精品解析：山东省青岛市西海岸三校联考2024-2025学年高一10月月考数学试题

青岛西海岸新区第一次教学质量联合监测数学试题 高一数学（三校联考） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 根据命题的否定的定义写出命题的否定，然后判断． 【详解】命题：，的否定是：，． 故选：D． 2. 在下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只需判断各函数与题述函数对应法则以及定义域是否相同即可求解. 【详解】解：对于A，（），与（）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B，（），与（）的对应关系不同，不是同一函数； 对于C，（），与（）的定义域不同，不是同一函数； 对于D，（），与（）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：D． 3. 已知，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 因为该题为选择题，故可以用特值法，取符合条件的，代入进行比较即可. 【详解】取特殊值：，，则，， 故， 故选：D. 【点睛】本题主要考查不等式比较大小，属于基础题. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案． 【详解】充分性，因为可得到或， 若或时，可得，所以是的充分条件； 必要性，若，当时，满足，但， 故不是的必要条件， 故选：A 5. 已知集合是全集的两个非空子集且，则下列说法不正确的是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，借助韦恩图对各选项进行判断. 【详解】由，根据子集的定义，所以有，，选项ABC正确， 由韦恩图可知，选项D错误. 故选：D 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故选：D 7. 已知，某同学求出了如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；，则下列判断中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ①③⑥ 【答案】D 【解析】 【详解】,,,则，①正确； ，， ， ，则，③正确； ，，， 则，②④⑤错误， ，，，则 ⑥正确；判断中正确的是①③⑥，选D. 8. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得b＝3a，c＝－4a，再由基本不等式计算即可得出结论． 【详解】由的解集为可知， 1和是方程的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系可得，即可得，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立； 因此． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的最小值为2 C. 某班中身高较高的同学能够组成一个集合 D. 一元二次不等式对一切实数恒成立的充要条件是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，根据复合函数的定义域求解方法判断正误； 对于B选项，根据基本不等式成立的条件判断正误； 对于C选项，根据集合中元素的性质判断正误； 对于D选项，根据二次函数的性质判断正误. 【详解】对于A选项，若函数的定义域为，可得：，解得：， 则函数的定义域为，故A正确； 对于B选项，函数，当且仅当时等号成立， 又因为，所以等号不成立，故B错误； 对于C选项，某班中身高较高的同学不能够组成一个集合，因为身高较高没有标准， 所以不满足集合中元素的确定性，故C错误； 对于D选项，一元二次不等式对于一切实数恒成立， 则且，解得：，故D正确； 故选：AD 10. 若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得的取值范围，进而确定正确答案. 【详解】依题意，“或”是“”的必要不充分条件， 所以或，解得或， 所以ACD选项正确，B选项错误. 故选：ACD 11. 已知正实数，，满足，当取最小值时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式的应用判断选项即可. 【详解】解：因为正实数，，满足， 整理得：. 所以， 当且仅当即时，等号成立， 此时， 所以， 当时取得最大值. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先计算出，进而计算出. 【详解】，. 故答案为： 13. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为，再结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】，，，恒成立， （当且仅当，即时取等号）， ，解得：，则的最大值为. 故答案为：. 14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求解下列问题 （1）已知函数过点，已知，求的最小值； （2）已知，求证：. 【答案】（1） （2） 证明： ； 已知，所以，， 故， 可得证：. 【解析】 【分析】（1）将点代入函数解析式求解参数的值，然后根据求值不等式求解最小值即可； （2）利用作差法比较与的大小关系，进而证明不等式. 【小问1详解】 已知函数过点，可得：，解得：； 已知，由于，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 略 16. 完成下列各题： （1）如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值. （2）如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积关于花卉带的宽度的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度的取值范围是多少？ 【答案】（1）每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为 （2）①； ②x的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. 【解析】 【分析】（1）设每个区域的长与宽分别是x米和y米，由题意可得，结合基本不等式即可进一步求解； （2）①根据长方形面积公式，即可求解； ②设花卉带的宽度为，由题意列出一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 设每个区域的长与宽分别为米和米， 由题意可得，，则彩带总长， 当且仅当，即时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为. 【小问2详解】 ①由题意，； ②因为，即 所以，解得或，又因为， 所以当，即x的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. 17. 已知不等式的解集为，函数的定义域为集合， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式和偶次根式定义域的基本要求可求得集合，由交集定义可得结果； （2）由偶次根式定义域的基本要求可求得集合，根据并集结果可得，由此可得参数范围. 【小问1详解】 由得：，解得：，； 当时，，由得：或，； . 【小问2详解】 由（1）知：； 由得：或，； ，，或，解得：或， 即实数的取值范围为. 18. 已知关于的x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求a的范围 【答案】（1）； （2） 时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，即可得答案；（2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案；（3）由题，可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【小问1详解】 时， ，则解集为：； 【小问2详解】 当时，； 当时， 当时，有，则此时不等式解集为：； 当，. 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为空集. 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； 【小问3详解】 ， 因，则. 则题目等价于. 令，因，则. 则 注意到函数在时单调递增， 则，即. 19. 对正整数，记，. （1）用列举法表示集合； （2）求集合中元素的个数； （3）若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值. 【答案】（1）； （2）个； （3）14. 【解析】 【分析】（1）（2）应用表格列举出、即可； （3）根据定义，首先证明时不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证明能分成两个不相交的稀疏集的并即可得解. 【小问1详解】 由题设，且， 1 2 3 所以. 【小问2详解】 由题意，且， 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 由上，其中重复的元素有1、2、3，故集合中元素的个数为个. 【小问3详解】 假设当时，能分成两个不相交的稀疏集的并集， 设，为不相交的稀疏集，使， 不妨设，显然，则，即，同理，， 若，但，与为稀疏集矛盾，若，但，与为稀疏集矛盾， 于是当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集，即， 若，则时，可分成两个稀疏集之并， 事实上，只要取，，则，为稀疏集，且. 当时，集合中除正整数外剩下的数组成集合，可分成下面个两稀疏集：，， 当时，集合中除正整数外剩下的数组成集合，可分成下面两个稀疏集：，. 最后，集合且中的数均为无理数，它与中的任何其它数之和都不是整数， 则把且中的元素任意分成两个不相交的集合的并均可，不妨令稀疏集为与， 因此，令，，则和是不相交的稀疏集，且， 综上，所求的最大值为14. 【点睛】思路点睛：涉及求符合某个条件的集合元素个数问题，充分利用集合元素的性质，特别是互异性，可以通过列举法列出特例元素，以排除重复元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛西海岸新区第一次教学质量联合监测数学试题 高一数学（三校联考） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 在下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合是全集的两个非空子集且，则下列说法不正确的是（ ） A. ， B. ， C. D. 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，某同学求出了如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；，则下列判断中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ①③⑥ 8. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的最小值为2 C. 某班中身高较高的同学能够组成一个集合 D. 一元二次不等式对一切实数恒成立的充要条件是 10. 若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 11. 已知正实数，，满足，当取最小值时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数则_______． 13. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为__________． 14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求解下列问题 （1）已知函数过点，已知，求的最小值； （2）已知，求证：. 16. 完成下列各题： （1）如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值. （2）如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积关于花卉带的宽度的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度的取值范围是多少？ 17. 已知不等式的解集为，函数的定义域为集合， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知关于的x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求a的范围 19. 对正整数，记，. （1）用列举法表示集合； （2）求集合中元素的个数； （3）若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $