案为：． 15. 已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如表： 0 1 2 3 8 3 0 0 则满足方程的解是__________________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，通过表格数据求出然后代入方程即可求解． 【详解】解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 移项可得： 因式分解可得： 解得：． 16. 如图，将含有30°角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若将三角板绕原点O逆时针旋转90°得到， ，则点A 的对应点 的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，当点在第二象限时，过点作轴于点．解直角三角形求出坐标即可． 【详解】解：当点在第二象限时，过点作轴于点． 在中， ∵ ∴，， ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分． 解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把原方程整理得到，再配方解方程即可； （2）先利用平方差公式把原方程变形为，据此解方程即可． 【小问1详解】 解：原方程整理得， 配方，得． ∴，或． ，． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， ∴或， ∴，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若点的坐标为，画出经过平移后得到；（点的对应点分别为点、、） （2）若绕着坐标原点按逆时针方向旋转得到，画出，并写出的坐标．（点的对应点分别为点、、） 【答案】（1） 如图，即为所作， （2） 如图，即为所作， 的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，再写出的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知二次函数的图象以为顶点，且过点 （1）求该函数图象抛物线的解析式； （2）将函数图象向右平移几个单位，该函数图象恰好经过原点． 【答案】（1） （2）向右平移3个单位，该函数图象恰好经过原点， 【解析】 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）先算出抛物线与轴的交点坐标为，，则把点向右平移3个单位到原点，所以把抛物线解析式向右平移3个单位，该函数图象恰好经过原点； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象以为顶点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵ ∴当时，， ∴， 解得，， 则抛物线与轴的交点坐标为，； ∴把抛物线解析式向右平移3个单位，该函数图象恰好经过原点， 20. 如图， 将 逆时针旋转一定角度后得到 点D为的中点． （1）若 则旋转中心为点 ，旋转角度为 ； （2）若在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1）C， （2）4 【解析】 【分析】（1）根据旋转的概念可得结论； （2）由点为的中点得出，由旋转的性质得． 本题主要考查旋转的概念和性质，①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 【小问1详解】 解：∵将 逆时针旋转一定角度后得到 ∴点为旋转中心， 由旋转得，， ， ， ， 旋转角度为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：，且点为的中点， ， 由旋转得，． 21. 已知关于的方程 （1）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； （2）若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长． 【答案】（1） 证明：∵， 无论取任何实数，方程总有实数根； （2）7 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证； （2）分两种情况考虑：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或时，把代入方程求出k的值，进而求出周长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，，方程为， 解得：， 此时三边长为，周长为； 当或时，把代入方程得：， 解得：，此时方程为：， 解得：， 此时三边长为不能组成三角形， 综上所述，的周长为 22. 已知二次函数 ． （1）若二次函数过点，求二次函数的表达式； （2）若点和点在该二次函数图象上，求n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）直接用待定系数法将点代入求出即可． （2）先求出抛物线的对称轴为，再根据点和点关于对称轴对称，得，求出即可． 【小问1详解】 ， 且二次函数过点， 将代入得， 整理得， 解得， ． 【小问2详解】 ， 其中对称轴为， 点和点在该二次函数图象上， 点和点关于对称轴对称， ， 即， ． 四、解答题 23. 如图，在中，，若D是边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，点D的对应点为点E，连接．求证：． 【答案】 证明：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，根据旋转的性质得出，进而得出，再根据等边对等角得出，，得出，即可求证；解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应角相等，以及等腰三角形等边对等角． 【详解】略 24. 庆城中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为米的篱笆围成,已知墙长为米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米． （1）若苗圃园的面积为平方米,求的值; （2）求这个苗圃园的面积的最大值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用,矩形面积公式,解一元二次方程． (1)根据题意用含的代数式表示出苗圃园的长,再利用矩形面积公式列出方程,正确计算即可得到本题答案; (2)根据题意列出苗圃园面积的方程,利用二次函数求最值方法判断最值并求出即为本题答案． 【小问1详解】 解:设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米, ∵其中一边靠墙,另外三边用长为米的篱笆围成, ∴苗圃园的长为米, ∵苗圃园的面积为平方米, ∴,解得:, ∵墙长为米, ∴,即, ∴； 【小问2详解】 解:设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米,面积为平方米, ∵其中一边靠墙,另外三边用长为米的篱笆围成, ∴苗圃园的长为米, ∴, ∵,开口向下, ∴面积有最大值,当时,面积有最大值为(平方米), 答:这个苗圃园的面积的最大值为平方米． 25. 某班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x 0 1 2 3 4 y 0 3 4 3 4 m 0 其中， （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象； （3）结合你所画的函数图象，直接写出方程 的解． 【答案】（1）3 （2） 描点，连线，作图象如下； （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的函数值，画二次函数的图象．数形结合是解题的关键． （1）当时，，计算求解即可； （2）描点，然后连线作图即可； （3）数形结合即可． 【小问1详解】 解：当时，， 故答案为：3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知，方程 的解为或或． 26. 如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）连接，根据旋转的性质，证明是等边三角形，进而可得点P与点之间的距离； （2）根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点P与点之间的距离为6； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为． 27. 如图，抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点，与x轴相交于点 A、B． （1）求抛物线的表达式，及A、B两点的坐标； （2）点F 是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与轴的交点，二次函数与特殊的四边形的综合．熟练掌握二次函数的解析式，二次函数与轴的交点，二次函数与特殊的四边形的综合是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，则，可求，则抛物线的表达式为；当时，，计算求解，进而可求； （2）设，由，可知当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，分，两种情况求解作答即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， ∵抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 当时，， 解得，，， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，分，两种情况求解； 当时，，，如图1， ∴关于对称轴直线对称， ∴； 当时，如图2，记的交点为， ∴， 解得，， ∴，， 综上所述，存在，点F 的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 九年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 每小题只有一个正确选项． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 4. 如果关于的一元二次方程 的一个解是，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时， y随x的增大而减小 6. 若关于x的方程 有实数根，则实数m的值可能是（ ） A. 1 B. C. D. 0 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（ ） A. B. C. D. 8. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，二次函数 (m为常数) 的图象经过，且对称轴在y轴左侧，则下列关于该二次函数的说法正确的是（ ） A. 最大值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最小值为 10. 二次函数的对称轴为直线，且经过点，且有最大值．下列结论： ①开口向下； ②； ③关于x的方程的另一个根是； ④点和点在抛物线上时，；其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 已知点和点关于原点对称，则__________． 12. 已知方程的一个根是1，则它的另一根是______． 13. 用配方法解方程． 时，将方程转化成( 的形式为________． 14. 若抛物线 (a为常数) 与坐标轴有且仅有一个公共点，则a的范围为________． 15. 已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如表： 0 1 2 3 8 3 0 0 则满足方程的解是__________________ 16. 如图，将含有30°角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若将三角板绕原点O逆时针旋转90°得到， ，则点A 的对应点 的坐标为______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分． 解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程∶ （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若点的坐标为，画出经过平移后得到；（点的对应点分别为点、、） （2）若绕着坐标原点按逆时针方向旋转得到，画出，并写出的坐标．（点的对应点分别为点、、） 19. 已知二次函数的图象以为顶点，且过点 （1）求该函数图象抛物线的解析式； （2）将函数图象向右平移几个单位，该函数图象恰好经过原点． 20. 如图， 将 逆时针旋转一定角度后得到 点D为的中点． （1）若 则旋转中心为点 ，旋转角度为 ； （2）若在（1）的条件下，求的长． 21. 已知关于的方程 （1）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； （2）若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长． 22. 已知二次函数 ． （1）若二次函数过点，求二次函数的表达式； （2）若点和点在该二次函数图象上，求n的值． 四、解答题 23. 如图，在中，，若D是边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，点D的对应点为点E，连接．求证：． 24. 庆城中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为米的篱笆围成,已知墙长为米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米． （1）若苗圃园的面积为平方米,求的值; （2）求这个苗圃园的面积的最大值 25. 某班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x 0 1 2 3 4 y 0 3 4 3 4 m 0 其中， （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象； （3）结合你所画的函数图象，直接写出方程 的解． 26. 如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 27. 如图，抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点，与x轴相交于点 A、B． （1）求抛物线的表达式，及A、B两点的坐标； （2）点F 是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $